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圆锥曲线1992-2003十年高考题(带详细解析)


第八章

圆锥曲线方程

●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容,这部分内容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容,体现了对各种能力的综合 要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题

2 2 2 2 2 1.(2003 京春文 9,理 5)在同一坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by =0(a>b>0)的曲线大致是( )

2.(2003 京春理,7)椭圆 ?

? x ? 4 ? 5 cos ? ( ? 为参数)的焦点坐标为( ? y ? 3 sin ?



A.(0,0) , (0,-8) B.(0,0) , (-8,0) C.(0,0) , (0,8) D.(0,0) , (8,0) 3.(2002 京皖春,3)已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2 2 4.(2002 全国文,7)椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于( ) A.-1 B.1 C.

5
2

D. -
2

5


5.(2002 全国文,11)设θ∈(0,

? 4

) ,则二次曲线 x cotθ-y tanθ=1 的离心率的取值范围为(

A.(0,

1 ) 2

B.(

1 2 ) , 2 2

C.(

2 , 2) 2

D.(

2 ,+∞)

x2 y2 x2 y2 6.(2002 北京文,10)已知椭圆 和双曲线 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线 ? ? 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2
方程是( A.x=± )

15 y 2

B.y=±

15 x 2

C.x=±

3 y 4

D.y=±

3 x 4


7.(2002 天津理,1)曲线 ?

? x ? cos? (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( ? y ? sin ?
C.1 D.

A.

1 2

B.

2 2

2


8.(2002 全国理,6)点 P(1,0)到曲线 ?

?x ? t 2 ? y ? 2t
C.

(其中参数 t∈R)上的点的最短距离为(

A.0

B.1

2
1 2

D.2 )

9.(2001 全国,7)若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为( A.

3 4

B.

2 3
2

C.

D.

1 4

10.(2001 广东、河南,10)对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范 围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 ]

C.[0,2] D.(0,2) 11.(2000 京皖春,9)椭圆短轴长是 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆中心到其准线距离是( A.



3 4

B.

4 5 5
2

C.

8 3 5

D.

4 3 3

12.(2000 全国,11)过抛物线 y=ax (a>0)的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 p、q,则

1 1 ? 等于( p q
B.



A.2a

1 2a

C.4a

D.

4 a


13.(2000 京皖春,3)双曲线

x2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ? b2 a2

A.2

B.

3
2

C.

2


D.

3 2

14.(2000 上海春,13)抛物线 y=-x 的焦点坐标为( A.(0,

1 ) 4

B.(0,-

1 ) 4

C.(

1 ,0) 4

D.(-

1 ,0) 4


15.(2000 上海春,14)x=

1 ? 3 y 2 表示的曲线是(

A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 16. (1999 上海理, 14) 下列以 t 为参数的参数方程所表示的曲线中, 与 xy=1 所表示的曲线完全一致的是 (
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ?y ? t ?2 ?



? x ?| t | ? B. ? 1 ?y ? | t | ?
D. ?

C. ?

? x ? cos t ? y ? sec t

? x ? tan t ? y ? cot t

17.(1998 全国理,2)椭圆 |PF1|是|PF2|的( A.7 倍 ) B.5 倍

x2 y2 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么 ? 12 3
C.4 倍 D.3 倍

18.(1998 全国文,12)椭圆 那么点 M 的纵坐标是( A.± )

x2 y2 =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, ? 12 3 2 2
3 4


3 4

B.±

3 2

C.±

D.±

19.(1997 全国,11)椭圆 C 与椭圆

( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ,关于直线 x+y=0 对称,椭圆 C 的方程是( ? 9 4
B.

A.

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 C. ? ?1 9 4

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 D. ? ?1 4 9


1 ? ?x ? 1 ? t (t 是参数,t≠0) 20.(1997 全国理,9)曲线的参数方程是 ? ,它的普通方程是( 2 ?y ?1? t ?
A.(x-1) (y-1)=1
2

B.y=

x ( x ? 2) (1 ? x) 2
x +1 1? x2


C.y=

1 ?1 (1 ? x) 2

D.y=

21.(1997 上海)设θ∈(

3 2 2 π,π) ,则关于 x、y 的方程 x cscθ-y secθ=1 所表示的曲线是( 4

A.实轴在 y 轴上的双曲线 B.实轴在 x 轴上的双曲线 C.长轴在 y 轴上的椭圆 D.长轴在 x 轴上的椭圆 2 2 2 22.(1997 上海)设 k>1,则关于 x、y 的方程(1-k)x +y =k -1 所表示的曲线是( A.长轴在 y 轴上的椭圆 B.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x 轴上的双曲线



23.(1996 全国文,9)中心在原点,准线方程为 x=±4,离心率为

1 的椭圆方程是( 2



A.

x2 y2 =1 ? 4 3
x2 2 +y =1 4

B.

x2 y2 =1 ? 3 4
2

C.

D.x +

y2 =1 4


x2 y2 24.(1996 上海,5)将椭圆 =1 绕其左焦点按逆时针方向旋转 90°,所得椭圆方程是( ? 25 9
A.

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 25 9 ( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 9 25

B.

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 25 9 ( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 ? ?1 9 25

C.

D.

25.(1996 上海理,6)若函数 f(x) 、g(x)的定义域和值域都为 R,则 f(x)>g(x) (x∈R)成立的充要条 件是( ) A.有一个 x∈R,使 f(x)>g(x) B.有无穷多个 x∈R,使得 f(x)>g(x) C.对 R 中任意的 x,都有 f(x)>g(x)+1 D.R 中不存在 x,使得 f(x)≤g(x) 26.(1996 全国理,7)椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos ? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?



A.(-3,5) , (-3,-3) B.(3,3) , (3,-5) C.(1,1) , (-7,1) D.(7,-1) , (-1,-1) 2 2 27.(1996 全国文,11)椭圆 25x -150x+9y +18y+9=0 的两个焦点坐标是( A.(-3,5) , (-3,3) B.(3,3) , (3,-5) C.(1,1) , (-7,1) D.(7,-1) , (-1,-1) 28.(1996 全国)设双曲线



x2 y2 =1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) , (0,b)两点.已知原点 ? a2 b2


到直线 l 的距离为

3 c,则双曲线的离心率为( 4
B.

A.2

3

C.

2

D.

2 3 3


29.(1996 上海理,7)若θ∈[0,

? 2

] ,则椭圆 x +2y -2

2

2

2 xcosθ+4ysinθ=0 的中心的轨迹是(

30.(1995 全国文 6,理 8)双曲线 3x -y =3 的渐近线方程是( A.y=±3x B.y=±

2

2



1 x 3

C.y=±

3x
2

D.y=±
2

3 x 3


31.(1994 全国,2)如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)

x2 2 32.(1994 全国,8)设 F1 和 F2 为双曲线 ? y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则 4
△F1PF2 的面积是( A.1 ) B.

5 2

C.2

D.

5

33.(1994 上海,17)设 a、b 是平面α外任意两条线段,则“a、b 的长相等”是 a、b 在平面α内的射影长相等的( ) A.非充分也非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.充分非必要条件 34.(1994 上海,19)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程是 y=cosx,现在平移坐标系,把原点移到 O′(

? 2





? ) ,则在坐标系 x′O′y′中,曲线 C 的方程是( 2
A.y′=sinx′+



? 2

B.y′=-sinx′+

? 2
? 2

C.y′=sinx′- 二、填空题

? 2

D.y′=-sinx′-

x2 y2 35.(2003 京春,16)如图 8—1,F1、F2 分别为椭圆 2 ? 2 =1 的左、右焦点,点 P 在 a b
椭圆上,△POF2 是面积为

3 的正三角形,则 b2 的值是_____.
2

36.(2003 上海春,4)直线 y=x-1 被抛物线 y =4x 截得线段的中点坐标是_____. 37.(2002 上海春,2)若椭圆的两个焦点坐标为 F1(-1,0) ,F2(5,0) ,长轴的长为 10,则椭圆的方程为 .

图 8—1

x2 y2 3 38.(2002 京皖春,13)若双曲线 =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标是 ? 4 m 2
39.(2002 全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) . 2 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是 . (要求填写合适条件的序号) 2 40.(2002 上海文,8)抛物线(y-1) =4(x-1)的焦点坐标是 . 2 2 41.(2002 天津理,14)椭圆 5x -ky =5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k=





?x ? t 2 ? 1 42.(2002 上海理,8)曲线 ? (t 为参数)的焦点坐标是_____. ? y ? 2t ? 1
43.(2001 京皖春,14)椭圆 x +4y =4 长轴上一个顶点为 A,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角 三角形,该三角形的面积是 .
2 2

x2 2 44.(2001 上海,3)设 P 为双曲线 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹 4
方程是 . 2 45.(2001 上海,5)抛物线 x -4y-3=0 的焦点坐标为 46.(2001 全国,14)双曲线 .

x2 y2 =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x ? 9 16

轴的距离为 . 47.(2001 上海春,5)若双曲线的一个顶点坐标为(3,0) ,焦距为 10,则它的标准方程为_____. 48.(2001 上海理,10)直线 y=2x-

? x ? sin ? 1 与曲线 ? ( ? 为参数)的交点坐标是_____. y ? cos 2 ? 2 ?

x2 y2 49.(2000 全国,14)椭圆 =1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 横坐 ? 9 4
标的取值范围是_____. 50.(2000 上海文,3)圆锥曲线

( x ? 1) 2 y 2 ? =1 的焦点坐标是_____. 16 9
? x ? 4 sec ? ? 1 的焦点坐标是_____. ? y ? 3 tan?

51.(2000 上海理,3)圆锥曲线 ?

x2 y2 52.(1999 全国,15)设椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴的弦 a b
的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 . 2 53.(1999 上海 5)若平移坐标系,将曲线方程 y +4x-4y-4=0 化为标准方程,则坐标原点应移到点 O′ ( ) .

x2 y2 54.(1998 全国,16)设圆过双曲线 =1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲 ? 9 16

线中心的距离是 . 2 55.(1997 全国文,17)已知直线 x-y=2 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点,那么线段 AB 的中点坐标是_____. 56.(1997 上海)二次曲线 ?

? x ? 5 cos ? (θ为参数)的左焦点坐标是_____. ? y ? 3 sin ?
2 2

57.(1996 上海,16)平移坐标轴将抛物线 4x -8x+y+5=0 化为标准方程 x′ =ay′(a≠0) ,则新坐标系 的原点在原坐标系中的坐标是 . 2 58.(1996 全国文,16)已知点(-2,3)与抛物线 y =2px(p>0)的焦点的距离是 5,则 p=_____. 2 2 2 59.(1996 全国理,16)已知圆 x +y -6x-7=0 与抛物线 y =2px(p>0)的准线相切,则 p=_____. 2 60.(1995 全国理,19)直线 L 过抛物线 y =a(x+1) (a>0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 L 被抛物线截得的 线段长为 4,则 a= . 2 61.(1995 全国文,19)若直线 L 过抛物线 y =4(x+1)的焦点,并且与 x 轴垂直,则 L 被抛物线截得的线段 长为 . 62.(1995 上海,15)把参数方程 ?

