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排列组合习题 (含详细答案)


1.题 1 (方法对比,二星) 题面: (1)有 5 个插班生要分配给 3 所学校, 每校至少分到一个, 有多少种不同的分配方法? (2)有 5 个数学竞赛名额要分配给 3 所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额 分配方法? 解析:“名额无差别”——相同元素问题 (法 1)每所学校各分一个名额后,还有 2 个名额待分配,可将名额分给 2 所学校、1 所学校,

2 1 共两类: C3 ? C3 (种)

(法 2——挡板法)
2 相邻名额间共 4 个空隙,插入 2 个挡板,共: C4 ? 6 (种)

注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每个位置至少分配一个元素的问题.(位 置有差别,元素无差别)

同类题一 题面:
有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 答案: C9 详解: 因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成 9 个空隙。在 9 个空档中选 6 个位置插个隔板,可把名额分成 7 份,对应地分给 7 个班级,每一种插板方法对应一种分 法共有 C9 种分法。
6 6

同类题二
题面: 求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。 答案:36. 详解: 将 10 个球排成一排,球与球之间形成 9 个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插 一块隔板) ,规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x、y、z 之值, 故解的个数 2 为 C9 =36(个) 。

2.题 2 (插空法,三星) 题面:某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展台,并且

3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要
求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种.

答案: 60 , 48

同类题一

题面: 6 男 4 女站成一排,任何 2 名女生都不相邻有多少种排法? 答案:A6· 4种. 6 A7 详解: 任何 2 名女生都不相邻, 则把女生插空, 所以先排男生再让女生插到男生的空中, 共有 A6· 4 6 A7 种不同排法.

同类题二 题面:
有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 )

答案:C. 详解: 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而 共 A3A2=72 种排法,故选 C. 3 4

3.题 3 (插空法,三星) 题面:5 个男生到一排 12 个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.

[1]没有坐人的 7 个位子先摆好, [2](法 1——插空)每个男生占一个位子,插入 7 个位子所成的 8 个空当中,有:

A85 =6720 种排法.
5 (法 2)[1]5 个男生先排好: A5 ;

[2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉 9 个位置,当作 5 个排好的元素, 共有 6 个空,剩下的 3 个元素往里插空,每个空可以插 1 个、2 个、3 个元素,
3 2 1 共有: C6 ? 2C6 ? C6 种,

5 3 2 1 综上:有 A5 ( C6 ? 2C6 ? C6 )=6720 种.

同类题一
题面: 文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有 4 个歌舞节目,如果保持这些节目 的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?

答案:30。 详解: 记两个小品节目分别为 A、B。先排 A 节目。根据 A 节目前后的歌舞节目数目

考虑方法数,相当于把 4 个球分成两堆,有

种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。

再考虑需加入的 B 节目前后的节目数,同理知有

种方法。故由分步计数原理知,方

法共有

(种)。

同类题二 题面:
(2013 年开封模拟)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生 中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A.60 C.42 答案:B. 详解:
2 第一步选 2 女相邻排列 C2· 2,第二步与男—女排列 A2,第三步男生甲插在中间,1 种 3A 2 2 插法,第四步男—男生插空 C1,故有 C2· 2· 2· 1=48 种不同排法. 4 3 A A2 C4

)

B.48 D.36

4.题 4 (隔板法变形,三星) 题面:15 个相同的球,按下列要求放入 4 个写上了 1、2、3、4 编号的盒子,各有多少种不 .. 同的放法?
3 (1)将 15 个球放入盒子内,使得每个盒子都不空; C14 ? 364

(2)将 15 个球放入盒子内,每个盒子的球数不小于盒子的编号数; (3)将 15 个球放入盒子内,每个盒子不必非空; (4)任取 5 个球,写上 1-5 编号,再放入盒内,使每个盒子都至少有一个球; (5)任取 10 个球,写上 1-10 编号,奇数编号的球放入奇数编号的盒子,偶数编号的球放入偶 数编号的盒子.

解析:
3 (2)先将 2、3、4 号盒子分别放入 1、2、3 个球,剩下的 9 个球用挡板法, C8 =56 3 (3)借来 4 个球,转化为 19 个球放入盒子内,每个盒子非空, C18 ? 816

(4)不能用“挡板法”,因为元素有差别.
2 4 (法 1)必有一个盒子有 2 个球, C5 A4 ? 240 ;

(法 2)先选 3 个球,分别排到 4 个盒子中的 3 个里,剩下的盒子自然放 2 个球.
3 3 C5 A4 ? 240 ; 4 1 (法 3) A5 C4 ? 480 ,会重!需要除 2!

