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2.3


2.3 数学归纳法
(第一课时)

授课班级:高二(28)班

淮南一中数学组: 李红东

新课导入
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示

新课导入
如何保证骨牌一一倒下?需要几个步 骤才能做到? (1)处理第一个问题;(相当于推倒 第一块骨牌) (2)验证前一问题与后一问题有递推 关系;(相当于前牌推倒后牌)

新知学习
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有 关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证 明它们的正确性:

(1)证明当n取第一个值n0(例如 n0=1) 时命题成立,
(2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0) 时命题成立证明当n=k+1时命题也成立, 这种证明方法叫做 数学归纳法

新知学习
1? 2 ? 3 1 ? , 6 2 ? 3? 5 2 2 1 ?2 ? , 6 3? 4 ? 7 2 2 2 1 ?2 ?3 ? , 6 4? 5? 9 2 2 2 2 1 ?2 ?3 ?4 ? , 6 . 归纳
2

情境1.观察下列各等式,你发现了什么? 思考:你由不完全归纳法 所发现的结论正确吗?若 不正确,请举一个反例; 若正确,如何证明呢?

1 ?2 ?3 ?4 ?
2 2 2 2

n ? ( n ? 1) ? (2n ? 1) ?n ? . 6
2

新知学习
1 ?2 ?3 ?4 ?
2 2 2 2

数学建构
n ? ( n ? 1) ? (2n ? 1) ?n ? . 6
2

类比多米诺骨牌游戏证明情境中的猜想 的步骤为:

(1)证明当n=1时猜想成立 相当于第一张牌能倒下 (2)证明若当n=k时命题成立,则n=k+1时命 题也成立. 相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜 想对于所有的正整数n都是成立的。

新知学习

2

证明:
2 2 2

递推基础

1 ?2 ?3 ?4 ?

n ? ( n ? 1) ? (2 n ? 1) ?n ? ( n ? N * ). 6
2

证明 ①当n=1时,左边=1 =右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立,即 那么,当n=k+1时,有 1
递推依据
k ? ( k ? 1) ? (2 k ? 1) 1 ?2 ?3 ?4 ? ?k ? 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2

?2 ?3 ?4 ? ? k ? ( k ? 1) 2 k ? ( k ? 1) ? (2k ? 1) ? ? ( k ? 1) 2 6 ( k ? 1)[( k ? 1) ? 1][2( k ? 1) ? 1] ? 6
2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
2 2 2 2 2

目标: 1 ?2 ?3 ?4 ?

根据①和②,可知对任何n?N 等式都成立。

( k ? 1)[( k ? 1) ? 1][2( k ? 1) ? 1] ? k ? ( k ? 1) ? 6 *

练习1

用数学归纳法证明:

如果{a n } 是等差数列,已知首项为 a1,公差为 d ,那么 a n ? a1 ? ( n ? 1)d ? n ? N 对一切 都成立. 递推基础
左边 ? a1 , 右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 , 证明:(1)当n=1时, 等式是成立的.

(2)假设当n=k时等式成立,就是a k ? a1 ? ( k ? 1)d , 那么当n=k+1时,

ak ?1 ? a k ?   d ? [a1 ? (k ?1)d ] ? d ? a1 ? [(k ? 1) ?1]d

? n ? N 由(1)和(2)可知,等式对任何 都成立.

目标: ak ?1 ? a1 ? [( k ? 1) ? 1]d

这就是说,当n=k+1时,等式也成立

递推依据

练习2 用数学归纳法证明

1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ?1) ? n (n ? N ).
2 *

递推基础

证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即

1 ? 3 ? 5 ? ? (2k ?1) ? k .
2

那么当n=k+1时,1 ? 3 ? 5 ?
? (k ? 1)2

? (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1]

? k 2 ? [(2(k ? 1) ? 1] ? k 2 ? 2k ? 1
递推依据
2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立.