? x ? sin ? (α是参数)化为普通方程,结果是 ? y ? cos? ? 1
.



x2 8y2 63.(1995 上海,10)双曲线 =8 的渐近线方程是 ? 2 9

64.(1995 上海,14)到点 A(-1,0)和直线 x=3 距离相等的点的轨迹方程是 . 2 65.(1994 全国,17)抛物线 y =8-4x 的准线方程是 ,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的 方程是 . 66.(1994 上海,7)双曲线 三、解答题

y2 2 -x =1 的两个焦点的坐标是 2

.

x2 8y2 67.(2003 上海春,21)设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点. a b
(1)若椭圆 C 上的点 A(1,

3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2

(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a2 b2 x2 y2 68.(2002 上海春,18)如图 8—2,已知 F1、F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的 a b
焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程. 图 8—2 69.(2002 京皖文,理,22)已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0) 、F2(4,0) ,过点 F2 并垂直 于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点 A(x1,y1) 、C(x2,y2)满足条件: |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求弦 AC 中点的横坐标; (Ⅲ)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围. 70.(2002 全国理,19)设点 P 到点 M(-1,0) 、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2.求 m

的取值范围. 71.(2002 北京,21)已知 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c)是△OBC 的三个顶点.如图 8 —3. (Ⅰ)写出△OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G、F、H 三点共线; (Ⅱ)当直线 FH 与 OB 平行时,求顶点 C 的轨迹.

y2 2? 72.(2002 江苏,20)设 A、B 是双曲线 x 2 =1 上的两点,点 N(1,2)是线段 AB

图 8—3

的中点. (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否共圆,为什么? 73.(2002 上海,18)已知点 A( ? ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2, 3 ,0)和 B( 3 ,0)

点 C 的轨迹与直线 y=x-2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长. 2 74.(2001 京皖春,22)已知抛物线 y =2px(p>0).过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于 不同的两点 A、B,|AB|≤2p. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值.

x2 y2 75.(2001 上海文,理,18)设 F1、F2 为椭圆 =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2 是 ? 9 4
一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求
2

| PF1 | 的值. | PF2 |

76.(2001 全国文 20,理 19)设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点, 点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明直线 AC 经过原点 O. 77.(2001 上海春,21)已知椭圆 C 的方程为 x + 与椭圆交于 A、B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,求: (1)点 Q 的轨迹方程; (2)点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数. 78.(2001 广东河南 21)已知椭圆
2

2 y2 2 b =1,点 P(a,b)的坐标满足 a + ≤1,过点 P 的直线 l 2 2

x2 2 +y =1 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交 2

于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC∥x 轴. 求证:直线 AC 经过线段 EF 的中点.

( y ? 1) 2 ( x ? 1) 2 79.(2000 上海春,22)如图 8—4 所示,A、F 分别是椭圆 =1 的一 ? 16 12
个顶点与一个焦点,位于 x 轴的正半轴上的动点 T(t,0)与 F 的连线交射影 OA 于 Q.求: (1)点 A、F 的坐标及直线 TQ 的方程; (2)△OTQ 的面积 S 与 t 的函数关系式 S=f(t)及其函数的最小值; 图 8—4 (3)写出 S=f(t)的单调递增区间,并证明之. 2 80.(2000 京皖春,23)如图 8—5,设点 A 和 B 为抛物线 y =4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥ OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 81.(2000 全国理,22)如图 8—6,已知梯形 ABCD 中,|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为λ,

双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点.当

2 3 ≤λ≤ 时,求双曲线离心率 e 的取值范围. 4 3

图 8—5

图 8—6

图 8—7

82.(2000 全国文,22)如图 8—7,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点.求双曲线离心率. 83.(2000 上海,17)已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ? 2

8 ,双 11

,长轴长为 6,设直线 y=x+2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0) 线 l: x=-1.B 是直线 l 方程表示的曲线类型

交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标. 84.(1999 全国,24)如图 8—8,给出定点 A(a,0) (a>0)和直 上的动点,∠BOA 的角平分线交 AB 于点 C.求点 C 的轨迹方程,并讨论 与 a 值的关系. 注:文科题设还有条件 a≠1 85.(1999 上海,22)设椭圆 C1 的方程为

x2 y2 =1(a>b>0) , ? a2 b2

图 8—8

曲线 C2 的方程为 y=

1 , x

且 C1 与 C2 在第一象限内只有一个公共点 P. (Ⅰ)试用 a 表示点 P 的坐标. (Ⅱ)设 A、B 是椭圆 C1 的两个焦点,当 a 变化时,求△ABP 的面积函数 S(a)的值域; (Ⅲ)设 min{y1,y2,…,yn}为 y1,y2,…,yn 中最小的一个.设 g(a)是以椭圆 C1 的半焦距为边长的正方 形的面积,求函数 f(a)=min{g(a) ,S(a) }的表达式. 3 86.(1998 全国理,24)设曲线 C 的方程是 y=x -x,将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动 t、s 单位长度后得 曲线 C1. (Ⅰ)写出曲线 C1 的方程; (Ⅱ)证明曲线 C 与 C1 关于点 A(

t s , )对称; 2 2

(Ⅲ)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明 s=

t3 -t 且 t≠0. 4
N ∈ l1.
锐 角

87.(1998 全国文 22,理 21)如图 8—9,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为 三角形,|AM|=

17 ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.
2

88.(1998 上海理,20) (1)动直线 y=a 与抛物线 y =

1 (x-2)相交于 A 点, 2

图 8—9

动点 B

的坐标是(0,3a) ,求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 D(2,0)的直线 l 交上述轨迹 C 于 P、Q 两点,E 点坐标是(1,0) ,若△EPQ 的面积为 4,求直线 l 的倾斜角α的值. 2 89.(1997 上海)抛物线方程为 y =p(x+1) (p>0) ,直线 x+y=m 与 x 轴的交点在抛物线的准线的右边.

(1)求证:直线与抛物线总有两个交点; (2)设直线与抛物线的交点为 Q、R,OQ⊥OR,求 p 关于 m 的函数 f(m)的表达式; (3) (文)在(2)的条件下,若抛物线焦点 F 到直线 x+y=m 的距离为

2 ,求此直线的方程; 2 2 ,求 p 的值的范围. 2

(理)在(2)的条件下,若 m 变化,使得原点 O 到直线 QR 的距离不大于

90.(1996 全国理,24)已知 l1、l2 是过点 P(- =1 各有两个交点,分别为 A1、B1 和 A2、B2. (Ⅰ)求 l1 的斜率 k1 的取值范围; (Ⅱ) (理)若|A1B1|=

2 ,0)的两条互相垂直的直线,且 l1、l2 与双曲线 y2-x2

5 |A2B2|,求 l1、l2 的方程.

(文)若 A1 恰是双曲线的一个顶点,求|A2B2|的值. 91.(1996 上海,23)已知双曲线 S 的两条渐近线过坐标原点,且与以点 A(

2 ,0)为

圆心, 1 为半径的圆相切, 双曲线 S 的一个顶点 A′与点 A 关于直线 y=x 对称.设直线 l 过点 A, 斜率为 k. (1)求双曲线 S 的方程; (2)当 k=1 时,在双曲线 S 的上支上求点 B,使其与直线 l 的距离为

2;

图 8—10

(3)当 0≤k<1 时,若双曲线 S 的上支上有且只有一个点 B 到直线 l 的距离为 点 B 的坐标,如图 8—10. 92.(1995 全国理,26)已知椭圆如图 8—11,

2 ,求斜率 k 的值及相应的

x y x2 y2 ? =1,P =1,直线 L: ? 12 8 24 16
2

是 L 上一点,射线 OP 交椭圆于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|?|OP|=|OR| .当点 P 在 L 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

x2 y2 93.(1995 上海,24)设椭圆的方程为 2 ? 2 =1(m,n>0) ,过原点且倾角为θ和 m n
π-θ(0<θ<

图 8—11

? 2

=的两条直线分别交椭圆于 A、C 和 B、D 两点,

(Ⅰ)用θ、m、n 表示四边形 ABCD 的面积 S; (Ⅱ)若 m、n 为定值,当θ在(0,

? 4

]上变化时,求 S 的最小值 u;

(Ⅲ)如果μ>mn,求

m 的取值范围. n

94.(1995 全国文,26)已知椭圆

x2 y2 ? =1,直线 l:x=12.P 是直线 l 上一点,射线 OP 交椭圆于点 R.又点 24 16

Q 在 OP 上且满足|OQ|?|OP|=|OR|2.当点 P 在直线 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 95.(1994 全国理,24)已知直线 L 过坐标原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1, 0)和点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程.

96.(1994 上海,24)设椭圆的中心为原点 O,一个焦点为 F(0,1) ,长轴和短轴的长度之比为 t. (1)求椭圆的方程; (2) 设经过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分的交点为 Q、 点 P 在该直线上, 且 当 t 变化时,求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

| OP | ? t t 2 ?1 , | OQ |

答案解析
1.答案:D

x2 y2 a 解析一:将方程 a x +b y =1 与 ax+by =0 转化为标准方程: ? ? 1, y 2 ? ? x .因为 a>b>0,因此, 1 1 b 2 2 a b
2 2 2 2 2

1 1 ? >0,所以有:椭圆的焦点在 y 轴,抛物线的开口向左,得 D 选项. b a
解析二:将方程 ax+by =0 中的 y 换成-y,其结果不变,即说明:ax+by =0 的图形关于 x 轴对称,排除 B、C, 又椭圆的焦点在 y 轴.故选 D. 评述:本题考查椭圆与抛物线的基础知识,即标准方程与图形的基本关系.同时,考查了代数式的恒等变形及 简单的逻辑推理能力. 2.答案:D 解析:利用三角函数中的平方和关系消参,得
2 2

( x ? 4) 2 y 2 2 =1,∴c =16,x-4=±4,而焦点在 x 轴上,所以 ? 25 9

焦点坐标为: (8,0) , (0,0) ,选 D.如果画出

( x ? 4) 2 y 2 =1 的图形,则可以直接“找”出正确选项. ? 25 9

评述:本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法,以及利用平移变换公式进行逻辑推理,同时也考查了 数形结合的思想方法. 3.答案:A 解析:由第一定义得,|PF1|+|PF2|为定值 ∵|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|为定值,即|F1Q|为定值. 4.答案:B 解析:椭圆方程可化为:x +
2

y2 =1 5 k
2

∵焦点(0,2)在 y 轴上,∴a = 又∵c =a -b =4,∴k=1 5.答案:D 解析:∵θ∈(0,
2 2 2 2 2

5 2 ,b =1, k

? 4

) ,∴sinθ∈(0,

2 ) , 2

∴a =tanθ,b =cotθ 2 2 2 ∴c =a +b =tanθ+cotθ,

∴e =

2

1 c 2 tan? ? cot ? 1 ,∴ e = , ? ? a2 tan? sin 2 ? sin ?

∴e∈(

2 ,+∞)

6.答案:D 解析:由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上 ∴椭圆焦点(
2 2 2

3m2 ? 5n 2
2

, 0) ,双曲线焦点(

2m2 ? 3n 2

,0)

∴3m -5n =2m +3n 2 2 ∴m =8n

又∵双曲线渐近线为 y=±

6? | n | ?x 2|m|
3 x 4

∴代入 m =8n ,|m|=2

2

2

2 |n|,得 y=±

7.答案:D 解析:设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为 d ∴d=|x|+|y|=|cosθ|+|sinθ| 设θ∈[0,

? 2



∴d=sinθ+cosθ=

2 sin(θ+

? ) 4

∴dmax=

2.

