tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

03高中物理竞赛解题方法:微元法


高中奥林匹克物理竞赛解题方法

三、微元法
方法简介
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。用该方法 可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决,使所求的问题简单化。 在使用微元法处理问题时,需将其分解为众多微小的“元过程” ,而且每个“元过程”所遵 循的规律是相同的,这样,我们只需分析这些“元

过程” ,然后再将“元过程”进行必要的 数学方法或物理思想处理,进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考, 从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

赛题精讲
例 1:如图 3—1 所示,一个身高为 h 的人在灯以悟空速度 v 沿水平直线行走。设灯距地面 高为 H,求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。 解析:该题不能用速度分解求解,考虑采用“微元法” 。 设某一时间人经过 AB 处,再经过一微小过程 △t(△t→0) ,则人由 AB 到达 A′B′,人影顶端 C 点到达 C′点,由于△SAA′=v△t 则人影顶端的
? S CC ? ?t ? S AA? Hv H ?h ? lim ? ?t ? 0 ?t H ?h H

移动速度 v C ? lim

?t ? 0

可见 vc 与所取时间△t 的长短无关,所以人影的顶 端 C 点做匀速直线运动. 例 2:如图 3—2 所示,一个半径为 R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上,球面上放置一光滑均匀铁链,其 A 端固定在球面的顶点,B 端恰与桌面不接触,铁链单位 长度的质量为ρ .试求铁链 A 端受的拉力 T. 解析:以铁链为研究对象,由由于整条铁链的长度不能 忽略不计,所以整条铁链不能看成质点,要分析铁链的受 力情况,须考虑将铁链分割,使每一小段铁链可以看成质 点,分析每一小段铁边的受力,根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段(微元)为研究对象, 其受力分析如图 3—2—甲所示.由于该元处于静止状态, 所以受力平衡,在切线方向上应满足:
T? ? ? T? ? ? G cos ? ? T? ? T? ? ? G cos ? ? ? ? Lg cos ?

由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △Tθ ,所以整个铁链对 A 端的拉力是各段上△Tθ 的和, 即
T ?

? ? T? ? ? ? ? Lg

cos ? ? ? g ? ? L cos ?

观察 ? L cos ? 的意义,见图 3—2—乙,由于△θ 很小,

第 1 页 共 13 页

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

所以 CD⊥OC,∠OCE=θ △Lcosθ 表示△L 在竖直方向上的投影△R, 所以

? ? L cos ?

? R

可得铁链 A 端受的拉力

T ? ? g ? ? L cos ? ? ? gR

例 3:某行星围绕太阳 C 沿圆弧轨道运行,它的近日点 A 离太阳的距离为 a,行星经过近日点 A 时的速度为 v A , 行星的远日点 B 离开太阳的距离为 b,如图 3—3 所示, 求它经过远日点 B 时的速度 v B 的大小. 解析:此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也 可根据开普勒第二定律,用微元法求解. 设行星在近日点 A 时又向前运动了极短的时间△t,由于时间极短可以认为行星在△t 时间 内做匀速圆周运动,线速度为 v A ,半径为 a,可以得到行星在△t 时间内扫过的面积
Sa ? 1 2 v A?t ? a Sb ? vB ? a b 1 2 vA

同理,设行星在经过远日点 B 时也运动了相同的极短时间△t,
vB ?t ? b

则也有 即得

由开普勒第二定律可知:Sa=Sb 此题也可用对称法求解.

例 4:如图 3—4 所示,长为 L 的船静止在平静的水面上, 立于船头的人质量为 m,船的质量为 M,不计水的阻力, 人从船头走到船尾的过程中,问:船的位移为多大? 解析:取人和船整体作为研究系统,人在走动过程中, 系统所受合外力为零,可知系统动量守恒.设人在走动过 程中的△t 时间内为匀速运动,则可计算出船的位移. 设 v1、v2 分别是人和船在任何一时刻的速率,则有
mv 1 ? Mv
2



两边同时乘以一个极短的时间△t, 有 mv 1 ? t ? Mv 2 ? t



由于时间极短,可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的, 所以人和船位移大小分别为 ? s 1 ? v 1 ? t , ? s 2 ? v 2 ? t 由此将②式化为
m ? s1 ? M ? s 2 ③

