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2016.7高二数学(理科)暑假作业主观题


2016、7 高二数学(理科)暑假作业
第 1天

主观题部分

3.若曲线 f(x)=ax +lnx 存在平行于 x 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
x

2



4.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a 为常数),曲线 y=f(x)在与 y 轴的交

点 A 处的切线 斜率为﹣1. (Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当 x>0 时,ex>x2+1; (Ⅲ)证明:当 n∈N 时,
*



5.已知 f(x)=ax+sinx(a∈R). (1)当 a= 时,求 f(x)在[0,π ]上的最值;

(2)若函数 g(x)=f(x)+f′(x)在区间[﹣ 取值范围.



]上不单调,求实数 a 的

试卷第 1 页,总 17 页

第 2天
5.函数 f(x)=x ﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,4]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2) |≤t,则实数 t 的最小值是 6.已知函数 (Ⅰ)求曲线 在点 . 处的切线方程; .
3

(Ⅱ)设

,若函数



上(这里

)恰

有两个不同的零点,求实数 的取值范围.

7. 求下列函数的导数:

( 1 )f ( x ) ? x tan x ; ( 2 )f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ; ( 3 ) f ( x) ? 2sin 3x.

试卷第 2 页,总 17 页

第3天
5. 6.已知函数 f ( x) ? = .

ln x . x
a b

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)已知 a、b∈R,a>b>e, (其中 e 是自然对数的底数), 求证:b >a .

7.已知函数 f ( x) ?

2? x . ? a ln( x ? 1) ( a ? R ) x ?1

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调递增函数,试求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 2 时,求证: 1 ?

1 . ? 2ln( x ? 1) ? 2 x ? 4 ( x ? 2 ) x ?1

试卷第 3 页,总 17 页

第4天
5.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,将直线 y= 与直线 x=1

及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的 体积 V 圆锥=
2

π(

) dx=

2

|

=

据此类比:将

曲线 y=x (x≥0)与直线 y=2 及 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该 旋转体的体积 V= .

6.设函数 f(x)=ax﹣2﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)若 f(x)在点(e,f(e) )处的切线为 x﹣ey﹣2e=0,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 x>0 时,求证:f(x)﹣ax+ex>0.

7.已知函数

在 x=1 处取得极值 2.

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增? (3)若 P(x0,y0)为 图象上任意一点,直线 l 与 的图

象切于点 P,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

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第 5天
5.若函数 f(x)=(1﹣x )(x +ax+b)的图象关于直线 x=3 对称,则 f(x)的最大值 是 .
x 3
2 2

6.已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e 和 g ( x) ? kx ? x ? 2 . (1)若函数 g ( x) 在区间 ?1, 2 ? 不单调,求实数 k 的取值范围; (2)当 x ??1, ?? ? 时,不等式 f ( x) ? g ( x)+x+2 恒成立,求实数 k 的最大值.

7.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x ? ax ? 3 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [t , t ? 1] (t ? 0) 上的最小值; (Ⅱ)对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

试卷第 5 页,总 17 页

第 6天
6.在某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生, 2 位男生.如果 2 位 男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数 为 . 7.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 堂课的课程表,要求数 学在上午(前 4 节),体育排在下午(后 2 节) ,不同的排法种数是______.

第 7天
5.5 位同学排队,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能相邻,且女生甲不能排 在排头,则排法种数为 . 6.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第 一或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 ________ 种(用数字作答) . 7. (1)3 人坐在有八个座位的一排上,若每人的左右两边都要有空位,则不同坐法的 种数有多少种? (2)有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种? (3)现有 10 个保送上大学的名额,分配给 7 所学校,每校至少有一个名额,问:名额 分配的方法共有多少种?

试卷第 6 页,总 17 页

第 8天
5.若二项展开式 (a ? x )5 的第三项系数为 80 ,则实数 a ? ______.

1 ? ? 6.若 ? 3 x ? ? 展开式各项系数之和为 64 ,则展开式的常数项为 x? ?
7.已知在 ( 3 x ?

n



1 2 x
3

)n 的展开式中,第 6 项为常数项

(1)求展开式中各项系数的和;
2 2 2 2 (2)求 C2 的值; ? C3 ? C4 ? ... ? Cn

(3)求展开式中系数绝对值最大的项.

试卷第 7 页,总 17 页

第9天
? 1 ? 3 4.在 ? 2 x ? ? 的展开式中,含 x 项的系数是 x? ?
6

.(用数字填写答案)

5 . 设 an (n ? 2,3, 4,?) 是 (3 ? x )n 的 展 开 式 中 x 的 一 次 项 的 系 数 , 则

32 33 318 ? ??? ? _____. a2 a3 a18
6.已知 ( x ? 2)(x ?1)4 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ______. 7.已知 x10 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) 2 ? ... ? a10 ( x ? 2)10 ,求 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a10 的值.