8.答案:B 2 解法一:将曲线方程化为一般式:y =4x ∴点 P(1,0)为该抛物线的焦点 由定义,得:曲线上到 P 点,距离最小的点为抛物线的顶点. 解法二:设点 P 到曲线上的点的距离为 d ∴由两点间距离公式,得 d2=(x-1)2+y2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2 2 ∵t∈R ∴dmin =1 ∴dmin=1 9.答案:C 解析:由 F1、F2 的坐标得 2c=3-1,c=1, 又∵椭圆过原点 a-c=1,a=1+c=2, 又∵e=

图 8—12

c 1 ? ,∴选 C. a 2

10.答案:B 解析:设点 Q 的坐标为(

y0 ,y0) , 4
2

2

y 2 2 由 |PQ|≥|a|,得 y0 +( 0 -a) ≥a . 4
2

整理,得:y0 (y0 +16-8a)≥0, 2 2 ∵y0 ≥0,∴y0 +16-8a≥0. 即 a≤2+

2

2

y0 y 恒成立.而 2+ 0 的最小值为 2. 8 8

2

2

∴a≤2.选 B. 11.答案:D

a2 解析:由题意知 a=2,b=1,c= 3 ,准线方程为 x=± , c
∴椭圆中心到准线距离为 12.答案:C 解析:抛物线 y=ax 的标准式为 x =
2 2

4 3 . 3
1 y, a

∴焦点 F(0,

1 ). 4a
图 8—13

取特殊情况,即直线 PQ 平行 x 轴,则 p=q.

1 如图 8—13,∵PF=PM,∴p= , 2a


1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? 4a . p q p p p
a a a 2 2 x,由 ? (- )=-1,得 a =b , b b b

13.答案:C 解析:渐近线方程为 y=±

∴c=

2 a,e= 2 .
1 1 ,焦点坐标 F(0,- ) . 2 4

14.答案:B 解析:y=-x 的标准式为 x =-y,∴p= 15.答案:D 解析:x=
2 2

1 ? 3 y 2 化为 x2+3y2=1(x>0) .

16.答案:D 解析:由已知 xy=1 可知 x、y 同号且不为零,而 A、B、C 选项中尽管都满足 xy=1,但 x、y 的取值范围与已知 不同. 17.答案:A 解析: 不妨设 F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) 由条件得 P (3, ±

147 3 3 ) , 即|PF2|= , |PF1|= , 因此|PF1|=7|PF2|, 2 2 2

故选 A. 评述:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向.

18.答案:A 解析:由条件可得 F1(-3,0) ,PF1 的中点在 y 轴上,∴P 坐标(3,y0) ,又 P 在

x2 y2 =1 的椭圆上得 y0= ? 12 3

±

3 , 2
∴M 的坐标(0,±

3 ) ,故选 A. 4

评述:本题考查了椭圆的标准方程及几何性质,中点坐标公式以及运算能力. 19.答案:A 解析:将已知椭圆中的 x 换成-y,y 换成-x 便得椭圆 C 的方程为 评述:本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题. 20.答案:B 解法一:由已知得 t=

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 =1,所以选 A. ? 4 9

1 1 x( x ? 2) 2 ,代入 y=1-t 中消去 t,得 y=1 ? ,故选 B. ? 2 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2

解法二:令 t=1,得曲线过(0,0) ,分别代入验证,只有 B 适合,故选 B. 评述:本题重点考查参数方程与普通方程的互化,考查等价转化的能力. 21.答案:C 解析:由已知得方程为

x2 y2 =1 ? sin ? cos?

由于θ∈(

3? ,π) ,因此 sinθ>0,cosθ<0,且|sinθ|<|cosθ| 4

∴原方程表示长轴在 y 轴上的椭圆. 22.答案:C 解析:原方程化为

y2 x2 =1 ? k 2 ?1 k ?1

由于 k>1,因此它表示实轴在 y 轴上的双曲线. 23.答案:A

?a2 ?4 ? x2 y2 ?c 2 解析:由已知有 ? =1,故选 A. ? a=2,c=1,b =3,于是椭圆方程为 ? 4 3 ?c ? 1 ? ?a 2
评述:本题考查了椭圆的方程及其几何性质,以及待定系数法和运算能力. 24.答案:C 解析:如图 8—14,原点 O 逆时针方向旋转 90°到 O′,则 O′(-4,4)为旋转后椭圆 的中心,故旋转后所得椭圆方程为

( x ? 4) 2 ( y ? 4) 2 =1.所以选 C. ? 9 25
图 8—14

25.答案:D 解析:R 中不存在 x,使得 f(x)≤g(x) ,即是 R 中的任意 x 都有 f(x)>g(x) ,

故选 D. 26.答案:B 解析:可得 a=3,b=5,c=4,椭圆在新坐标系中的焦点坐标为(0,±4) ,在原坐标系中的焦点坐标为(3, 3) , (3,-5) ,故选 B. 评述:本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点,考查数形结合的能力. 27.答案:B

( x ? 3) 2 ( y ? 1) 2 解析:把已知方程化为 =1,∴a=5,b=3,c=4 ? 9 25
∵椭圆的中心是(3,-1) , ∴焦点坐标是(3,3)和(3,-5). 28.答案:A 解析:由已知,直线 l 的方程为 ay+bx-ab=0,原点到直线 l 的距离为

ab 3 3 ? c, c,则有 4 4 a2 ? b2

又 c =a +b ,∴4ab= ∴e =4 或 e =
2 2

2

2

2

3 c2,两边平方,得 16a2(c2-a2)=3c4,两边同除以 a4,并整理,得 3e4-16e2+16=0

4 . 3
2

a2 ? b2 b2 而 0<a<b,得 e = ? 1 ? 2 >2,∴e2=4.故 e=2. 2 a a
评述:本题考查点到直线的距离,双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大,特别是求出 e 后还须根据 b >a 进行检验. 29.答案:D 解析:把已知方程化为标准方程,得

( x ? 2 cos? ) 2 2 +(y+sinθ) =1. 2

∴椭圆中心的坐标是( 其轨迹方程是 ?

2 cosθ,-sinθ).

? x ? 2 cos? ? θ∈[0, ]. 2 ? y ? ? sin ?



x2 2 +y =1(0≤x≤ 2 ,-1≤y≤0). 2

30.答案:C

y2 解法一:将双曲线方程化为标准形式为 x - =1,其焦点在 x 轴上,且 a=1,b= 3 ,故其渐近线方程为 y 3
2

=±

b x=± 3 x,所以应选 C. a
2 2

解法二:由 3x -y =0 分解因式得 y=±

3 x,此方程即为 3x2-y2=3 的渐近线方程,故应选 C.

评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质. 31.答案:D

?k ? 0 x2 y2 ? 解析:原方程可变为 =1,因为是焦点在 y 轴的椭圆,所以 ? 2 ,解此不等式组得 0<k<1,因而选 ? 2 2 ?2 ? ?k k
D. 评述:本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法,从而考查了逻辑思维能力和运算能力. 32.答案:A 解法一:由双曲线方程知|F1F2|=2

5 ,且双曲线是对称图形,假设 P(x,

x2 ,由已知 F1P⊥F2 P,有 ?1 ) 4

x2 x2 ?1 ?1 24 1 x2 2 4 4 ,即 x ? ,S ? ?2 5? ? 1 ? 1,因此选 A. ? ? ?1 5 2 4 x? 5 x? 5
解法二:S△=b cot
2

F1 PF2 =1?cot45°=1. 2

评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 33.答案:A 解析:a、b 长相 等 a、b 在平面α内的射影长相等,因此选 A. 34.答案:B

? ? x ? x? ? ? ? 2 代入曲线 C 的方程,得 y′- ? =cos(x′+ ? ). 解析:由已知得平移公式 ? 2 2 ? y ? y? ? ? ? ? 2
即 y′=-sinx′+

? . 2

35.答案:2

3
1 3 2 所以 S= |OF2|? |PO|sin60°= c, 3, 2 4

解析: 因为 F1、 F2 为椭圆的焦点, 点 P 在椭圆上, 且正△POF2 的面积为 所以 c =4. ∴点 P 的横、纵坐标分别为
2

1 3 c 3 c ,即 P ( 1 , 3 )在椭圆上,所以有 2 ? 2 =1 ,又 b2+c2=a2 , , a b 2 2

?b 2 ? 3a 2 ? a 2 b 2 ? 2 2 ?a ? 4 ? b
解得 b =2
2

3.

评述:本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能,体现出方程的思想方法. 36.答案: (3,2) 2 解法一:设直线 y=x-1 与抛物线 y =4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为 P(x0,y0). 由题意得 ?

? y ? x ?1 ? y ? 4x
2

, (x-1) =4x,x -6x+1=0.

2

2

∴x0=

x1 ? x2 =3.y0=x0-1=2.∴P(3,2). 2
2 2 2 2

解法二:y2 =4x2,y1 =4x1,y2 -y1 =4x2-4x1

( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) =4.∴y1+y2=4,即 y0=2,x0=y0+1=3. x2 ? x1
故中点为 P(3,2). 评述:本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法.

( x ? 2) 2 y 2 37.答案: =1 ? 25 16
解析:由两焦点坐标得出椭圆中心为点(2,0) ,焦半径 c=3 ∵长轴长为 10,∴2a=10, ∴a=5,∴b=

a2 ? c2

=4

( x ? 2) 2 y 2 ∴椭圆方程为 =1 ? 25 16
38.答案: (±

7 ,0)
m x 2

解析:由双曲线方程得出其渐近线方程为 y=±

∴m=3,求得双曲线方程为

x2 y2 =1,从而得到焦点坐标. ? 4 3

39.答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤. 40.答案: (2,1) 2 2 解析:抛物线(y-1) =4(x-1)的图象为抛物线 y =4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移 1 个单位得来的. 2 ∵抛物线 y =4x 的焦点为(1,0) 2 ∴抛物线(y-1) =4(x-1)的焦点为(2,1) 41.答案:-1 解析:椭圆方程化为 x +
2

y2 =1 5 ? k

∵焦点(0,2)在 y 轴上, ∴a =
2

5 2 ,b =1 ?k
2 2 2

又∵c =a -b =4,∴k=-1 42.答案: (0,1) 2 解析:将参数方程化为普通方程: (y-1) =4(x+1) 2 该曲线为抛物线 y =4x 分别向左,向上平移一个单位得来. 43.答案:

16 25

x2 2 2 2 解析:原方程可化为 +y =1,a =4,b =1 4
∴a=2,b=1,c=

3
4 5
16 1 2 ?2y = 2 25

当等腰直角三角形,设交点(x,y) (y>0)可得 2-x=y, 代入曲线方程得:y=
2 2

∴S=

44.答案:x -4y =1 解析:设 P(x0,y0) ∴M(x,y) ∴x?

x0 y ,y? 0 2 2

∴2x=x0,2y=y0



4x 2 2 2 2 -4y =1 ? x -4y =1 4
1 ) 4
2

45.答案: (0,

解析:x =4y+3 ? x =4(y+
2

3 ) 4

∴y+

3 1 1 =1,y= ,∴坐标(0, ) 4 4 4

46.答案:

16 5

解析:设|PF1|=M,|PF2|=n(m>n) a=3 b=4 c=5 2 2 2 ∴m-n=6 m +n =4c m2+n2-(m-n)2=m2+n2-(m2+n2-2mn)=2mn=4?25-36=64 mn=32. 又利用等面积法可得:2c?y=mn,∴y=

16 5

x2 y2 47.答案: =1 ? 9 16
解析:由已知 a=3,c=5,∴b =c -a =16 又顶点在 x 轴,所以标准方程为
2 2 2

x2 y2 =1. ? 9 16

48.答案: (

1 1 , ) 2 2

解析: ?

