tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【金版学案】2015-2016高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系练习 新人教A版必修2


4.2.1
基 础 梳 理

直线与圆的位置关系

直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a) +(y-b) =r 的位置关系及判断如下表所示: 位置关系 公共点个数 判定方法 |Aa+Bb+C| 几何法:设圆心到直线的距离 d= A2+B2 代数法:由
? ?Ax+By+C=0 ? 2 2 2 ?(x-a) +(y-b)

=r ?

2

2

2

相交 2个

相切 1个

相离 0个

d<r

d=r

d>r

Δ >0

Δ =0

Δ <0

消元得到一元二次方程的判别式Δ 练习1:直线 x+y=0 与圆 x2+y2=1 的位置关系是相交. 练习2:(1)直线 x+y=0 与圆 x2+y2=2 联立求解知其解为(1,-1)或(-1,1),故直 线与圆的位置关系为相交. 2 2 (2)直线 x+y=2 与圆 x +y =2 联立求解知其解为(1, 1). 故直线与圆的位置关系为相 切. ?思考应用 如何求直线被圆所截得的弦长? 2 解析:①应用圆中直角三角形:半径 r,圆心到直线的距离 d,弦长 l 具有的关系:r 2 ?l? 2 =d +? ? . ?2? ②利用弦长公式:设直线 l:y=kx+b,与圆两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代 入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长 l= 2 2 (1+k )[(x1+x2) -4x1x2]. 1+k |x1 - x2| =
2

自 测 自 评 1.直线 y=x+1 与圆 x +y =1 的位置关系是(B) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 |1| 1 解析:圆心(0,0)到直线的距离为 2 = <1,且(0,0)不在直线 y=x+1 上,故 2 1 +1 2 选 B. 2.下列说法中正确的是(D) A.若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切 B.与半径垂直的直线与圆相切 C.过半径外端的直线与圆相切
1
2 2

D.过圆心且与切线垂直的直线过切点 解析:A 为相交,B、C 中的直线有无数条.
3.直线 y=x-1 上的点到圆 x +y +4x-2y+4=0 的最近距离为(C)
2 2

A.2 2 B. 2-1 C.2 2-1 D.1
4.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1) +y =4 相切,那么 a 的值是(C) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:∵|a-1|=2,又 a>0,∴a=3. 2 2 5.经过点 M(2,1)作圆 x +y =5 的切线,则切线方程为(C)
2 2

A. 2x+y-5=0 B. 2x+y+5=0 C.2x+y-5=0 D.2x+y+5=0
解析:设过点 M 的圆的切线上任一点的坐标为(x,y), 2 2 ∵点 M(2,1)在圆 x +y =5 上, ∴ y-1 1-0 · =-1,即 2x+y-5=0. x-2 2-0

题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 圆的切线方程 题型三 直线与圆相交的问题 题型四 直线与圆有关最值问题

基 础 达 标 1.若 PQ 是圆 x +y =9 的弦,PQ 的中点是(1,2),则直线 PQ 的方程是(B) A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 解析:结合圆的几何性质知直线 PQ 过点 A(1,2),且和直线 OA 垂直,故其方程为:y 1 -2=- (x-1),整理得 x+2y-5=0. 2 2.已知点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的 最大值是(D) A.6 B.8 C.3- 2 D.3+ 2
2 2 2 2

解析:直线 AB 的方程是 + =1,∣AB∣=2 2,则当△ABC 面积最大时,边 AB 上 -2 2 的高即点 C 到直线 AB 的距离 d 取最大值.又圆心 M(1,0),半径 r=1,点 M 到直线的距离 为 3 2 3 2 1 ,由圆的几何性质得 d 的最大值是 + 1 , 所 以 △ABC 面 积 的 最 大 值是 × 2 2 2

x

y

2 2·?

?3 2 ? +1?=3+ 2. ? 2 ?
2

3.圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程是(D) A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 解析:圆心为 C(2,0),则直线 CP 的斜率为 切线斜率为 3-0 =- 3,又切线与直线 CP 垂直,故 1-2

2

2

3 3 ,由点斜式得切线方程:y- 3= (x-1)即 x- 3y+2=0. 3 3
2 2

4.过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 (A) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 2 2 5.已知圆 C 的方程为:x +y =4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程. 解析:(1)显然直线 l 的斜率存在, 设切线方程为 y-2=k(x-1), |2-k| 4 则由 2 =2 得 k1=0,k2=- , 3 k +1 故所求的切线方程为 y=2 或 4x+3y-10=0. (2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为(1, 3) 和(1,- 3),这两点的距离为 2 3,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,设圆心到 此直线的距离为 d,则 2 3=2 4-d ,∴d=1, |-k+2| 3 ∴1= ,∴k= , 2 4 k +1 此时直线方程为 3x-4y+5=0, 综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1. 巩 固 提 升 6. 圆(x-1) +(y-2) =1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为(A) 2 2 A.(x-2) +(y-1) =1 2 2 B.(x+1) +(y-2) =1 2 2 C.(x+2) +(y-1) =1 2 2 D.(x-1) +(y+2) =1 7.若实数 x,y 满足(x-2) +y =3,那么 的最大值为(D) A. 1 3 B. 2 3 C. 3 2
2 2 2 2 2 2

y x

D. 3
2

解析:方程(x-2) +y =3 的曲线是以 A(2,0)为圆心,以 3为半径的圆,实数 x,y 是圆上的点 P(x,y)的坐标,而 是直线 OP 的斜率,由下图可知当点 P 在第一象限且 OP 为 圆的切线时,k 最大.