重复原因:1 号盒子放 1、5 号球,先放 1 后放 5 与先放 5、后放 1 是一样的! (5)(法 1)每个球都有 2 种选择,共有 210 种方法; (法 2)奇数号的球有 1、3、5、7、9,共 5 个,可以在 1、3 号两个盒子中选一个放入,
5 4 3 2 1 0 共有: C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 25 种放法,

同理放偶数号的球也有 2 种方法,综上共有 210 种方法.

5

同类题一 题面:
某车队有 7 辆车,现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加,且甲 车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字). 答案:120. 详解: 先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C2种选法,连同甲、乙共 4 辆车,排列在一起,先从 4 5 个位置中选两个位置安排甲、乙,甲在乙前共有 C2种,最后,安排其他两辆车共有 A2种方 4 2
2 法,故不同的调度方法为 C2· 2· 2=120 种. 5 C4 A

同类题二 题面:
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架舰载机准备着舰,如 果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 答案:C. 详解: 分三步:把甲、乙捆绑为一个元素 A ,有 A2 种方法; A 与戊机形成三个“空”,把丙、
2



2 丁两机插入空中有 A3 种方法;考虑 A 与戊机的排法有 A2 种方法.由乘法原理可知共有

2

2 2 A2 A32 A2 ? 24 种不同的着舰方法.故应选 C.

5. 题 5(相同与不同,三星) 题面:某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋 友 1 本,则不同的赠送方法共有( A.4 种 ) C.18 种 D.20 种

B.10 种

同类题一
题面: (2013· 北京高考)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如 果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 答案:96. 详解: 按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组, 然后再分配给 4 人, 连号的 情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,故其方法数是 4A4=96. 4

同类题二
题面: 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女 生相邻,则不同排法的种数是 ( ) A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 答案:288 种. 详解: 分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从 3
2 个女生中选两位,有 C32 种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有 A2 种方法;这样选出两

名女生后,再考虑男生的问题,先把三个男生任意排列,有 A32 中不同的排法, 然后把两个女生看成一个整体,和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有 A4 种
2 2 3 2 不同的排法,共有 A2 C3 A3 A4 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。 2

甲可能站左端,也可能是右端,有 C 2 种不同的方法,然后其他两个男生排列有 A2 种排
2 2 2 1 2 2 法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有 A3 种不同的排法。共 A2 C3 C 2 A2 A3 种不同

1

2

的排法, 故总的排法为 A2 C3 A3 A4 — A2 C3 C 2 A2 A3 =288 种不同的方法。

2

2

3

2

2

2

1

2

2

.题 6(组合数的性质,二星) 题面:5 个男生 3 个女生,分别满足下列条件,各有多少种方法? (1)选出 3 人参加 A 活动; (2)选出 5 人参加 B 活动; (3)选出 4 人参加一项活动,女生甲必须参加; (4)选出 4 人参加一项活动,女生甲不能参加.

答案:

同类题一 题面:
从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有 ( ) A. 70 种 B. 80 种 C. 100 种 D. 140 种 答案:A. 详解:
2 1 1 2 分为 2 男 1 女,和 1 男 2 女两大类,共有 C5 ? C4 ? C5 ? C4 =70 种

同类题二
题面: 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有 多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员. 答案: (1)120 种 (2) 246 种. 详解: (1)第一步:选 3 名男运动员,有 C 3 种选法. 6 第二步:选 2 名女运动员,有 C 2 种选法. 4 共有 C 3 · 2 =120 种选法. 6 C4 (2) 至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 4 2 C 1 C 6 +C 2 C 3 +C 3 C 6 +C 4 C 1 =246 种. 4 4 4 4 6 6

.题 7 (选和排,二星) 题面:从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中有且只有 1 名女生,则选派方案共有多少种?
1 2 3 法一:先选后排, C3C4 A3

法二:边选边排,

1 1 2 (C3 A3 ) ? A4

同类题一
题面: 将 4 名教师分配到 3 所中学任教, 每所中学至少 1 名教师, 则不同的分配方案共有( A.12 种 C.36 种 B.24 种 D.48 种 )

答案:C. 详解:
3 先分组再排列:将 4 名教师分成 3 组有 C2种分法,再将这三组分配到三所学校有 A3种 4

分法,由分步乘法计数原理,知一共有 C2· 3=36 种不同分配方案. 4 A3

同类题二 题面:
甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不 区分站的位置,则不同的站法种数是( A.258 C.336 ) B.306 D.296

答案:C. 详解: 根据题意,每级台阶最多站 2 人,所以,分两类:第一类,有 2 人站在同一级台阶,共 有 C2A2种不同的站法;第二类,一级台阶站 1 人,共有 A3种不同的站法.根据分类加法计 3 7 7 数原理,得共有 C2A2+A3=336(种)不同的站法. 3 7 7 3.题一(合理分类,二星) 题面:若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取 法共有( ) A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种

同类题一
题面:

只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出 现,这样的四位数有( A.6 个 答案:C. 详解: 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字
2 共有 C1=3(种)选法,即 1231,1232,1233,而每种选择有 A2× 3=6(种)排法,所以共有 3× 6 3 2 C

) B.9 个 C.18 个 D.36 个

=18(种)情况,即这样的四位数有 18 个.

