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从一道高考题看一类和式不等式证明的函数方法


2 4  

数 学通报 

2 0 1 1 年  第 5 0卷  第 2期 

从一道高考题看一类和 式不等式  证明 的 函数 方法 
吕辉 忠 
( 深圳富源学校 5 1 8 1 2 6 )  

1 原题 的分 析及解 答 


此时 , 3

f  一 船  : : :   .  
4咒 

1 0年广东 文科 卷第 2 1 题原 题 如下 :   已知 曲线 C   : Y一 船  ,点 P   ( z   , Y   ) ( z  > 

故点 P  的坐标 为 (   ,   ) .  

0 ,   >o )是 曲线  上 的点 ( 7 z 一1 , 2 , …) .   ( 1 ) 试 写 出 曲线 C   在点 P  处 的切线 z  的方 
程, 并求 出 l  与 Y轴 的交点 Q  的坐标 ;  

( 3 ) 要 证 室1  
<l   一 

一  
<  
n亡 1  

l  

( 2 ) 若原 点 O( 0 , O )到 z  的距离 与 线段 P   Q  
的长度 之 比取 得 最 大值 , 试求点 P  的坐 标 ( z   ,  
Y   );   .  

『 ( s 一1 , 2 , …) ,  

只 要证 I  而

一  丽 j ∑ 

( 3 ) 设 m 与 k为 两个 给 定 的 不 同的 正 整 数 ,   与Y  是满 足 ( 2 ) 中条 件 的点  的坐标 , 证明:  

I   一√  I ( s一 1 , 2 , …) ,  

{ , 、 /  
<I  
、  

一  

l。  
… … 一  

只 要 证 妾   1 <   ×  
又因为 — v /  ̄ - - - 4   1   q -   x / k 丑 H - 1 >1 , 故只需证  
…   +   一 一一 ”  一  

解  ( 1 )   一2 n x, 设切线 l   的斜率为忌 , 则 
是一 Y  I   ;   一2 n x   ,  

所 以 曲线  在 点 P  处 的切 线 z  的方程 为 :  
—Y  : 2 n x  ( z— z   ) .  

妾   1 <  

2 , … ) .  

对 于此类 数列 求 和 不 等式 的证 明 , 很 多 贤 料 

又 因为点 P   在 曲线 c   上, 所以 Y   = 船  , 所 
以 曲线  在 点 P   处 的切线 Z  的方程 为 :   —n x :  


马上就 想到 放缩 法 或 者 数 学归 纳 法 , 其 实此 类 数 
列 和式 不等 式还 有 一 个 很重 要 的方 法 , 利用 数 列 

2 n x   ( z—   )即 2 n x   X一   一 艇 :一 0 .   令  一 0得  一一眦 : , 所以 l   在 Y轴 上 的交 

( 函数 ) 单调 性 证 明 , 这 也 彰 显 函数 思 想 在 整个 高 
中阶段 教 学 的重 要 性 , 具有简洁性 , 学 生 可 接 受  性, 确 实很美 妙. 证 明 如下 :  

点 

的坐标 为 ( O , 一 舭  2 ) .  
( 2 ) 原 点 O( O , O )到 直 线 z   , 的 距 离 与 线 段 

P   Q  的长 度 之 比为 :   I _ 艇 :J  


证 明直 接 作 差 , 设 厂 ( s ) 一 1 + 去 + 去 - + I  
+ . = 1 =


互丑
= F _  
一  



竺!  
1 +4 n  

2   ( s一 1 , 2 , …) .  

√s  

≤ { ?  



因 为 , ( s + 1 ) 一 ,   ) 一 ( 1 + 去 + 去 + … +  


2师

) -( 1 + 1 十 1 + . . 叶  1
2   ^ { 3   S  

/ s   十  1  
2   )  

当且仅当÷ 艘 一4 n x   即   一  7 时, 取等号.   z  
” 

2 0 1 1年  第 5 O卷  第 2期 

数 学通报 
1 )( 1+ 1). . . ( 1+  )

2 5  



—=  =
√s+ 1  

+ 2 (√   一    ̄ /   + 1) 一 

‘  



且 

± 呈  
2 5+ 1  
—   一

二墨 l  
、 , s + 1  

,而  

<  

+1 ) ( 1 +  
, ( n )   一   — ( 3    
n+ 1 ) 0 ( 3 n+ 4 )  

)丽
干 

 

’  

> 1 , 厂 (   )> 0 澈 厂 (  4 -
一  …  … ~ … 

所以 厂 ( s +1 ) 一厂 ( s ) <0 , 即数列 { 厂 ( 5 ) } ( s 一 
1 , 2 , …) 是 递减数 列 ,  

1 ) >  (  ) , 即_ 厂 (   ) 是 递增 函数 , _ 厂 ( n ) ≥_ 厂 ( 1 )一 
一  

所 以 f   ) ≤  D = - l  ̄ O , 即 H   1 + 砉  
+ … + 
s  

> 1原 不 等 式 获 证 .  