? x ? sin ? ? x ? sin ? ?? 2 2 ? y ? cos 2? ? y ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2

① ②

1 ? ? y ? 2x ? ①代入②得 y=1-2x ? 2x +y=1 ? 2 2 ? ?2 x ? y ? 1

1 ? x ? ? ? 2 解方程得: ? ?y ? 1 ? ? 2
∴交点坐标为(

1 1 , ) 2 2

49.答案: ?

3 3 ?x? 5 5
2 2

解析:已知 a =9,b =4,∴c= ∵ | PF1 |? a ? ex ? 3 ?

5,

5 5 x, | PF2 |? 3 ? x 3 3
2 2 2

5 2 x ?1 | PF1 | ? | PF2 | ? | F1 F2 | 9 ? 由余弦定理, cos F1 PF2 ? , 5 2 2? | PF1 | ? | PF2 | (9 ? x ) 9
∵∠F1PF2 是钝角,∴-1<cosF1PF2<0,

5 2 x ?1 3 3 9 ? 0 ,解得 ? 即 ?1 ? . ?x? 5 2 5 5 (9 ? x ) 9
评述:本题也可以通过 PF1⊥PF2 时,找到 P 点的横坐标的值.类似问题,在高考命题中反复出现,本题只是改 变了叙述方式. 50.答案: (6,0) , (-4,0)

? x ? 1 ? x? x? 2 y ? 2 解析:令 ? 原方程化为标准形式 ? ? 1. 16 9 ? y ? y?
∵a =16,b =9,∴c =25,c=5,在新坐标系下焦点坐标为(±5,0) . 又由 ?
2 2 2

? x ? 1 ? x? ? ?5 ? x ? 6 ? x ? ?4 解得 ? 和? ? y ? y? ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0

所以焦点坐标为(6,0) , (-4,0) . 51.答案: (-4,0) , (6,0) 解析:由 ?

? x ? 4 sec ? ? 1 ? y ? 3 tan?

① ②

? x ?1 ? sec? ? ? 4 得? ? y ? tan? ? ?3
由③ -④ ,得
2 2

③ ④

( x ? 1) 2 y 2 ? =1. 16 9

令?

? x ? 1 ? x? ? y ? y?

把上式化为标准方程为

x? 2 y ? 2 =1. ? 16 9

在新坐标系下易知焦点坐标为(±5,0) , 又由 ?

? x ? 1 ? x? ? ?5 ? y ? y? ? 0 ?x ? 6 ? x ? ?4 和? , y ? 0 y ? 0 ? ?

解得 ?

所以焦点坐标为(6,0) , (-4,0). 52.答案:

1 2

解析:由题意知过 F1 且垂直于 x 轴的弦长为

2b 2 a

2b 2 a 2 ∴ ? ?c a c




2 1 ? a c

c 1 1 ? ,即 e= 2 a 2

评述:本题重点考查了椭圆的基本性质. 53.答案: (2,2) 2 解析:将曲线方程化为(y-2) =-4(x-2). 2 令 x′=x-2,y′=y-2,则 y′ =-4x′,∴h=2,k=2 ∴坐标原点应移到(2,2). 54.答案:

16 3

解析:如图 8—15 所示,设圆心 P(x0,y0) 则|x0|=

16 ? 7 c?a 5?3 x2 y2 2 ? =4,代入 =1,得 y0 = ? 2 2 9 9 16 x0 ? y 0 ?
2 2

图 8—15

∴|OP|=

16 . 3

评述:本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 55.答案: (4,2) 2 2 解析:将 x-y=2 代入 y =4x 得 y -4y-8=0,由韦达定理 y1+y2=4,AB 中点纵坐标

y=

y1 ? y 2 =2,横坐标 x=y+2=4.故 AB 中点坐标为(4,2) . 2
评述:本题考查了直线与曲线相交不解方程而利用韦达定理、中点坐标公式以及代入法等数学方法. 56.答案: (-4,0)

x2 y2 解析:原方程消去参数θ,得 =1 ? 25 9
∴左焦点为(-4,0). 57.答案: (1,-1) 解析:将 4x -8x+y+5=0 配方,得(x-1) = ?
2 2

1 (y+1) , 4

令?

? x ? 1 ? x ? ? x ? x ? ? 1, 则? 即新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(1,-1). ? y ? 1 ? y ? ? y ? y ? ? 1.

58.答案:4 解析:∵抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标是(
2

p p 2 2 ,0) ,由两点间距离公式,得 ( ? 2) ? 3 =5. 2 2

解得 p=4. 59.答案:2 2 2 2 解析:已知圆的方程为(x-3) +y =4 ,∴圆心为(3,0) ,半径 r=4. ∴与圆相切且垂直于 x 轴的两条切线是 x=-1,x=7(舍) 而 y =2px(p>0)的准线方程是 x=-
2

p . 2

∴由-

p =-1,得 p=2,∴p=2. 2
a -1,0) ,若 l 被抛物线截得的线段长为 4

60.答案:4 解析:如图 8—16,抛物线的焦点坐标为 F(

4,则抛物线过点 A(

a a 2 -1,2) ,将其代入方程 y =a(x+1)中得 4=a( -1+1) ,a 4 4

图 8—16

=±4,因 a>0,故 a=4. 评述:本题考查了抛物线方程及几何性质,由对称性设焦点坐标以及数形结合法、待定系数法、代入法等基本 方法.

61.答案:4

图 8—17

解析:如图 8—17,抛物线 y =4(x+1)中,p=2,
2

2

p =1,故可求抛物线的焦点坐标为(0,0) ,于是直线 L 2

与 y 轴重合,将 x=0 代入 y =4(x+1)中得 y=±2,故直线 L 被抛物线截得的弦长为 4. 2 2 62.答案:x +(y-1) =1 63.答案:y=±

3 x 4

x2 y2 解析:把原方程化为标准方程,得 =1 ? 16 9
由此可得 a=4,b=3,焦点在 x 轴上, 所以渐近线方程为 y=±
2

b 3 x,即 y=± x. 4 a

64.答案:y =-8x+8 解析:由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线,焦点为 A(-1,0) ,准线为 x=3.所以顶点在(1,0) ,焦点到准 线的距离 p=4,开口向左. 2 2 ∴y =-8(x-1) ,即 y =-8x+8. 2 2 65.答案:x=3 (x-2) +y =1 解析:原方程可化为 y =-4(x-2) ,p=2,顶点(2,0) ,准线 x= 为半径,则所求圆的方程是(x-2) +y =1. 66.答案: (0,- , (0, 3 ) 3)
2 2 2

p +3, 即 x=3,顶点到准线的距离为 1,即 2

67.解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.

3 ( )2 1 3 2 2 又点 A(1, )在椭圆上,因此 2 ? 2 2 =1 得 b =3,于是 c =1. 2 b 2
所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 =1,焦点 F1(-1,0) ,F2(1,0). ? 4 3

(2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1) ,线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:

x?

? 1 ? x1 y , y ? 1 , 即 x1=2x+1,y1=2y. 2 2

(2 x ? 1) 2 (2 y) 2 1 2 4y2 因此 =1.即 ( x ? ) ? ? ? 1 为所求的轨迹方程. 4 3 2 3
(3)类似的性质为:若 M、N 是双曲线:

x2 y2 =1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点, ? a2 b2

当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.

m2 n2 设点 M 的坐标为(m,n) ,则点 N 的坐标为(-m,-n) ,其中 2 ? 2 =1. a b

又设点 P 的坐标为(x,y) ,由 k PM

?

y?n y?n , k PN ? , x?m x?m

得 kPM?kPN=

y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 2 b2 2 2 b2 2 2 2 ,将 m - b 代入得 k . ? ? 2 y ? x ? b , n ? PM?kPN= a2 x ? m x ? m x ? m2 a2 a2

评述:本题考查椭圆的基本知识,求动点轨迹的常用方法.第(3)问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题 的能力及运算能力都有较高的要求,根据提供的信息,让考生通过类比自己找到所证问题,这是高考数学命题的方 向,应引起注意.

c 2 y0 68.解: (1)设 F2(c,0) (c>0) ,P(c,y0) ,则 2 ? 2 =1. a b
解得 y0=±

2

b2 a

∴|PF2|=

b2 a

在直角三角形 PF2F1 中,∠PF1F2=30°

b2 解法一:|F1F2|= 3 |PF2|,即 2c= 3 a
将 c =a +b 代入,解得 b =2a 解法二:|PF1|=2|PF2| 由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a. ∵|PF2|=
2 2 2 2 2

b b2 b2 2 2 ,∴2a= ,即 b =2a ,∴ ? 2 a a a

故所求双曲线的渐近线方程为 y=± 69.(Ⅰ)解:由椭圆定义及条件知 2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4 所以 b=

2 x.

a2 ? c2

=3. 图 8—18

故椭圆方程为

x2 y2 =1. ? 25 9

(Ⅱ)由点 B(4,yB)在椭圆上,得 |F2B|=|yB|=

9 .(如图 8—18) 5 4 25 ,离心率为 4 5

因为椭圆右准线方程为 x=

根据椭圆定义,有|F2A|=

4 25 4 25 ( -x1) ,|F2C|= ( -x2) 4 4 5 5

由|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列,得

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2? 4 4 5 5 5
由此得出 x1+x2=8. 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0) 则 x0=

x1 ? x 2 8 ? =4. 2 2
④ ⑤

(Ⅲ)由 A(x1,y1) ,C(x2,y2)在椭圆上,得
2 2 ? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 ? 2 2 ? ?9 x2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25

由④-⑤得 2 2 2 2 9(x1 -x2 )+25(y1 -y2 )=0. 即 9(

x1 ? x2 y ? y2 y1 ? y2 ) ) ? 25( 1 )( ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x2



x1 ? x2 y ? y2 y ? y2 1 ? x0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ? ? (k≠0)代入上式,得 2 2 x1 ? x2 k
1 )=0(k≠0). k

9?4+25y0(-

由上式得 k=

25 y0(当 k=0 时也成立). 36 25 16 y0=- y0. 9 9

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m. 所以 m=y0-4k=y0-

由 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称,如图 8—18)的内部,得-

9 9 <y0< . 5 5

所以-

16 16 <m< . 5 5 16 16 ≤m≤ ”的均不扣分. 5 5

注:在推导过程中,未写明“x1≠x2” “k≠0” “k=0 时也成立”及把结论写为“-

70.解:设点 P 的坐标为(x,y) ,依题设得

| y| =2,即 |x|

y=±2x,x≠0 ① 因此,点 P(x,y) 、M(-1,0) 、N(1,0)三点不共线,得 ||PM|-|PN||<|MN|=2 ∵||PM|-|PN||=2|m|>0 ∴0<|m|<1 因此,点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2|m|的双曲线上,故

x2 y2 ? ?1 m2 1 ? m2
将①式代入②,并解得



x2=

m 2 (1 ? m 2 ) 1 ? 5m
2

∵1-m >0 2 ∴1-5m >0 解得 0<|m|<

5 . 5 5 5 ,0)∪(0, ). 5 5
b ?1 c , ) ,外心 3 3

即 m 的取值范围为(-

71.(Ⅰ)解:由△OBC 三顶点坐标 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c) (c≠0) ,可求得重心 G(