同类题二 题面:
由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( A.72 答案:C. 详解:
1 分两类:若 1 与 3 相邻,有 A2· 3A2A2=72(个),若 1 与 3 不相邻有 A3· 3=36(个) 2C 2 3 3 A3

)

B.96

C.108

D.144

故共有 72+36=108 个. 题8 题面:5 个男生 3 个女生,分别满足下列条件,各有多少种方法? (1)选出 4 人参加一项活动,女生甲必须参加; (2)选 3 人参加数学竞赛,至少有一名男生.
1 2 2 1 3 (法 1)分类:1 名、2 名、3 名男生: C5C3 ? C5 C3 ? C5 ? 55 ; 3 3 3 (法 2)间接法—— C8 ? C3 ? C8 ? 1 ? 55 .

1 2 (法 3)[1]先取 1 名男生;[2]再在剩下的 7 人中取 3 人; C5C7 ? 5 ?

7?6 ? 105 ? 2

同类题一
题面: 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学 生不能分到同一个班,则不同分法的种数为

A.18
答案:C. 详解:

B.24

C.30

D.36

用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C42 ,顺序有 A33 种,而甲乙被分
2 3 3 在同一个班的有 A33 种,所以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30

同类题二 题面:
甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( ) A. 6 B. 12 C. 30 D. 36 答案:C. 详解:
2 2 可以先让甲、乙任意选择两门,有 C4 ? C4 种选择方法,然后再把两个人全不相同的情况去 2 2 掉,两个人全不相同,可以让甲选两门有 C4 种选法,然后乙从剩余的两门选,有 C2 种不 2 2 同 的 选 法 , 全 不 相 同 的 选 法 是 C4 C2 种 方 法 , 所 以 至 少 有 一 门 不 相 同 的 选 法 为 2 2 C4 ? C4 — C42 C22 =30 种不同的选法。

题 9 (组合数性质,三星)某班分成五个小组,分别有 5,6,7,8,9 名同学,现从该班挑选 2 名同 学参加比赛,且这两名同学必须来自同一小组,共有多少种不同的方案?

同类题一
题面: 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学 生不能分到同一个班,则不同分法的总数为 ( ) A. 18 B. 24 C. 30 D. 30 答案:C. 详解: 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有 C4 种不同的分法,然后三组进行全排列共 A3
3 2 3

种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共 A3 种不同的排法。所以总的 排法为 C4 A3 ? A3 =30 种不同的排法。
2 3 3

同类题二 题面:
将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方 案有 (A)30 种 (B)90 种 (C)180 种 (D)270 种

答案:B. 详解: 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分 成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有
3 15 ? A3 ? 90 种不同的分配方案,选 B.

1 2 C5 ? C4 ? 15 种方法,再将 3 组分到 3 个班,共有 2 A2

题 10 (组合的识别,四星) 题面:(1)“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1458),则四位“渐升数”共有 多少个? (2)5 个男生 3 个女生排成一排,自左至右,男、女生分别都从高到矮排(任意两人身高不同), 有多少种不同排法?

5 3 (法 1)8 个位置中选 5 个排男生,剩下 3 个位置排女生, C8 ? C8 ,

注意:男生位置选定以后,女生顺序一定,只对应一种排法. (法 2——除序)

A88 ? C85 . A55 A33
9! 3!2!4!

3 2 4 (3)3,3,3,4,4,5,5,5,5 能组多少个不同的九位数?多重排列除序 C9 C6 C4 ?

答案:150

同类题一
题面:

形如 45132 的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻 的数字大,则由 1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________.
答案:16. 详解:

由题意可得, 十位和千位只能是 4,5 或者 3,5.若十位和千位排 4,5,则其他位置任
2 意排 1,2,3,则这样的数有 A2A3=12(个);若十位和千位排 5,3,这时 4 只能排在 3 2 5 的一边且不能和其他数字相邻, 在其余位置上任意排列, 1,2 则这样的数有 A2A2 2

=4(个),综上,共有 16 个. 同类题二 题面:

4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法? 答案: (1)144 种. (2)144 种. (3)6 种. 详解: (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4 个球, 3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然 后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另 外 2 个盒子内,由分步乘法计数 原理,共有 C 1 C 2 C 1 × 2 =144 种. 4 4 3 A2 (2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也 即另外 3 个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球” 是同一件事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C 2 种方法. 4


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