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2014年全国高中数学联赛福建赛区预赛


中 等 数 学 

2 0   1   4年全 国高中数学联赛 福建赛 区预赛 
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文献 标 识 码 : A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 2— 0 0 3 4— 0 6  





/>填空题 ( 每小题 6分 , 共6 0分 )  

A P=  A B+  A C ( 1<  ≤n , l <  ≤6 )  

1 . 已知 直 线 Z l :   + 2 y+ 6= 0 ,  
2 2 :  +( a一1 ) Y+a  一1= 0 .  

的点 P( x , Y ) 组成的区域. 若 区域 D的面积为  8 , 则 a+b的最小值为  .  

若Z   上Z : , 则 a=


. 


2 . 函数 

9  
的余数为
— —

+  + . . . + [ 竽】  除  
( [  ] 表示不超 过实数  的最 
+, n=0  

f ( x ) = d  ̄ 3 - s i n 2 x + s i n   x ' c o s   x 一 钟∈  
的值域为  .  
3 . 在 三 棱 锥 D —A B C 中, 已知 A B=  
B C= 2 , A B上 B C, B C上 C D, D A上 A B,  

大整数 ) .   1 0 . 若a 、 b 、 c 为关于  的方程 
一   一  

的三个实根 , 则 m的最小值为 

.  

C D A:6 0 。 . 则 三棱 锥 D —A B C的体 积 为 

二、 解答题 ( 每小题 2 0 分, 共1 0 0 分)   1 1 . 已知 { a   } 为递增的等 比数列 , 且 
al+a 2=6, a 3+a 4=2 4.  

4 . 设  、   分别为 双 曲线 C :   一   =1   的左 、 右焦点 , P为双 曲线 C在第 一象 限上 的 
一  

记b   =  
“n一 1,  

, 数列 { b   } 的前 n项 和 

若 
.  
— —

_ 一' 4贝 I J △ 

。  

的内切 圆半径 

为  . 证 明: 对一切正整数 n , 均有 r n < 3 .  
2  
. ,



2  



1 2 . 已知 F为椭圆 c :  + 々= l 的右焦  
5 . 已知集合 

点, 椭 圆 C上任 意一点 P到点 F的距离 与点 

A={  I x   + 2 x 一 8> 0 } ,  
B={  I   一 2 a x+ 4 ≤O } .  

P到直线 z :  = m的 距离之比为÷ .  
( 1 ) 求直线 Z 的方程.   ( 2 ) 设 A为椭 圆 C的左顶点 , 过点 F的直  线与椭 圆 C交于 D、 E两点 , 直线 A D、 A E与直 

若 0> O , 且A   n   中恰 有一个 整数 , 则a   的取值范 围是 
q  

.  

6 . 若分数卫( p 、 q∈ z+ ) 化成小数为 
卫 :0 1 9 8… .  


线f 分别交于点  、 Ⅳ . 以M N为直径 的圆是否  恒过一定点?若是 , 求 出定点坐标 ; 若不是 , 请 
说 明理 由.  
1 3 . 如图 1 , 在五边形 A B C D E中 , 已知 B C  


q  

则当q 取最小值时 , P + q = — — .   7 . 随机地投掷三颗色子. 其 中有两颗色子  出现的点数之和为 7的概率是
面 区域 D 由所有满足 
. 
— —

/ A E. A B= B C+ A E ,   A B C=   C D E , M 为 

C E的 中 点 , 0为△ B C D的外心 , 且 O M 上 

8 . 已知点 A ( 1 , 一 1 ) , B ( 4 , 0 ) , C ( 2 , 2 ) , 平 

MD . 延长 D M 至点 K, 使得 MK= MD . 证明 :  
( 1 )   B K C=   B DC;  

2 0 1 5年第 2期 

3 5  

( 2 )   A B C= 2   B D A .  



詈  一   7 t ≤ 2   r t  
一  

≤ s i n   2   一 3 )  ̄ - 1 .  

3 . ÷ .   j  如 图 2, 作 D E  
- L 面A B C于 点 E, 联 
图 1  

结E A、 E C .  

1 4 . 已知 

因为 B C上 C D,  
D A上 A B, 所以,  

)=   (  +1 )+  

+ 3  一1 ?  

C- 上 - C B.  
EA


A 

B 

( 1 ) 若  ≥ O时 ,   口的取值范 围;  

) >0恒成立 , I 求实数 

L   A B .  
图2  

故 四边 形 E A B C  
为矩形.  