1 b2 ? c2 ? b b ? b2 F( , ) ,垂心 H(b, ). c 2 2c
当 b=

1 1 时,G、F、H 三点的横坐标均为 ,故三点共线; 2 2 1 时,设 G、H 所在直线的斜率为 kGH,F、G 所在直线的斜率为 kFG. 2

当 b≠

因为 k GH

c b ? b2 ? c 2 ? 3b 2 ? 3b 3 c ? ? , b ?1 c ( 1 ? 2 b ) ?b 3

k FG

c b2 ? c2 ? b ? c 2 ? 3b 2 ? 3b 3 2c ? ? , b ?1 1 c ( 1 ? 2 b ) ? 3 2

所以,kGH=kFG,G、F、H 三点共线. 综上可得,G、F、H 三点共线. (Ⅱ)解:若 FH∥OB,由 kFH=

c 2 ? 3b 2 ? 3b =0,得 c(1 ? 2b)

3(b -b)+c =0(c≠0,b≠

2

2

1 ) , 2

配方得 3(b-

1 2 2 3 ) +c = ,即 2 4

1 (b ? ) 2 2 2 ? c ? 1. 1 2 3 2 ( ) ( ) 2 2 1 (x ? )2 2 2 ? y =1(x≠ 1 ,y≠0). 即 1 2 3 ( )2 ( )2 2 2
因此,顶点 C 的轨迹是中心在(

1 1 3 ,0) ,长半轴长为 ,短半轴长为 ,且短轴在 2 2 2

x 轴上的椭圆,除去(0,0) , (1,0) , (

1 1 3 3 , ) , ( ,- )四点. 2 2 2 2

评述:第(Ⅰ)问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题:三角形的重心、外心、垂心三心共线(欧 拉线)且背景深刻,是有研究意义的题目. 72.解: (Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)+2,

y2 2 2 2 代入 x - =1,整理得(2-k )x -2k(2-k)x-(2-k) -2=0 2
2



记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1、x2 是方程①的两个不同的根,所以 2-k ≠0, 且 x1+x2=

2

2k ( 2 ? k ) 2?k2

由 N(1,2)是 AB 的中点得
2

1 (x1+x2)=1 2

∴k(2-k)=2-k 解得 k=1,所以直线 AB 的方程为 y=x+1. 2 (Ⅱ)将 k=1 代入方程①得 x -2x-3=0 解出 x1=-1,x2=3 由 y=x+1 得 y1=0,y2=4 即 A、B 的坐标分别为(-1,0)和(3,4) 由 CD 垂直平分 AB,得直线 CD 的方程为 y=-(x-1)+2 即 y=3-x 2 代入双曲线方程,整理得 x +16x-11=0 ② 记 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 的中点为 M(x0,y0) ,则 x3、x4 是方程②的两个根,所以 x3+x4=-6,x3x4=-11. 从而 x0=

1 (x3+x4)=-3,y0=3-x0=6. 2

|CD|=

( x3 ? x4 ) 2 ? ( y3 ? y 4 ) 2 ? 2( x3 ? x4 ) 2

? 2[( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ] ? 4 10 .
∴|MC|=|MD|=

1 | CD |? 2 10 . 2

又|MA|=|MB|=

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 0 ? y1 ) 2 ? 4 ? 36 ? 2 10 .

即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等,所以 A、B、C、D 四点共圆. 73.解:设点 C(x,y) ,则|CA|-|CB|=±2, 根据双曲线的定义,可知点 C 的轨迹是双曲线

x2 y2 =1. ? a2 b2

由 2a=2,2c=|AB|=2

3 ,得 a2=1,b2=2
2

y2 故点 C 的轨迹方程是 x - =1 2
? 2 y2 ?1 ?x ? 2 由? ,得 x +4x-6=0. 2 ?y ? x ? 2 ?
∵Δ>0,∴直线与双曲线有两个交点. 设 D(x1,y1) 、E(x2,y2) ,则 x1+x2=-4,x1x2=-6 故|DE|=

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 5 .
2

74.解: (Ⅰ)设 y=x-a,∴(x-a) =2px

图 8—19

x -2ax+a -2px=0 x -(2a+2p)x+a =0
|AB|=

2

2

2

2

2 4(a ? p ) 2 ? 4a 2 ≤2p
2 2 2

∴4ap+2p ≤p ,4ap≤-p 又∵p>0,∴a≤-

p (如图 8—19) 4

(Ⅱ)∵AB 中点 x=a+p y1+y2=x1+x2-2a y1+y2=2p ∴y=p ∴过 N 的直线 l:y-p=-(x-a-p)+p=x-a-px=a+2p

N 到 AB 的距离为:

| a ? 2p ? a | 2p ? 2 2

∴S=

2 2 2p 2ap ? p 2 ? ? 2 p 2ap ? p 2 2 2

当 a 有最大值时,S 有最大值

p2 2 p2 ? 2 p2 2 S ? 2p p ? ? ? ? 2 p2 2 2 2
2

75.解法一:由已知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 根据直角的不同位置,分两种情况: 2 2 2 若∠PF2F1 为直角,则|PF1| =|PF2| +|F1F2| 2 2 即|PF1| =(6-|PF1|) +20, 得|PF1|=

5,

| PF1 | 7 14 4 ,|PF2|= ,故 ? ; 3 3 | PF2 | 2
2 2 2

若∠F1PF2 为直角,则|F1F2| =|PF1| +|PF2| , 2 2 即 20=|PF1| +(6-|PF1|) , 得|PF1|=4,|PF2|=2,故

| PF1 | =2. | PF2 |
,F2( 5 ,0). 5 ,0)

解法二:由椭圆的对称性不妨设 P(x,y) (x>0,y>0) ,则由已知可得 F1(- 根据直角的不同位置,分两种情况:若∠PF2F1 为直角,则 P(

4 5, ) 3

于是|PF1|=

| PF1 | 7 14 4 ,|PF2|= ,故 ? 3 3 | PF2 | 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?9 4 若∠F1PF2 为直角,则 ? ? y ? y ? ?1 ? ?x ? 5 x ? 5
解得 x ?

3 5 4 5 3 5 4 5 ,即 P( ) , ,y? , 5 5 5 5

于是|PF1|=4,|PF2|=2,故

| PF1 | =2. | PF2 |
p ) (如图 8—20) 2

76.解法一:设直线方程为 y=k(x ?

A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C( ?

p ,y2) 2
图 8—20

p ? ? y ? k ( x ? ) 2 2 py ? p2 ? 0 ∴? 2 ,y ? k 2 ? ? y ? 2 px
∴ y1 y 2

? ? p 2 , k OA ?

y1 y 2p , k OC ? 2 ? p y1 x1 ? 2

又∵y1 =2px1 ∴kOC=

2

y1 =kOA x1

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以 AC 经过原点 O. 当 k 不存在时,AB⊥x 轴,同理可得 kOA=kOC 解法二:如图 8—21,过 A 作 AD⊥l,D 为垂足, 则:AD∥EF∥BC 连结 AC 与 EF 相交于点 N, 则

| EN | | CN | | BF | | NF | | AF | ? ? , ? | AD | | AC | | AB | | BC | | AB |
图 8—21

由抛物线的定义可知:|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|EN|=

| AD | ? | BF | | AF | ? | BC | =|NF|. ? | AB | | AB |

评述:该题的解答既可采用常规的坐标法,借助代数推理进行,又可采用圆锥曲线的几何性质,借助平面几何 的方法进行推理.解题思路宽,而且几何方法较之解析法比较快捷便当.从审题与思维深度上看,几何法的采用,源 于思维的深刻. 77.解: (1)设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,点 Q 的坐标为 Q(x,y). 当 x1≠x2 时,设直线斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-a)+b.

y y 2 由已知 x1 + 1 =1 ①,x2 + 2 =1 ② 2 2
2

2

2

y1=k(x1-a)+b ③,y2=k(x2-a)+b ④
①-②得(x1+x2) (x1-x2)+

1 (y1+y2) (y1-y2)=0. ⑤ 2

③+④得 y1+y2=k(x1+x2)-2ka+2b ⑥ 由⑤、⑥及 x ?

x1 ? x2 y ? y2 , ,k ? 1 2 x1 ? x2
2 2

得点 Q 的坐标满足方程 2x +y -2ax-by=0 ⑦ 当 x1=x2 时,k 不存在,此时 l 平行于 y 轴,因此 AB 的中点 Q 一定落在 x 轴,即 Q 的坐标为(a,0) ,显然点 Q 的坐标满足方程⑦ 2 2 综上所述,点 Q 的坐标满足方程 2x +y -2ax-by=0. 设方程⑦所表示的曲线为 l.

?2 x 2 ? y 2 ? 2ax ? by ? 0 ? 2 2 2 2 则由 ? 得(2a +b )x -4ax+2-b =0. y2 2 ?1 ?x ? ? 2
2 b2 2 b 因为Δ=8b (a + -1) ,由已知 a + ≤1 2 2
2 2

所以当 a +

2

b2 =1 时,Δ=0,曲线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点 P(a,b) ; 2

当a+

2

b2 <1 时,Δ<0,曲线 l 与椭圆 C 没有交点. 2

因为(0,0)在椭圆 C 内,又在曲线 l 上,所以曲线 l 在椭圆 C 内. 2 2 故点 Q 的轨迹方程为 2x +y -2ax-by=0; (2)由 ?

?x ? 0
2 2 ?2 x ? y ? 2ax ? by ? 0

,得曲线 l 与 y 轴交于点(0,0) 、 (0,b) ;

由?

?x ? 0
2 2 ?2 x ? y ? 2ax ? by ? 0

,得曲线 l 与 x 轴交于点(0,0) 、 (a,0) ;

当 a=0,b=0,即点 P(a,b)为原点时, (a,0) 、 (0,b)与(0,0)重合,曲线 l 与 x 轴只有一个交点(0, 0) ; 当 a=0 且 0<|b|≤

2 时,即点 P(a,b)不在椭圆 C 外且在除去原点的 y 轴上时,点(a,0)与(0,0)重

合,曲线 l 与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0) ; 同理,当 b=0 且 0<|a|≤1 时,即点 P(a,b)不在椭圆 C 外且在除去原点的 x 轴上时,曲线 l 与坐标轴有两 个交点(a,0)与(0,0) ; 当 0<|a|<1 且 0<|b|<

2(1 ? a 2 ) 时,即点 P(a,b)在椭圆 C 内且不在坐标轴上时,曲线 l 与坐标轴有

三个交点(a,0) 、 (0,b)与(0,0). 评述:本题考查求点的轨迹方程,点与椭圆的位置关系,直线与椭圆相交等知识,考查分类讨论的思想方法, 以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力. 78.证法一:依题设得椭圆的半焦距 c=1,右焦点为 F(1,0) ,右准线方程为 x=2,点 E 的坐标为(2,0) ,EF 的中点为 N(

3 ,0). 2 3 ,0) ,即 AC 过 EF 中点 N. 2

若 AB 垂直于 x 轴,则 A(1,y1) ,B(1,-y1) ,C(2,-y1) , ∴AC 中点为 N(

若 AB 不垂直于 x 轴,由直线 AB 过点 F,且由 BC∥x 轴知点 B 不在 x 轴上,故直线 AB 的方程为 y=k(x-1) ,k ≠0.

x2 2 2 记 A(x1,y1)和 B(x2,y2) ,则(2,y2)且 x1,x2 满足二次方程 +k (x-1) =1, 2
即(1+2k )x -4k x+2(k -1)=0 ∴ x1
2 2 2 2

? x2 ?

4k 2 2(k 2 ? 1) . , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

又 x1 =2-2y1 <2,得 x1-

2

3 ≠0,故直线 AN、CN 的斜率分别为 2

k1 ?

y1 x1 ? 3 2

?

2k ( x1 ? 1) y , k 2 ? 2 ? 2k ( x2 ? 1) . 3 2 x1 ? 3 2? 2

∴k1-k2=2k?

( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)(2 x1 ? 3) 2 x1 ? 3

∵(x1-1)-(x2-1) (2x1-3)=3(x1+x2)-2x1x2-4

=

1 2 2 2 [12k -4(k -1)-4(1+2k ) ]=0, 2 1 ? 2k

∴k1-k2=0,即 k1=k2. 故 A、C、N 三点共线. 所以,直线 AC 经过线段 EF 的中点 N. 证法二:如图 8—22,记直线 AC 与 x 轴的交点为点 N,过点 A 作 AD⊥l,点 D 是垂足,因为 点 F 是椭圆的右焦点,直线 l 是右准线, BC∥x 轴,即 BC⊥l,根据椭圆几何性质,得

图 8—22

| AF | | BF | =e(e 是椭圆的离心率). ? | AD | | BC |
∵AD∥FE∥BC, ∴

| EN | | CN | | BF | | FN | | AF | , ? ? , ? | AD | | CA | | AB | | BC | | AB | | AD | ? | BF | | AD | ? | BC | | AF | ? | BC | ? e? ? ?| FN | . | AB | | AB | | AB |

即 | EN |?

∴N 为 EF 的中点,即直线 AC 经过线段 EF 的中点 N. 评述:本题主要考查椭圆和直线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力.两种证法均为通法,但证法二 充分挖掘椭圆几何性质,数形结合,更为直观简捷,所以两法相比较,证法二较好. 79.解: (1)A 点的坐标为(1,3) ,F 点的坐标为(1,1) 当 t>0 且 t≠1 时,TQ 的方程为 y=

x?t ; 1? t

当 t=1 时,TQ 的方程为 x=1. (2)联立直线 OA 和直线 TQ 的方程;

? y ? 3x ? y ? 3x ? x ?t 或? ? y? ?x ? 1 ? 1? t ?
得 Q 点的纵坐标为 yQ=

3t ,yQ=3, 3t ? 2 2 , 3

∵t>0,且 yQ>1,∴t>

∴f(t)=

3t 2 2 (t ? ) 2(3t ? 2) 3

∴f(t)=

3t 2 (3t ) 2 (3t ? 2 ? 2) 2 1 4 ? ? ? (3t ? 2 ? ? 4) , 2(3t ? 2) 6(3t ? 2) 6(3t ? 2) 6 3t ? 2

∵t>

2 1 4 ,∴3t-2>0,∴f(t)≥ (2 4 +4)= , 3 6 3

当且仅当 t=

4 4 4 时等号成立,即 t= 时,S=f(t)的最小值为 . 3 3 3

4 3t 2 (3)f(t)= 在区间( ,+∞)上为增函数. 3 2(3t ? 2)
证明:任取 t1、t2∈(

4 4 ,+∞) ,不妨设 t2>t1> . 3 3

f(t1)-f(t2)=

4 1 1 4 (3t1-2+ +4)- (3t2-2+ +4) 6 6 3t1 ? 2 3t 2 ? 2



1 4 (t1-t2) [1- ] 2 (3t1 ? 2)(3t 2 ? 2)



(3t1 ? 2)(3t 2 ? 2) ? 4 1 (t1-t2) 2 (3t1 ? 2)(3t 2 ? 2)
4 ,∴t1-t2<0, (3t1-2) (3t2-2)>4,∴f(t1)<f(t2) . 3 4 ,+∞)上为增函数. 3
2

∵t2>t1>

∴S=f(t)在(

80.解:点 A,B 在抛物线 y =4px 上,

y 设 A( A 4p
∴ k OA

2

y ,yA) ,B( B 4p

2

,yB) ,OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB.

?

yA 4 p 4p . ? , k OB ? 2 yA yB yA 4p
=-1 ①

16 p 2 由 OA⊥OB,得 kOA?kOB= y A yB

依点 A 在 AB 上,得直线 AB 方程

y (yA+yB) (y-yA)=4p(x- A 4p
由 OM⊥AB,得直线 OM 方程 y=

2





y A ? yB x ? 4p



设点 M(x,y) ,则 x,y 满足②、③两式,将②式两边同时乘以-

x ,并利用③式 4p

整理得,

x 2 yA +yyA-(x2+y2)=0 4p



由③、④两式得-

x 2 2 +yByA-(x +y )=0, 4p
2

由①式知,yAyB=-16p , 2 2 ∴x +y -4px=0. 因为 A、B 是原点以外的两点,所以 x≠0. 所以点 M 的轨迹是以(2p,0)为圆心,以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点. 评述: 本小题主要考查直线、 抛物线的基础知识, 考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能. 81.解:以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy,则 CD⊥y 轴,因为双曲线经过点 C、 D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称. 依题意,记 A(-c,0) ,C(

c 1 ,h) ,E(x0,y0) ,其中 c= |AB|为双曲线的半焦距,h 是梯形的高. 2 2

c ?c? ? 2 ? (? ? 2)c , y ? ?h . 由定比分点坐标公式得 x0 ? 0 1? ? 2(? ? 1) 1? ?

c x2 y2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ,则离心率 e= . a a b
由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和 e=

c 代入双曲线方程得 a

e2 h2 ? ?1 4 b2



e2 ? ? 2 2 ? 2 h2 ( ) ?( ) ?1② 4 ? ?1 ? ?1 b2 h2 e2 由①式得 2 ? ?1 b 4
将③式代入②式,整理得 ③

e2 (4-4λ)=1+2λ, 4

故λ=1-

3 . e ?2
2

由题设

3 2 2 3 3 ≤λ≤ 得, ≤1- 2 ≤ . 4 e ?2 4 3 3

解得

7 ≤e≤ 10 .
. 7 , 10 ]

所以双曲线的离心率的取值范围为[

评述:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知 识解决问题的能力. 82.解:以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy,则 CD⊥y 轴,因为双曲线经过点 C、 D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称.

依题意,记 A(-c,0) ,C(

c 1 ,h) ,B(c,0) ,其中 c 为双曲线的半焦距,c= |AB|,h 是梯形的高, 2 2

由定比分点坐标公式,得点 E 的坐标为

xE ?

?c?

8 c 8 ? 0? ?h 8 11 2 ? ? 7 c, y ? 11 ? h. E 8 8 19 19 1? 1? 11 11

c x2 y2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ,则离心率 e= . a a b
?1 c2 h2 ① ? ? ? 1, ? ?4 a2 b2 由点 C、E 在双曲线上,得 ? 2 2 ? 49 ? c ? 64 ? h ? 1. ② ? ? 361 a 2 361 b 2

h2 1 c2 c2 由①得 2 ? ? 2 ? 1 ,代入②得 2 =9. a b 4 a
所以,离心率 e=

c2 a2

=3.

评述:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知 识解决问题的能力.

x2 y2 83.解:设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1, a b
由题意 a=3,c=2

2 ,于是 b=1.

x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 9
?y ? x ? 2 ? 2 由 ? x2 得 10x +36x+27=0, 2 ? 9 ? y ?1 ?
因为该二次方程的判别式Δ>0,所以直线与椭圆有两个不同的交点, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ?

18 , 5 9 1 , ) . 5 5

故线段 AB 的中点坐标为( ?

评述:本题主要考查椭圆的定义标准方程,直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式. 84.解法一:依题意,记 B(-1,b) (b∈R) ,则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0 和 y=-bx.设点 C(x,y) ,则 有 0≤x<a,由 OC 平分∠AOB,知点 C 到 OA、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得

|y|=

| y ? bx | 1? b2



依题设,点 C 在直线 AB 上,故有:y=-

b (x-a) 1? a

由 x-a≠0,得 b=-

(1 ? a ) y ② x?a
2

将②式代入①式得:y [1+
2 2

(1 ? a) xy 2 (1 ? a) 2 y 2 ]=[y- ]. 2 x?a ( x ? a)
2

整理得:y [ (1-a)x -2ax+(1+a)y ]=0 2 2 若 y≠0,则(1-a)x -2ax+(1+a)y =0(0<x<a) ; 若 y=0,则 b=0,∠AOB=π,点 C 的坐标为(0,0).满足上式. 2 2 综上得点 C 的轨迹方程为: (1-a)x -2ax+(1+a)y =0(0≤x<a). ∵ a≠1,

a 2 ) 2 1 ? a ? y ? 1 (0≤r<a ) ∴ a 2 a2 ( ) 1? a 1? a2 (x ?



由此知,当 0<a<1 时,方程③表示椭圆弧段; 当 a>1 时,方程③表示双曲线一支的弧段. 解法二:如图 8—23,设 D 是 l 与 x 轴的交点,过点 C 作 CE⊥x 轴,E 是垂足 (Ⅰ)当|BD|≠0 时,设点 C(x,y) , 则 0<x<a,y≠0. 由 CE∥BD,得 |BD|=

| CE | ? | DA | | y | (1+a) ? | EA | a?x

图 8—23

∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∵tan(2∠COA)=

2 tan COA , 1 ? tan 2 COA

tan(π-∠BOD)=-tanBOD, tanCOA=

| y| , x

tanBOD=

| BD | | y | (1+a) ? | OD | a ? x

| y| x ? ? | y | (1+a) ∴ y2 a?x 1? 2 x 2?
整理得: (1-a)x -2ax+(1+a)y =0(0<x<a)
2 2

(Ⅱ)当|BD|=0 时,∠BOA=π,则点 C 的坐标为(0,0) ,满足上式 综合(Ⅰ) (Ⅱ) ,得点 C 的轨迹方程为 2 2 (1-a)x -2ax+(1+a)y =0(0≤x<a). 以下同解法一. 评述:本题主要考查了曲线与方程,直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知 识解决问题的能力.解法一利用设点法引入参数 b,消参数得方程.解法二则利用角之间关系,使用二倍角公式得出 等式,化简较简捷,但分析时不容易想.

1 x2 1 85.(Ⅰ)解:将 y= 代入椭圆方程,得 2 ? 2 2 ? 1 , x a b x
化简得 b x -a b x +a =0, 4 4 2 2 由条件,有Δ=a b -4a b =0 得 ab=2 解得
2 4 2 2 2 2

x?

a a (舍去) ,x ? ? 2 2

故 P 的坐标为(

a 2 ). , 2 a

(Ⅱ)解:∵在△ABP 中,|AB|=2

a 2 ? b2

,高为

2 , a

∴S(a)=

1 2 4 ? 2 a2 ? b2 ? ? 2(1 ? 4 ) 2 a a
2 2 ,∴a> , a a 4 <1,于是 0<S(a)< 2 a4

∵a>b>0,b=

即 a>

2 ,得 0<

故△ABP 的面积函数 S(a)的值域为(0, (Ⅲ)解:g(a)=c =a -b =a - 解不等式:g(a)≥S(a) , 即a-
2 2 2 2 2

2 ).