√4  

2 0 1 0年 开始 , 很 多 省份 把 选 修 4 ~5 《 不 等 式 
一2   < 。 .  

选讲 与证 明》 列 为必 考 内容 , 这是 非 常符合 后续 学 
习的需要 的 , 尤 其 是理科 生 , 因 为 现 实 中 更 多 是 不 

所以, 原 不等式 成立 .   点评  构 造数列 ( 函数) , 利 用单 调性 , 学 生 易 

等量 关 系 , 对 于这块 内容 后续 教学 需要 加强 . 下 面  再举 例说 明利 用 数 列 单 调性 证 明不 等 式 , 该 题 源  于人 教 版数 学 选 修 4 —5 《 不 等 式 选讲 与 证 明 》 5 4  

懂, 此题综 合不 等式证 明的分析 法 、 作差 法及 综合 
法( 中间应 用基 本 不 等 式 ) , 对 整 个 必 修 阶段 的基  本不 等式 知识考 察很 完整 , 作为 文科 压轴 题 , 不偏  不怪 , 贯彻 高考 考纲要 求 的通性 通法 要求 . 其 实该  题源 于人 教 版 数 学 选 修 4 —5 《 不 等 式 选 讲 与 证  明》 3 O页 的第 3题 , 教材 上 提示 用 放 缩 法. 该 考 题  进 行适 当 的改装 , 放在 文科试 卷 , 对 于文科 教师 来 
说 是值 得思 考 的 , 再 次 说 明 讲 题 时 一 定 要 加 强 一 

页第 一题 , 课本 要求 用数 学归 纳法 , 现用 数 列单 调 
性 :  

证 明 对 于 大 于 2的 一 切 正 整 数  , 下 列 不 等 
式 均成 立 :  

( 1 + 2 + 3 + … + , z ) ( 1 十 号 + ÷ + … +   ) ≥  
+ n~ 1 .  

题 多解 的应 用 , 这样 便 于拓展 学生 的思 维.  
2 几 种 证 明 方 法 比较 

证 明  将不 等式 进行 适 当变 形 : 1+  1+ 1
3  

不 等式 证 明是 中学 数 学 的 重要 内 容 之一 . 由   于证 明不等式 没有 固定 的模式 , 证 法灵 活多 样 , 技  巧性 强 , 使 其成 为各 种考 试命 题 的热点 问题 , 关 于 

+ … +1 ≥ 2 ( 1


 

) .  

设 厂( 7 z )一 1+ 1 + 1 十 … 十  一 2 ( 1


 

数列 求和式 的不等式 证 明 , 更 是命题 的热 点 , 因为 
这是后 续进 一 步 学好 高 等 数 学 的基 础. 关 于 此 类 
,  

不 等式很 多资 料 都 给 出放 缩 或 数 学 归 纳法 . 放 缩 

法技 巧性 高 , 放 缩有个 “ 度” 的要 求 , 对 于 学生 来说  是 难把 握 的. 而对 于数 学归 纳法 , 由于其步 骤模 式 
化, 学生 一 般很 少 用 , 再则 , 在 证 明  + l时 , 有 时 

厂 ( n +   ) 一  (   ) 一   +  
2  
一  


’  

一  

+ 2n一 4


(  + 1)  一 5  


{  

一 

一  

町  而

也 需要放 缩法 等 加 以 配合 . 而利 用 数 列 ( 函数 ) 单  调 性证 明 , 具 有逻 辑 性 强 且 简 洁 , 学 生 可 接受 、 易 
懂、 易想 , 令人 叫绝 1  
3 类 似 题 拓 展 

由于  ≥ 3 , 故, ( ”+ 1 ) 。 一 5> 0 , 从 而 数列  ) } 为 递 增数 列 , - 厂 ( n ) ≥- 厂 ( 1 ) 一0 . 原不 等式  以上如 用数 学 归 纳法 或 放 缩 法 , 将 会 非 常 的  复杂 与艰 难 , 学生 可能 望而生 畏 , 而 函数 法 将体 现  数学 之美 !   利用数 列单 调 性还 可 以证 明教 材 中 的如下 不 
获 证.  

例   证 明不 等式:( 1+1 ) ( 1 +÷) . ? ?  
.  