把所有的元位移分别相加有 即

m ? ? s1 ? M

? ?s

2



ms1=Ms2 ⑤ 此式即为质心不变原理. 其中 s1、s2 分别为全过程中人和船对地位移的

大小, 又因为 L=s1+s2 ⑥ 由⑤、⑥两式得船的位移
s2 ? m M ?m L

第 2 页 共 13 页

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

例 5:半径为 R 的光滑球固定在水平桌面上,有一质量 为 M 的圆环状均匀弹性绳圈,原长为π R,且弹性绳圈 的劲度系数为 k,将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上, 使弹性绳圈水平停留在平衡位置上,如图 3—5 所示,若 平衡时弹性绳圈长为 2? R ,求弹性绳圈的劲度系数 k. 解析:由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计,弹性绳圈 不能看成质点,所以应将弹性绳圈分割成许多小段,其中 每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力 F.在 弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象, 进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平 面内,可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析,这样可以看清楚各 个力之间的关系.从正面和上面观察,分别画出正视图的俯视图,如图 3—5—甲和 2—3—5 —乙. 先看俯视图 3—5—甲,设在弹性绳圈的平面上,△m 所对的圆心角是△θ ,则每一小段的质 量
?m ? ?? 2? M

△m 在该平面上受拉力 F 的作用,合力为
) ? 2 F sin ?? 2 ?? 2

T ? 2 F cos(

? ? ??
2

因为当θ 很小时, sin ? ? ?

所以 T ? 2 F

? F??

再看正视图 3—5—乙,△m 受重力△mg,支持力 N, 二力的合力与 T 平衡.即
T ? ? mg ? tan ?
2? R 2?

现在弹性绳圈的半径为 r ?

?

2 2

R

所以

sin ? ?

r R

?

2 2
Mg

? ? 45 ?

tan ? ? 1

因此 T= ? mg ?

?? 2?

①、②联立,
Mg 2?

?? 2?

Mg ? F ? ? ,

解得弹性绳圈的张力为: F ? 设弹性绳圈的伸长量为 x

则 x?
F x ?

2 ? R ? ? R ? ( 2 ? 1 )? R

所以绳圈的劲度系数为: k ?

Mg 2 ( 2 ? 1 )? R
2

?

( 2 ? 1) Mg 2? R
2

第 3 页 共 13 页

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

例 6:一质量为 M、均匀分布的圆环,其半径为 r,几何轴与水平面垂直,若它能经受的最 大张力为 T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度. 解析:因为向心力 F=mrω ,当ω 一定时,r 越大,向心力越大,所以要想求最大张力 T 所 对应的角速度ω ,r 应取最大值. 如图 3—6 所示,在圆环上取一小段△L,对应的圆心角 ?? M ,受圆环对它的张 为△θ ,其质量可表示为 ? m ? 2? ?? 2 ? ? mr ? 力为 T,则同上例分析可得 2 T sin
2
2

因为△θ 很小,所以 sin
?? 2 ?? 2?

?? 2

?

?? 2

,即
2? T Mr

2T ?

?

Mr ?

2

解得最大角速度 ? ?

例 7:一根质量为 M,长度为 L 的铁链条,被竖直地悬挂起来,其最低端刚好与水平接触, 今将链条由静止释放,让它落到地面上,如图 3—7 所示,求链条下落了长度 x 时,链条对 地面的压力为多大? 解析:在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上 那部分链条的重力.根据牛顿第三定律, 这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力, 这个力的冲量,使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同,落到地 面的速度不同,动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条(微元)作为研究对象,就 可以将变速冲击变为恒速冲击. 设开始下落的时刻 t=0,在 t 时刻落在地面上的链条长为 x,未到达地面部分链条的速度为

v,并设链条的线密度为ρ .由题意可知,链条落至地面后,速度立即变为零.从 t 时刻起取 很小一段时间△t,在△t 内又有△M=ρ △x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为
( F ? ? Mg ) ? t ? ? I

因为 ? Mg ? ? t ? 0

所以 F ? t ? ? M ? v ? 0 ? ? v ? x 解得冲力:
F ? ?v ?x ?t

,其中
2

?x ?t

就是 t 时刻链条的速度 v,

故 F ? ?v

链条在 t 时刻的速度 v 即为链条下落
2

长为 x 时的即时速度,即 v =2gx,代入 F 的表达式中,得 F ? 2 ? gx 此即 t 时刻链对地面的作用力,也就是 t 时刻链条对地面的冲力. 所以在 t 时刻链条对地面的总压力为
N ? 2 ? gx ? ? gx ? 3 ? gx ? 3 Mgx L .