试卷第 8 页,总 17 页

第 10 天
5. 如图, 点 A 的坐标为 ?1,0 ? , 点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? , 函数 f ? x ? ? x , 若在矩形 ABCD
2

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于

.

6.心理学家分析视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 40 名同学(男 30 名,女 10 名) ,给所有同学几何题 和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行答题,选择情况如下表:单位(人)

(1)能否据此判断有 ????? 的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲解答一道代数题所用时间在 4 ? 6 分钟,乙解答一道代数题所 用时间在 5 ? 7 分钟,现甲乙各解同一道代数题,求甲比乙先解答完的概率. 下面临界值表仅供参考:

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

试卷第 9 页,总 17 页

7.某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入 4 万元广告费用,并 将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴 的数据丢失,但可以确定横轴是从 0 开始计数的.

(Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度; (Ⅱ)估计该公司投入 4 万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中 点值代表该组的取值) ; (Ⅲ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:

表中的数据显示, x 与 y 之间存在线性相关关系,请将(Ⅱ)的结果填入空白栏,并计 算 y 关于 x 的回归方程.
?

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

,a ? y ?b x .

?

?

试卷第 10 页,总 17 页

第 11 天 1 4. 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 9
发生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P ( A) 为 。

5.设 A、B 是两个事件,0<P(A)<1,P( B |A)=1. 则下列结论:①P(AB)=0;②P(A+ B )=P(A); ③P( A )=P(B);④P(A)=P( B ).其中正确的是________.

6. (本题满分 12 分)一盒子中有 8 个大小完全相同的小球,其中 3 个红球,2 个白球, 3 个黑球. (Ⅰ)若不放回地从盒中连续取两次球,每次取一个,求在第一次取到红球的条件下, 第二次也取到红球的概率; (Ⅱ)若从盒中任取 3 个球,求取出的 3 个球中红球个数 X 的分布列和数学期望.

7. (本小题满分 12 分) 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试,考试分笔试和面试两个环节,笔试有 A、

1 1 、 ,两题全部答对方可进入面试. 2 3 1 面试要回答甲、乙两个问题,该学生答对这两个问题的概率均为 ,至少答对一题即可 2
B 两个题目,该学生答对 A、B 两题的概率分别为
被聘用(假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的). (I)求该学生被公司聘用的概率; (II)设该学生答对题目的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

试卷第 11 页,总 17 页

第 12 天
4.设随机变量 X ~ B (6, ) ,则 P( X ? 3) ? ________.

1 2

5.设 50 件商品中有 15 件一等品,其余为二等品.现从中随机选购 2 件,则所购 2 件 商品中恰有一件一等品的概率为________. 6.一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等 的。 (Ⅰ)从袋子中任意摸出 3 个球,求摸出的球均为白球的概率; (Ⅱ)一次从袋子中任意摸出 3 个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球 成功”(每次操作完成后将球放回) ,某人连续摸了 3 次,记“摸球成功”的次数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望。

7.某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在 每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术 辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也 可以放弃任何一门科目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否 则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

试卷第 12 页,总 17 页

第 13 天
3. 一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能 正确回答每题的概率均为 概率为 .

2 ,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生 “通过面试” 的 3

4.设随机变量 ? ? ? 3, ? 2 ,若 ? ? ? ? m? ? 0.3 ,则 ? ? ? ? 6 ? m? ? 5 . 已 知 随 机 变 量 X ~ B ? 5,0.2? , Y ? 2 X ? 1 , 则 E (Y ) ?

?

?

. ; 标准差

? ?Y ? ?



6. (13 分)一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设袋子中的每一个球被摸到可能 性是相等的。 (Ⅰ)从袋子中任意摸出 3 个球,求摸出的球均为白球的概率; (Ⅱ)一次从袋子中任意摸出 3 个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球 成功”(每次操作完成后将球放回) ,某人连续摸了 3 次,记“摸球成功”的次数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望。

试卷第 13 页,总 17 页

7.某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中,现有甲、乙两个建设项目选 择,若投资甲项目一年后可获得的利润 ?1 (万元)的概率分布列如下表所示:

且 ?1 的期望 E ??1 ? ? 120 ;若投资乙项目一年后可获得的利润 ?2 (万元)与该项目建设 材料的成本有关,在生产的过程中,公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进 行产品的价格调整, 两次调整相互独立且调整的概率分别为 p ? 0 ? p ? 1? 和 1 ? p .若乙 项目产品价格一年内调整次数 X (次数)与 ?2 的关系如下表所示:

(1)求 m, n 的值; (2)求 ?2 的分布列; (3)若 E ??1 ? ? E ??2 ? ,则选择投资乙项目,求此时 p 的取值范围.