、  

/  

( H 

) >  

证明  ( 数学 归 纳 法 及 放 缩 法 : 略) 构 造 数 列 

等式 ( 此处 略 ) :  
( 1 ) 证明: 对于大 于 l的一切 正整数 , 不等式 

( 函数 ) : 连 乘 形式 , 可 以 考虑 作 商 :厂 ( n )一 ( 1 + 

2 6  

数 学通报 

2 0 1 1年  第 5 0卷

第 2期 

问非所 答
— —

答 非所 问 

2 0 1 0年 福 建 省 高 考 文科 数 学压 轴题 的探 究  
李文明  
( 福 州 华 侨 中学 数 学 组 3 5 0 0 0 4 )   解 法 一 

2 0 1 0年普 通 高 等 学 校 招 生 全 国统 一 考 试 福 

建 卷文 科数 学第 2 2题 ( 本 小题 满分 1 4分 ) :  
1  

( I)由 f   ( z )一 z  一 2 x + 口 及 题 设 得 
’  


已知函数 , ( z ) 一 ÷  一   +o . T+b 的图像 
I )  

即 {  2 .  

, +  

在 点 P( O , , ( O ) ) 处 的切线 方程 为 一3  一2 .   ( 工) 求 实数 n , b的值 ;   ( Ⅱ) 设 g ( z ) 一, ( z ) +  
- 』I   1 

( 1 I ) ( i ) 由 g (   ) =丢   。 一   z + 3 z 一 2 +  

是[2 , + ∞) 上 

的增 函数.  

(i ) 求 实数 m 的最大 值 ;  

得 g t (   ) 一 z  2 x   4 - 3 一 南
g   ( z ) ≥ 0在 [ 2 , + ∞)上恒成 立 ,   即  一2 x+3 一 
恒 成立.   设 ( z一 1 )  一 t .  
L   — 1  J一  

?  

( i I ) 当  取 最 大 值 时 , 是 否 存 在 点 Q, 使 得  过 点 Q 的直 线若 能 与 曲线 Y—g( z) 围成 两 个 封 
闭图形 , 则这 两 个 封 闭 图形 的 面积 总 相 等 ?若 存 

因为 g( z )是 [ 2 , + ∞)上 的 增 函数 , 所 以 

≥0 在[ 2   + ∞) 上 
‘  

在, 求 出点 Q 的坐标 ; 若 不存在 , 说 明理 由.  
命题 者 的命题 目的是 : 本小 题 主要考察 函数 、  

导 数等 基础 知识 , 考察推 理论 证能 力 、 抽 象概 括能  力、 运算 求解 能 力 , 考察 函数 与 方程 思想 、 数 形 结  合 思想 、 化归 与转换 思想 、 分类 与整 合思想 .  
命 题者提 供 的参 考答案是 :  
寺 

因为 z∈ [ 2 , +o o ) , 所以 t ∈[ 1 , +∞ ) ,   即不等 式 + 2 一   ≥0 在[ 1 , + ∞) 上恒 成 

+  十 嘉 + . . . +  <   成 立  
( 2 ) 证 明 :型   ̄ / 丽
数)   .
4   函数 思 想 在 不 等 式 证 明 中 的 反 思 

常规证 法不但 过 于繁琐 , 有时 甚至难 以奏 效. 函数  思 想是 变量 之 间 的一 种 对应 思 想 , 也 可 以看 作 是 

<  ̄ /   二 _ j   < 

+  ̄ / 丽

+ 

用 运动 变化 的观 点 观 察 分析 和 处 理 问题 的思想 ,   是 中学 数学 的 重要 方 法 之 一. 根据 不 等 式 的结 构  特征 , 构 造适 当的函数 , 利用数 列 ( 函数 ) 单 调性 证  明, 具 有简 洁性 , 学 生 可接 受 性 , 学 生 可 以从 中进 


+…+、  

(  为 正整 

步体 会到 学 习 函数 思 想 的重 要 意 义 , 逐步 养 成 

不 等式 的证 明是 中 学 数 学 的 重 点 和 难 点 内 
容, 教材 中介 绍 了几种 基本证 明方 法 , 应 用这 些方 

主动应 用 函数性 质 ( 单调性 、 奇偶性) 解 决 问题 的  思维 习惯. 我 们在 教学 过程 中要注 意一题 多解 , 引 

法 确实 能使 很 多 问题 得 以解 决 . 但 在 异 彩 多姿 的  不 等式 海洋 中 , 时常会 遇到结 构独 特 的不 等式 , 按 

导 学 生多角 度 思维 , 时刻 注 意 函数 思 想 在教 学 中  的渗透 , 使 函数思想 大放 光彩 !  


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