第 4 页 共 13 页

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

例 8:一根均匀柔软的绳长为 L,质量为 m,对折后两端固定在一个钉子上,其中一端突然 从钉子上滑落,试求滑落的绳端点离钉子的距离为 x 时,钉子对绳子另一端的作用力是多 大? 解析:钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化, 由此可用微元法求解.如图 3—8 所示,当左边绳端离钉子 的距离为 x 时,左边绳长为 右边绳长为
1 2 ( l ? x ). 1 1 2 ( l ? x ) ,速度 v ?

2 gx ,

又经过一段很短的时间△t 以后,

左边绳子又有长度 V ? t 的一小段转移到右边去了,我们就分
2

析这一小段绳子,这一小段绳子受到两力:上面绳子对它的拉 力 T 和它本身的重力
1 2 v ? t ? g ( ? ? m / l 为绳子的线密度) , (T ? 1 2 v ? t? g ) ? t ? 0 ? ( ? 1 2 v ? t? ? v )

根据动量定理,设向上方向为正

由于△t 取得很小,因此这一小段绳子的重力相对于 T 来说是很小的,可以忽略, 所以有
F ? 1 2 T ? 1 2 (l ? x ) ? g ? T ? 1 2 mg (1 ? 3x l ) v ? ? gx ?
2

因此钉子对右边绳端的作用力为

例 9:图 3—9 中,半径为 R 的圆盘固定不可转动,细绳不可伸长 但质量可忽略,绳下悬挂的两物体质量分别为 M、m.设圆盘与 绳间光滑接触,试求盘对绳的法向支持力线密度. 解析:求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位 长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触,则任取一小段绳, 其两端受的张力大小相等,又因为绳上各点受的支持力方向不同, 故不能以整条绳为研究对象,只能以一小段绳为研究对象分析求 解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L,△L 所对应的 圆心角为△θ ,如图 3—9—甲所示,绳元△L 两端的张力均为 T, 绳元所受圆盘法向支持力为△N,因细绳质量可忽略,法向合力为 零,则由平衡条件得:
? N ? T sin ?? 2 ? T sin ?? 2 ?? 2 ? ?? 2 ?N ?L T?? R?? T R ? 2 T sin ?? 2

当△θ 很小时, sin 又因为 △L=R△θ

∴△N=T△θ

则绳所受法向支持力线密度为 n ?

?

?



以 M、m 分别为研究对象,根据牛顿定律有 Mg-T=Ma ② T-mg=ma ③ 由②、③解得: T ?
2 Mmg M ?m

第 5 页 共 13 页

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

将④式代入①式得: n ?

2 Mmg (M ? m )R

例 10: 粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为 R 和 r 的两圆环相切.若在切点放一质点 m, 恰使两边圆环对 m 的万有引力的合力为零,则大小圆环的线密度必须满足什么条件? 解析: 若要直接求整个圆对质点 m 的万有引力比较难, 当若要用到圆的对称性及要求所受合 力为零的条件,考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量 m 的相互作用,然后推及整个 圆环即可求解. 如图 3—10 所示,过切点作直线交大小圆分别于 P、Q 两点,并设与水平线夹角为α ,当α 有微小增量时,则大小圆环上对应微小线元
? L1 ? R ? 2 ? ? ?L2 ? r ? 2??

其对应的质量分别为

? m 1 ? ? 1 ? l1 ? ? 1 R ? 2 ? ?

?m 2 ? ? 2 ?l2 ? ? 2 r ? 2??

由于△α 很小,
r1 ? 2 R cos ? r2 ? 2 r cos ?

故△m1、△m2 与 m 的距离可以认为分别是 所以△m1、△m2 与 m 的万有引力分别为
? F1 ? Gm ? m 1 r1
2

?