试卷第 14 页,总 17 页

第 14 天
4.如图, EFGH 是以 O 为圆心,1 为半径的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地掷到 圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形

HOE (阴影部分)内”,则 P( B | A) =



5. 甲罐中有 5 个红球, 2 个白球和 3 个黑球, 乙罐中有 4 个红球, 3 个白球和 3 个黑球. 先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1 , A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件; 再从乙罐中随机取出一球, 以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的序号).

2 ; 5 5 ② P ( B | A1 ) ? ; 11
① P( B) ? ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④ A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件; ⑤ P ( B ) 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中究竟哪一个发生有关. 6.自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性 调整,使得“要不要再生一个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育 决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随 机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:

(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生 育意愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由 单位根据单位情况自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ? 表示两种方案休假周数和.求随机变量 ? 的分布及期望.

试卷第 15 页,总 17 页

7.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 B 中摸出一个红球的概率为 p. (I)从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止. (i)求恰好摸 5 次停止的概率;

1 ,从 3

(ii) 记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? , 求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? . (II)若 A、B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一 个红球的概率是

2 ,求 p 的值. 5

试卷第 16 页,总 17 页

第 15 天
4.已知虚数 z 满足 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 | z | ? 5.复数 满足 6.在复平面内,复数 ,则 . .

的最小值为

z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则 z1 z2 ? ____.

7. 已知复数 z1 满足 ? z1 ? 2? ? ?1 ? i ? ? 1? i( i 为虚数单位) , 复数 z2 的虚部为 2, 且 z1 ? z2 是实数. (1)求 z1 ; (2)求 z2 .

8.已知 z 是复数, z ? 2i, 的取值范围.

z 均为实数,且 ( z ? ai)2 的对应点在第一象限,求实数 a 2?i

试卷第 17 页,总 17 页

第 16 天
5.观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 6.在数列{an}中,a1=1,an+1= 吗?请说明理由. 2an ,n∈N*,猜想这个数列的通项公式,这个猜想正确 2+an

7. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; ②sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; ③sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

试卷第 18 页,总 6 页

第 17 天
6.已知 a,b,c 是互不相等的非零实数,用反证法证明三个方程 ax2+2bx+c=0,bx2+2cx +a=0,cx2+2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.

7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

1 1 3 + = ,试 a+b b+c a+b+c

问 A,B,C 是否成等差 数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明.

试卷第 19 页,总 6 页

第 18 天
1 1 1 6.设 f(n)=1+ + +…+ (n∈N*). 2 3 n 求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n· [f(n)-1](n≥2,n∈N*).

7. 是否存在正整数 m 使得 f(n)=(2n+7)· 3n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?若存在, 求出最大的 m 的值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

试卷第 20 页,总 6 页

第 19 天
π 5.已知圆的极 坐标方程为 ρ=4cosθ,圆心为 C,点 P 的极坐标为(4, ),则|CP|=________. 3

6.从极点 O 作直线与另一直线 l:ρcosθ=4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使|OM|· |OP| =12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2 )设 R 为 l 上的任意一点,试求|RP|的最小值.

π 2 7.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cosθ+sinθ 和直线 l:ρsin(θ- )= . 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.

试卷第 21 页,总 6 页

第 20 天
?x=1+cosθ, ? ? 3. 圆 C: (θ 为参数)的普通方程为____________, 设 O 为坐标原点, 点 M(x0, ? ?y=sinθ

y0)在 C 上运动,点 P(x,y)是线段 OM 的中点,则点 P 的轨迹方程为____________.
? ?x=1+tsinα, π 4.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),其中实数 α 的范围是(0, ),则直 2 ?y=-2+tcosα ?

线 l 的倾斜角是________.
?x=8t2, ? 5.已知抛物线 C 的参数方程为? (t 为参数).若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦 ? ?y=8t

点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=________.

?x=2cosθ, 6.已知圆锥曲线? (θ 是参数)和定点 A(0, 3),F1、F2 是圆锥曲线的左、右焦 ?y= 3sinθ
点. (1)求经过点 F1 垂直于直线 AF2 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直 线 AF2 的极坐标方程.

试卷第 22 页,总 6 页

7.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合,
?x=-1+tcosα, ? 且两个坐标系的单位长度相同,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲 ?y=1+tsinα ?

线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (1)若直线 l 的斜率为-1,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (2)若直线 l 与曲线 C 的相交弦长为 2 3,求直线 l 的参数方程.

试卷第 23 页,总 6 页


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