4 , a2

4 4 ≥ 2(1 ? 4 ) , 2 a a
8 4

整理得:a -10a +24≥0, 4 4 即(a -4) (a -6)≥0, 4 4 即(a -4) (a -6)≥0 解得:a≤

2 (舍去)或 a≥ 4 6 ,

? 2 4 a ? 2 , 2?a?4 6 ? a ? 故 f(a)=min{g(a) ,S(a) }= ? ? 2(1 ? 4 ) , a ? 4 6 ? a4 ?
86.(Ⅰ)解:曲线 C1 的方程为 y=(x-t) -(x-t)+s. (Ⅱ)证明:在曲线 C 上任取一点 B1(x1,y1) ,设 B2(x2,y2) 是 B1 关于点 A 的对称点,则有
3

x1 ? x2 t y1 ? y 2 s ? , ? . 2 2 2 2

所以 x1=t-x2,y1=s-y2. 3 代入曲线 C 的方程,得 x2 和 y2 满足方程:s-y2=(t-x2) -(t-x2) , 3 即 y2=(x2-t) -(x2-t)+s 可知点 B2(x2,y2)在曲线 C1 上. 反过来,同样可以证明,在曲线 C1 上的点关于点 A 的对称点在曲线 C 上,因此,曲线 C 与 C1 关于点 A 对称. (Ⅲ)证明:因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点

? y ? x3 ? x 所以方程组 ? 有且仅有一组解 3 ? y ? (x ? t) ? (x ? t) ? s
消去 y 整理得 3tx -3t x+(t -t-s)=0 这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根. 4 3 所以 t≠0 并且其根的判别式Δ=9t -12t(t -t-s)=0 即?
2 2 3

?t ? 0
3 ?t (t ? 4t ? 4s) ? 0

,∴s=

t3 -t 且 t≠0. 4

评述:本小题主要考查函数图象、方程与曲线,曲线的平移、对称和相交等基础知识,考查运动、变换等数学 思想方法,以及综合运用数学知识解决问题的能力.

87.解法一:如图 8—24 建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标 原点. 依题意知:曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为 y2=2px(p>0) , (xA≤x≤xB,y>0) 其中 xA、xB 分别为 A、B 的横坐标,p=|MN|. 所以 M( ?

图 8—24

p p ,0) ,N( ,0) 2 2

由|AM|= (xA+

17 ,|AN|=3 得


p 2 ) +2pxA=17 2

(xA ?

p 2 ) +2pxA=9 2



由①②两式联立解得 xA=

4 ,再将其代入①式并由 p>0 p

解得 ?

?p ? 4 ?p ? 2 或? x ? 1 ? A ?xA ? 2

因为△AMN 是锐角三角形,所以

p >xA, 2

故舍去 ?

?p ? 2 ?xA ? 2
p =4. 2

所以 p=4,xA=1. 由点 B 在曲线段 C 上,得 xB=|BN| ?
2

综上得曲线段 C 的方程为 y =8x(1≤x≤4,y>0) . 解法二:如图建立坐标系,分别以 l1、l2 为 x、y 轴,M 为坐标原点.作 AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为 E、 D、F. 设 A(xA,yA) 、B(xB,yB) 、N(xN,0) 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,

yA=|DM|= | AM | ? | DA | ? 2 2
2 2

由于△AMN 为锐角三角形,故有

xN=|ME|+|EN|=|ME|+ | AN | ? | AE | =4
2 2

xB=|BF|=|BN|=6. 设点 P(x,y)是曲线段 C 上任一点,则由题意知 P 属于集合 2 2 2 { (x,y)|(x-xN) +y =x ,xA≤x≤xB,y>0} 2 故曲线段 C 的方程为 y =8(x-2) (3≤x≤6,y>0) .
评述:本题考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想,考查了抛物线的概念和 性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.

?x ? a 2 ? 1 88.(1)解:设 M 点的坐标为(x,y) ,由点 A 的坐标为(2a +2,a) ,B 点的坐标为(0,3a) ,得 ? . ? y ? 2a
2

y2 ∴轨迹 C 的方程为 x= +1, 4
即 y =4(x-1) ; (2)解法一:设直线 l 的方程为 y=k(x-2) ,因 l 与抛物线有两个交点,故 k≠0,得 x=
2

y 2 +2,代入 y =4(x k

-1) ,得 y -

2

4 y-4=0, k

故Δ=

16 +16>0 恒成立. k2

记这个方程的两实根为 y1、y2,则 |PQ|=

1?

1 1 4(k 2 ? 1) 2 | y . 1 ? ( y ? y ) ? 4 y y ? 1-y2|= 1 2 1 2 k2 k2 k2
|k| k 2 ?1

又点 E 到直线 l 的距离

d=

| k ?1 ? 0 ? 2k | k 2 ?1

?

.

∴△EPQ 的面积为 S△EPQ=

2 k 2 ?1 1 |PQ|?d= . |k | 2



2 k 2 ?1 3 2 1 =4,解得 k = ,∴k=± . |k | 3 3

∴α=

? 6

或α=

5? . 6
2

解法二:设直线 l 的方程为 y=k(x-2) ,代入 y =4(x-1) ,得 2 2 2 2 k x -(4k +4)x+4k +4=0. 因直线 l 与抛物线有两个交点,故 k≠0, 2 而Δ=16(k +1)>0 恒成立. 2 记这个方程的两个实根为 x1、x2,因抛物线 y =4(x-1)的焦点是 D(2,0) ,准线是 x=0. 所以|PQ|=x1+x2= 其余同解法一. 解法三:设直线 l 的方程为 y=k(x-2) ,因为直线与抛物线交于两点,所以 k≠0,则 x=

4(k 2 ? 1) . k2
y 2 +2,代入 y =4(x k

-1)得 y -

2

4 y-4=0. k
1 1 |ED|? (|y1|+|y2|)= |ED|?|y1-y2| 2 2

S△EPQ=S△EPD+S△EQD=

=

1 2 ?1? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 2

=

1 2

4 4 ( ) 2 ? 16 ? ?4 . k k2 4 ? 4 =4. k2

∵S△EPQ=4, ∴

得 k=±

? 5? 3 ,α= 或 . 6 6 3
p ,直线 x+y=m 与 x 轴的交点为(m,0) ,由题设交点 4

评述:本题考查直线与抛物线的位置关系,点的轨迹方程,直线的基础知识等. 89.解: (1)抛物线 y =p(x+1)的准线方程是 x=-1-
2

在准线右边,得 m>-1-

p ,即 4m+p+4>0. 4

由?

? y 2 ? p ( x ? 1) ?x ? y ? m
2 2

得 x -(2m+p)x+(m -p)=0. 2 2 而判别式Δ=(2m+p) -4(m -p)=p(4m+p+4). 又 p>0 及 4m+p+4>0,可知Δ>0. 因此,直线与抛物线总有两个交点; 2 2 (2)设 Q、R 两点的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,由(1)知,x1、x2 是方程 x -(2m+p)x+m -p=0 的两根, 2 ∴x1+x2=2m+p,x1?x2=m -p. 由 OQ⊥OR,得 kOQ?kOR=-1, 即有 x1x2+y1y2=0. 又 Q、R 为直线 x+y=m 上的点, 因而 y1=-x1+m,y2=-x2+m. 2 2 2 于是 x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m =2(m -p)-m(2m+p)+m =0, ∴p=f(m)=

m2 , m?2

由?

?p ? 0 得 m>-2,m≠0; ?4 m ? 4 ? p ? 0
2

(3) (文)由于抛物线 y =p(x+1)的焦点 F 坐标为(-1+

p ,0) ,于是有 4

| ?1 ?

p ?0?m| 2 4 ? ,即|p-4m-4|=4. 2 2

m2 3m 2 ? 12m ? 8 又 p= ∴| |=4. m?2 m?2
解得 m1=0,m2=-

8 4 ,m3=-4,m4=- . 3 3

但 m≠0 且 m>-2,因而舍去 m1、m2、m3,故所求直线方程为 3x+3y+4=0. (理)解法一:由于原点 O 到直线 x+y=m 的距离不大于

2 ,于是 2

|0?0?m| 2 ,∴|m|≤1. ? 2 2
由(2) ,知 m>-2 且 m≠0, 故 m∈[-1,0)∪(0,1]. 由(2) ,知 f(m)=

4 m2 =(m+2)+ -4, m?2 m?2

当 m∈[-1,0)时,任取 m1、m2,0>m1>m2≥-1,则

f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+(

4 4 ) ? m1 ? 2 m2 ? 2

=(m1-m2) [1-

4 ]. (m1 ? 2)(m2 ? 2) 4 <0. (m1 ? 2)(m2 ? 2)

由 0>m1>m2≥-1,知 0<(m1+2) (m2+2)<4,1-

又由 m1-m2>0 知 f(m1)<f(m2)因而 f(m)为减函数. 可见,当 m∈[-1,0)时,p∈(0,1]. 同样可证,当 m∈(0,1]时,f(m)为增函数,从而 p∈(0, 解法二:由解法一知,m∈[-1,0)∪(0,1].由(2)知

1 ]. 3

p=f(m)=

m2 1 . ? m?2 1 ? 2 m m2

设 t=

1 2 ,g(t)=t+2t ,则 t∈(-∞,-1]∪[1,+∞) ,又 m
1 2 1 )- . 4 8

g(t)=2t2+t=2(t+

∴当 t∈(-∞,-1]时,g(t)为减函数,g(t)∈[1,+∞). 当 t∈[1,+∞)时,g(t)为增函数,g(t)∈[3,+∞). 因此,当 m∈[-1,0]时,t∈(-∞,-1] ,p=

1 ∈(0,1] ; g (t )

当 m∈(0,1]时,t∈[1,+∞) ,p∈(0,

1 ]. 3

评述:本题考查抛物线的性质与方程,抛物线与直线的位置关系,点到直线的距离,函数与不等式的知识,以 及解决综合问题的能力. 90.(Ⅰ)依题设 l1、l2 的斜率都存在,因为 l1 过点 P(-

2 ,0)且与双曲线有两个交点,故方程

? ? y ? k1 ( x ? 2 ) ①k1≠0 有两个不同的解 ? 2 2 ? ?y ? x ?1

整理得(k1 -1)x +2
2

2

2

2 k12x+2k12-1=0



若 k1 -1=0,则方程组①只有一个解,即 l1 与双曲线只有一个交点与题设 2 2 矛盾,故 k1 -1≠0 即 k1 ≠1 所以方程②的判别式Δ=(2
2 2 (2k1 -1)=4(3k1 -1) 2 k12)2-4(k12-1)

又设 l2 的斜率为 k2,l2 过点 P(- 两个交点,故方程组

2 ,0)且与双曲线有

? ? y ? k 2 ( x ? 2 )(k 2 ? 0) ③有两个不同的解 ? 2 2 ? y ? x ? 1 ?
整理得(k2 -1)x +2
2 2 2

2 k22x+2k22-1=0
2



同理有 k2 -1≠0,Δ=4(3k2 -1) 因为 l1⊥l2,所以 k1?k2=-1 所以 l1、l2 与双曲线各有两个交点等价于

?3k1 2 ? 1 ? 0. ? 2 ? 3 ?| k1 |? 3 ? ?3k 2 ? 1 ? 0 整理得 ? 3 ? ?| k |? 1 ?k1 ? k 2 ? ?1 ? 1 ?| k |? 1 ? 1
∴k1∈(-

3 ,-1)∪(-1, ?

3 3 )∪( ,1)∪(1, 3 ) 3 3

(Ⅱ) (理)设 A1(x1,y1) 、B1(x2,y2)由方程②知

x1 ? x 2 ?

? 2 2k1 2k ? 1 , x1 x 2 ? 1 . 2 2 k1 ? 1 k1 ? 1
2 2
2 2 2 2 2

所以|A1B1| =(x1-x2) +(y1-y2) =(1+k1 ) (x1-x2)

4(1 ? k1 )(3k1 ? 1) = 2 (k1 ? 1) 2
2 2



同理,由方程④可得

4(1 ? k1 )(3 ? k1 ) |A2B2| = 2 (1 ? k1 ) 2
2 2
2



由|A1B1|=

5 |A2B2|得|A1B1|2= 5 |A2B2|2,
2 2 2

将⑤、⑥代入上式得

4(1 ? k1 )(3k1 ? 1) 4(1 ? k1 )(3 ? k1 ) ? 5? 2 2 2 (k1 ? 1) (1 ? k1 ) 2
2

解得 k1=± 取 k1=

2.