( 2 ) 证 明: 对一切正整数 n , 均有 
2   3   / 7 , +1   4 — — × — — l   ● — 一 一 1   十— 4 — ×2 — —  一 _ — 一 1   + … +一 4 ×凡   一1   1   l
> 

由A B=B C, 知矩 形 E A B C为 正 方 形 , 且 
DA =D C.  

n ( 2 n+1 ) .  

又  C D A= 6 0 。 , 则△ D A C为正三角形.   从而 , D A= A C .  

1 5 . 给定 2   0 1 4个 和为 1的非 负实数 a   ,  
a 2 , …, 0 2   0 l 4 . 证明: 存在 a l , a 2 , …, 0 2   0 l 4 的一个  排列 l ,   2 , …,   2 o … 满足 
。   +   ,+… +  邮   +  。 。  。 ≤  .  

故√ E A   十 E D 2 =  E  + E  
=  ED =EC =2 .  

因此 , 三棱锥 D— A B C的体积为 

(   × 2 × 2 ) × 2 =   4 .  
4. 2.  

参 考 答 案 


设l   P F 1   I = 4 t . 则I  
、 1 .   .  

I = 3 t .  

故4   一 3 t =l   P F 1   I —I  


I : 2  

1 1 - l _ l 2   口×1+ 2 ( 0—1 )= O  
2  
§ 口  ‘  

2, J   PFl   J=8, l   P  l=6.  

结合 l F   I =1 0 , 知△ P F 。 F 2 为直 角三 
角形 , P F 。 上  .   从而 , △P F 。 F 2 的 内切圆半径为 
6 +8一l 0   , 、  
r= — —  一 =厶 

2 . 【 一   1 ,   ] .  
由题 意 知  )= , / 5×  
1   s? . n
=  

+   1 .一

, /   5  

5.  



,  

/ 5

c o s   2 x = s i n ( 2   一 卦 

由题意知 A={  I x <一 4或  > 2 } .  
设  )" - 9 C   一 2 a x+ 4 . 则 
:0>0 .  

) 的对称 轴 

因 为   ∈ [   , 詈 】 , 所 以 ,  

由   - 4 )=1 6+8 0+ 4> 0, 知 

3 6  
f   1 {  I   < 一4 }=   .  

中 等 数 学 

因此 , N ̄
8. 4.  

NNg  ̄

因此 , / 4   nB中恰有 的一个整数为 3 .  

6=  

.  

故 {   三 ; = : 9   6 - 一 6 a 8 。 + + 4 4 <  ̄ > 0 。 , .  
解 得   ≤ 。 < 寻 .   从 而 , 。 的 取 值 范 围 是 【   , 詈 ) .  
6.1 21 .   1 9   8. . . <   1 f ¥ 1 p -=O   知q >5 p .  


如图 3 , 延长 A B 至 点 Ⅳ, 延长 A C 至 点 


使得 
I AN I=0   I AB  I .I   AM I=b   l AC1 .  

作 ̄ 3 A B E C、 Z S Y A NG M. 则 四边 形 E H G F为 
平 行 四边 形 .  



口 

3 

t   口=5 D+mf   m ∈ Z.  . 贝 I I  

p + 玑 

:0. 1 9 8…  
‘  

C 
/  

0 . 1 9 8 ( 5 p+m)< p< 0 . 1 9 9 ( 5 p+, n )  
1 9. 8m <p <3 9 . 8 m.  

a  

当 m=1时 , 2 0≤p≤3 9 , 取 P= 2 0 , m=1   时, g最小为 1 0 1 .   经检验 ,   = 0 . 1 9 8   0 1 9   8 0 …符合要求.  

由条件 , 知点 P (  , Y ) 组 成 的区域 D为 
图 中的阴影 部分 , 即Z S T E H G F( 不 含边 界 E H、  
E F ) .  

从而, 当 q最小时 , P+g =1 2 1 .  
7 .   .   。  

注意到 ,   A B=( 3 , 1 ) , A C=( 1 , 3 ) , B C=( 一 2 , 2 ) .   于是 , l A B   I =I   A C   l =   , l   B CI = 2   .  

投掷 三颗 色 子 共 有 6  =2 1 6种 可 能.   注意至 U , 7=1 + 6= 2+ 5=3+ 4 .  