y x

3

(x-2) +y =3, ? ? 2 2 由?y 得(1+k )x +1-4x=0, =k, ? ?x Δ =12-4k =0,有 k=± 3. ∴k 最大即 最大为 3.故选 D. 8.直线 y=x+b 与曲线 y= 1-x 有两个公共点,则 b 的取值范围是________. 2 2 解析:曲线为 x +y =1(y≥0),表示单位圆的上半圆,由数形结合法,知 1≤b< 2.
2 2

2

2

y x

答案:1≤b< 2 2 2 9.已知圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)求证:直线 l 恒过定点; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (3)当 m=0 时,求直线 l 被圆 C 截得的弦长. 解析:(1)直线 l 的方程可化为 (2x+y-7)m+x+y-4=0. ∵m∈R,

4

?2x+y-7=0, ?x=3, ? ? ∴? 解得? ? ? ?x+y-4=0, ?y=1.

∴直线 l 恒过定点 A(3,1). (2)圆心 C(1,2),|AC|= (3-1) +(1-2) = 5<5, ∴点 A 在圆 C 内. 从而直线 l 与圆 C 相交(无论 m 为何实数). (3)当 m=0 时,直线 l 的方程为 x+y-4=0, |1+2-4| 1 圆心 C(1,2)到它的距离为 d= = . 2 2 1 +1 2 ∴此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r -d =2
2 2 2 2

1 25- =7 2. 2

1.判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法. (1)判断直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组的解.有两解时,相交;有一解时,相切; 无解时,相离; (2)判断圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系:当 d<r 时,相交;当 d=r 时, 相切;当 d>r 时,相离. 2.设切线方程时,若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况. 3.直线与特殊圆相切,切线的求法. 2 2 2 2 (1)当点(x0,y0)在圆 x +y =r 上时,切线方程为 x0x+y0y=r ; (2)若点(x0, y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上,则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y 2 -b)=r ; (3)斜率为 k 且与圆 x +y =r 相切的切线方程为:y=kx±r 1+k ;斜率为 k 且与圆 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r 相切的切线方程的求法,可以设切线为 y=kx+m,然后变成一般式 kx -y+m=0,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求 m.
2 2 2 2

5


推荐相关:

【金版学案】2015-2016学年高中物理第6章第五节宇宙航行学案新人教版必修2

【金版学案】2015-2016学年高中物理第6章第五节宇宙航行学案新人教版必修2_...r1 v2 v1 v2 若沿大圆轨道运行时, 在 A 点的向心加速度 a2= , 因为 ...


【金版学案】2015-2016学年高中物理 第6章 第五节 宇宙航行学案 新人教版必修2

【金版学案】2015-2016学年高中物理 第6章 第五节 宇宙航行学案 新人教版必修2_理化生_高中教育_教育专区。第六章 第五节 万有引力与航天 宇宙航行 “嫦娥...


2015-2016高中数学 第二章 平面解析几何初步章末知识整合 苏教版必修2

【金版学案】 2015-2016 高中数学 第二章 平面解析几何初步章末知 识整合 苏教版必修 2 、数形结合思想的应用 若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于...


【金版学案,同步备课】2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)模块综合检测卷

【金版学案,同步备课】2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)模块综合检测卷_...?y=sin α l 与圆的位置关系. ? π? ? π? 解析:(1)由点 A? 2,4...


【金版学案】2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 专题综合检测六 文

【金版学案】2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 ...1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y= a ...(-1, 0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y -...


【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第一节直线的斜率与直线方程 理

要注意以下的高考重点、热点和命题方向: 1 (1)直线的方程 命题重点:直线的倾斜角与斜率、两条直线的位置关系、对称及与其他 知识结合考查距离等. (2)圆的方程...


第2讲《参数方程》单元检测卷(含答案解析)

【金版学案】 2015-2016 学年高中数学讲 ...新人教 A 版选修 4-4 (测试时间:120 分钟 评价...是符合题目要求的) 1.直线:3x-4y-9=0 与圆:?...


【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业50 直线与圆锥曲线的位置关系 理 新人教B版

【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业50 直线与圆锥曲线的位置关系新人教B版 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 课时作业(五十) x a 2 直线与...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com