目标: 1 ? 3 ? 52),可知等式对任何正整数 ? (2k ? 1) ? [2( k ? 1) ? 1] ? ( k ? 1)n都成立. 由( 1)和(

用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是:
n0 ? 1或2等)时结论正确; (1)证明当 n 取第一个值 n (如 0

递推基 础 (2)假设时 n ? k ( k ? N?且k ? n0 ) 结论正确,证明 n ? k ? 1 时结论也正确. “用上假设,递推才真” “综合(1)、(2),……”不可少! 递推依据

“找准起点,奠基要稳”

注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。

下列命题用数学归纳法证明过程中有错误吗? (1)2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*)

证明 :假设当n=k时等式成立,即
2+4+6+8+?+2k=k2+k+1(k?N*)

那么,当n=k+1时,有

缺乏“递推基础” 事实上,我们可 以用等差数列求 和公式验证原等 式是不成立的!

2+4+6+8+?+2k+2(k+1)

=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 ,

因此,对于任何n?N*等式都成立。

1 1 (2) ? ? 1? 2 2 ? 3

1 n ? ? (n ? N * ) n ? (n ? 1) n ? 1
1 1 ? 1? 2 2

证明 ①当n=1时,左边=

,

1 1 右边= = 此时,原等式成立。 1+1 2

②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即

1 1 1 k 请修改为数学 ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 归纳法 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 左边 ? (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ( k ? 1 ? k ? 2 ) 没有用上“假 1 k ?1 ? 1 ? ? =右边 设”,故此法 k ? 2 ( k ? 1) ? 1

不是数学归纳 法这就是说,当n=k+1时,命题也成立.

由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

1 1 (2) ? ? 1? 2 2 ? 3

1 n ? ? (n ? N * ) n ? (n ? 1) n ? 1
1 1 ? 1? 2 2

证明 ①当n=1时,左边=

, 右边=

1 1 ? 1?1 2

此时,原等式成立。
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 1) (k ? 2) k 1 k ?1 ? ? ? k ? 1 (k ? 1) (k ? 2) (k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

这 才 是 数 学 归 纳 法

1 1 (2) ? ? 12 23

1 n * ? ? (n ? N ) n (n ? 1) n ? 1

1 1 1 1 1 证二:左边=(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? =右边,所以原等式成立。 n ?1 n ?1

这不是数学归纳法

(3)2n>n2(n?N*) 证明

事实上,原不等式不成立,如 1>1 2,不等式显然成立。 n=2 时不等式就不成立。 :①当n=1时,2

②假设当n=k时等式成立,即2k>k2, 那么当n=k+1时,有

2k+1=2?2k=2k+2k>k2+k2?k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时不等式也成立。

根据(1)和(2),可知对任何n?N*不等式 都成立。 虽然既有“递推基础”,又用到假设
(“递推依据”),但在证明过程中出现 错误,故上述证法错误!

练习巩固
2 n+1

1+ a + a + ...+ a = a ≠ 1,n ? N ? ”在验证 ? 1、 用数学归纳法证明:“ 1-a n=1成立时,左边计算所得的结果是( C )
*

1- a

n+2

A.1 C.1+ a + a 2 2.已知: f (n) ? 1 ? 1 ? ... ?
n?1 n?2

B. 1 + a D. 1+ a + a 2 + a 3
1 ,则 f ( k ? 1) 等于( 3n ? 1

C )

A: C:

1 f (k ) ? 3( K ? 1) ? 1
f (k ) ? 1 1 1 1 ? ? ? 3K ? 2 3K ? 3 3K ? 4 K ? 1

B: D:

f (k ) ?

1 3K ? 2

f (k ) ?

1 1 ? 3K ? 4 K ? 1

练习巩固
1 3.用数学归纳法证明 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = n( n ? 1)(n ? 2) 3 证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立 3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1) = =

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

(k ? 1)(k ? 2)

凑假设

1 ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? n?

,命题正确。

回顾反思
(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题
的重要方法 (2)数学归纳法证题的步骤:两个步骤,一个结论; (3)数学归纳法优点:即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。 (4)数学归纳法的基本思想:运用“有限”的手段 来

解决“无限”的问题


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