2 时,

l1:y= 2 (x+ 2 ) ,l2:y=-
取 k1=-

2 (x+ 2 ) ; 2

2 时,
2 (x+ 2 ) . 2

l1:y=- 2 (x+ 2 ) ,l2:y=
2 2

(Ⅱ) (文)双曲线 y -x =1 的顶点为(0,1) 、 (0,-1). 取 A1(0,1)时,有:k1(0+

2 )=1,∴k1=

2 1 ,从而 k2=- =- 2 . 2 k1


将 k2=-

2 代入④,得 x2+4 2 x+3=0

记直线 l2 与双曲线的两交点为 A2(x1,y1) 、B2(x2,y2) 2 2 2 2 2 则|A2B2| =(x1-x2) +(y1-y2) =3(x1-x2) =3[ (x1+x2) -4x1x2] 由⑦,知 x1+x2=-4 即|A2B2|=2

2 ,x1?x2=3,∴|A2B2|2=60

15 .
2 2

当取 A1(0,-1)时,由双曲线 y -x =1 关于 x 轴的对称性,知|A2B2|=2 所以 l1 过双曲线的一个顶点时,|A2B2|=2

15 .

15 .

评述:本题主要考查直线与双曲线的性质、解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.(Ⅰ)由直线与双 曲线的位置关系利用判别式得出不等式组,而(Ⅱ)则使用设而不求方法求斜率,则简化运算. 91.解: (1)由已知可得双曲线的两条渐近线方程为 y=±x,A′(0, . 2)

y2 x2 ? =1 双曲线 S 的方程为 2 2
(2 )设 B(x,

x 2 ? 2 )是双曲线 S

到直线 l: y=x-

2 的距离为 2 的点,由点到直线距离公式有

| x ? x2 ? 2 ? 2 | ? 2. 2
解得 x=

2 ,y=2,即 B( 2 ,2)

(3)当 0≤k<1 时,双曲线 S 的上支在直线 l 的上方,所以 B 在直线 l 的上方,设直线 l′与直线 l:y=k(x -

2 )平行,两线间的距离为 2 ,且直线 l′在直线 l 的上方,双曲线 S 的上支上有且仅有一个点 B 到直线 l 2 ,等价于直线 l′与双曲线 S 的上支有且只有一个公共点. 2,

的距离为

设 l′的方程为 y=kx+m 由 l 上的点 A 到 l′的距离为 可知

| 2k ? m | k 2 ?1

? 2.

解得 m=

. 2 ( ? k 2 ? 1 ? k) . 2 ( k 2 ? 1 ? k)

因为直线 l′在直线 l 的上方,所以 M=

? y 2 ? x 2 ? 2, 由方程组 ? ? y ? kx ? m,
消去 y,得(k -1)x +2mkx+m -2=0, 2 因为 k ≠1,所以
2 2 2

k2 2 2 Δ=4m k -4(k -1) (m -2)=4( 2 -2+2k )=8k(3k-2 k ? 1 ) . m
2 2 2 2

令Δ=0,由 0≤k<1,解得 k=0,k=

2 5 . 5

当 k=0 时,m=

2 ,解得 x=0,y= 2 .
; 2)

此时点 B 的坐标为(0,

当 k=

2 5 10 时,M= ,解得 x=2 2 ,y= 10 .此时点 B 的坐标为(2 2 , 10 ). 5 5

92.解:由题设知点 Q 不在原点,设 P、R、Q 的坐标分别为(xP,yP) , (xR,yR) , (x,y) ,其中 x、y 不同时为 零. 设 OP 与 x 轴正方向的夹角为α,则有 xP=|OP|cosα,yP=|OP|sinα xR=|OR|cosα,yR=|OR|sinα x=|OQ|cosα,y=|OQ|sinα 2 由上式及题设|OQ|?|OP|=|OR| ,得

| OP | ? x ? x P ? | OQ | ? ? ? y ? | OP | y P ? | OQ | ?
? xP y P ? ?1 ? ? 12 8 ? 2 2 ? xR ? y R ? 1 ? ? 24 16





? 2 | OP | 2 xR ? x ? | OQ | ? ? ? y 2 ? | OP | y 2 R ? | OQ | ?





由点 P 在直线 L 上,点 R 在椭圆上,得方程组 ⑤



将①②③④代入⑤⑥,整理得点 Q 的轨迹方程为

( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 =1(其中 x、y 不同时为零) ? 5 5 2 3

所以点 Q 的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴分别为

10 15 和 ,且长轴与 x 轴平行的椭圆,去掉坐标 2 3

原点. 评述:本题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法,利用方程判定曲线的

性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力.

? y ? x tan? ? 93.(Ⅰ)设经过原点且倾角为θ的直线方程为 y=xtanθ,可得方程组 ? x 2 又由对称性,得四边形 y2 ? ? 1 ?m2 n2 ?
ABCD 为矩形,同时 0<θ<

? 2

,所以四边形 ABCD 的面积 S=4|xy|=

4m 2 n 2 tan? . n 2 ? m 2 tan 2 ?

(Ⅱ)S=

4m 2 n 2 n2 ? m 2 tan? tan?



( 1 ) 当 m>n , 即

n n2 n2 2 2 <1 时,因为 + m tan θ ≥ 2nm , 当 且 仅 当 tan θ = 2 时 等 号 成 立 , 所 以 t an? m m

S?

4m 2 n 2 n2 ? m 2 tan? tan?
由于 0<θ≤

4m 2 n 2 ? ? 2mn . 2mn

? 4

,0<tanθ≤1,

故 tanθ=

n 得 u=2mn. m n ? >1 时,对于任意 0<θ1<θ2≤ , 4 m
n2 n2 ) ? (m 2 tan? 1 ? ) tan? 2 tan? 1

(2)当 m<n,即

由于 ( m

2

tan? 2 ?

m 2 tan? 1 tan? 2 ? n 2 ? (tan? 2 ? tan? 1 ) . tan? 1 tan? 2

n2 因为 0<tanθ1<tanθ2≤1, m tanθ1tanθ2-n <m -n <0, 所以 (m tanθ2+ tan? 2
2 2 2 2 2

n2 ) - (m tanθ1+ tan? 1
2



? <0,于是在(0, 4

]上,S=

4m 2 n 2 n2 ? m 2 tan? tan?

? 是θ的增函数,故取θ= 4

4m 2 n 2 ,即 tanθ=1 得 u= 2 . m ? n2

?2mn ? 所以 u= ? 4m 2 n 2 ?m2 ? n2 ?
(Ⅲ) (1)当

(0 ? n ? m) (0 ? m ? n )

m >1 时,u=2mn>mn 恒成立. n

(2)当

m u 4mn m 2 m ? 2 <1 时, >1,即有( ) -4( )+1<0, 2 n mn m ? n n n 3? 3? m m ? 2 ? 3 ,又由 <1, n n

所以 2 ?

得2?

m ? 1. n m 的取值范围为(2- 3 ,1)∪(1,+∞) . n

综上,当 u>mn 时,

评述:本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用,通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力,同时体现 分类讨论思想. 94.如图 8—25,设点 P、Q、R 的坐标分别为(12,yP) , (x,y) , (xR,yR) ,由题设知 xR >0,x>0. 由点 R 在椭圆上及点 O、Q、R 共线,得方程组

? xR 2 y R 2 ? ?1 ? ? 24 16 ? ? yR ? y ? ? xR x

图 8—25

? 2 48x 2 ?xR ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 解得: ? 2 ? x 2 ? 48 y R ? 2x 2 ? 3y 2 ?
由点 O、Q、R 共线,得





yP y 12 y ? ,即 y P ? x 12 x
2



由题设|OQ|?|OP|=|OR| ,得

x 2 ? y 2 ? 122 ? y P ? ( xR ? y R ) 2 .
2 2 2

将①、②、③代入上式,整理得点 Q 的轨迹方程

y2 (x-1) + =1(x>0). 2 3
2

所以,点 Q 的轨迹以(1,0)为中心,长、短半轴长分别为 1 和

6 且长轴在 x 轴上的椭圆,去掉坐标原点. 3

评述:本题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想 及综合运用知识的能力. 2 95.解:如图 8—26 所示,由题意设抛物线 C 的方程为 y =2px(p>0) ,且 x 轴和 y 轴不是 所求直线,又 L 过原点,因而可设 L 的方程为 y=kx(k≠0) ,设 A′B′分别是 A、B 关于 L 的 对称点. A′(x′,y′)关于 y=kx 对称于 A(-1,0)

图 8—26

1 ? y? ?? ? k 2 ?1 2k ? x? ? 1 k 则? ? A?( 2 ,? 2 ) k ?1 k ?1 ? x? ? 1 ? k ? ? y ? ? ? 2 2
同理 B′[

16k 8(k 2 ? 1) ] , k 2 ?1 k 2 ?1

2k k 2 ?1 2 又 A′、B′在抛物线 C 上,所以( ? 2 ) =2p? 2 k ?1 k ?1
由此知 k≠1,即 p=

2k 2 k 4 ?1



16k 8(k 2 ? 1) 2 ] =2p? 2 , 4 k ?1 k ?1

2(k 2 ? 1) 2 由此得 p= (k 2 ? 1)k
从而

2k 2 2(k 2 ? 1) 2 ? k 4 ? 1 (k 2 ? 1)k
?

,整理得 k -k-1=0

2

所以 k1

1? 5 1? 5 , k2 ? 2 2
? 1? 5 k2 ? ? ? 2 ? ? p ? ? 2 5 ? 0(舍) ? 5 ?

? 1? 5 k1 ? ? ? 2 ? ?p ? 2 5 ? 5 ?

所以直线 l 方程为 y=

1? 5 x, 2

抛物线方程为 y =

2

4 5 x. 5

评述: 本题考查直线与抛物线的基本概念和性质、 解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力.

y2 x2 96.解: (1)设所求方程为 2 ? 2 =1(a>b>0) a b

? 2 t2 ? a2 ? b2 ? 1 a ? ? ? ? t 2 ?1 由题意得 ? a 解得 ? ? ?t ?b 2 ? 1 ?b ? t 2 ?1 ?

所以椭圆的方程为

y2 x2 ? ?1 1 t2 2 t 2 ?1 t ?1

(2)设经过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分的交点为 Q(x1,y1) ,P(x,y)

1 ? ? x1 ? ? y ? tx 2(t 2 ? 1) ? 2 ? 有 ? (t ? 1) y 2 得? 2 2 t ? ( t ? 1 ) x ? 1 ? ?y ? t2 ? 1 ? 2(t 2 ? 1) ?
因为

| OP | | x | ? ? t t 2 ?1 | OQ | | x1 |
t 2 1 2 t 2

t ? ? x? x?? ? ? ? 2 ? 所以 ? 或? ? y ? tx ? 1 t 2 ? y ? ? ? ? 2 ? ?

而 t>1,于是点 P 的轨迹方程为:

x2=

2 2 2 2 2 y(x> )和 x = ? y(x< ? ) 2 2 2 2
2

点 P 的轨迹为抛物线 x =

2 2 2 2 2 y 在直线 x= 右侧的部分和抛物线 x = ? y 在直线 x= ? 左侧的部分. 2 2 2 2


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