则c 。 s   C A B:  
s i n  

投掷 三颗色 子 , 有 两 颗 色子 出现点 数 1  
和 6的可能有 6× 6— 6= 3 0种 , 即分为  ( 1 , 6 , ×) , ( 1 , ×, 6 ) , ( 6 , 1 , ×) ,  
( 6 , ×, 1 ) , (×, 1 , 6 ) , (×, 6 , 1 )  

2× ̄ / 1 O×√1 0   5  
. 

:  

C A B :_ 4 = -

嵌 s j E H c F  

这六 种可能 , 每类有 6种情形 , 其 中,   ( 1 , 6 , 1 ) , ( 1 , 6, 6 ) , ( 1 , 1 , 6 ) ,   ( 6 , l , 1 ) , ( 6 , l , 6 ) , ( 6 , 6, 1 )  

=a - 1 )  ̄ 1 i - 6 ( b _1 )  
( 0—1 ) ( b一1 )=1  

×  = 8  

重复 出现.  

口 + 6 = 。 + (  +   )  
= a-1 )+   n —
l  

类似地 , 投掷三颗色子 , 有两颗色子 出现 
点数 2和 5的可能与有两颗 色子 出现点数 3  
和 4的可能均为 3 O种.  

+ 2 .  

由 0>1 , b>1 , 知 当且仅 当 0—1=1 , 即 

从而 , 投掷三颗色子 , 其 中有两颗色子 出   现 的点数之 和为 7的有 3× 3 0= 9 0种可能.  

口 = b = 2时 , 0+ b 取最小值 4 .  
9. 5 6.  

2 0 1 5年第 2期 

3 7  

注意到 , 对任 意正整 数 ,  
为整数 , 且 

与8   2 k 均不 

故 m 有 最 小 值 j F ( 一   1 ) = 一   5 , 此 时 ,  
1 6= 一   1
口 = 一 
, ,

5  
c = 

等+ 8   2 k   .  
于是 , 对任意正整数 k , 均有 



口=一   , 6=  , c :一   .  

【  ] + 【 喾 ] = 字+ 8   2 k 一  


二、 1 1 . 设{ a   } 的公 比为 q . 则q > O .  
由题意知 

8  

一1 三7 ( mo d   6 3 ) .  

J .  

’  j   : 2 ,  

故   :  +  
1 0?一2   7?  

. + 【  】  

I a I q   + a l q   - - 2 4   【 q = 2  
j  0  :2   X   2   ~ =2  

三1   0 0 7× 7- =5 6 ( oo r d   6 3 ) .  


南 = 南 ?  
<   ■ 
一  

由题意知 
一   一  

注意到 , 当n ≥ 2时 ,  

+ m=(  —a ) (  一b ) (  一 c )  

6 n   可
2 一 


=  



( a+ 6 + c )   +(   + 6 c + c 口 )  一 a b c .  
, a +b+c= 1,  



 

( 2   一  一1 ) ( 2  一 1 )一 2   一  一1  2  一1。  

于是 , 2   0 6 + b c + c a =一 1 ,  

【 , n = 一 o b c .  
由方程组得 
b c = 一1一( 口 6+ c a )= 一1—0 ( b+ c )  
= 一

于是 , 对n ≥2有 

< ”(  一   ) +  

1一a ( 1— 0 )=a  一 a一1 ,  


( 去一  ) + . . ? + (   一  )  
2 “一 高  ’  
又 n=1时 , T 1 =b l = 2< 3 .   从而, 对一切 正整数 , 均有 T n < 3 .   1 2 . ( 1 ) 由题意知 F( 1 , 0 ) .   设p ( x , Y ) 为椭 圆 C上任意一点.  

m : 一口 b c= 一a  +a  +a .  

又 a  +b  +c  


( a+b+ c ) 2 — 2 ( 口 6+ 6 c + c a ): 3 ,  

从而 , a   ≤1 , b   ≤1 , c   ≤1中至少有一个成立.  
不妨设 a   ≤1 , 即 一1 ≤a ≤1 .   设 , n=  a )= 一a  + a   +a . 贝 0  

( a )=一 3 n  + 2 口+1  
= 一

( 3 a+1 ) ( a一1 ) .  

故  I   x -m  l

1  

=  

所以, 当一 1 < 口 <一 ÷时, 厂   ( 口 ) < 0 ;  
当一 ÷< 口 < 1 时, f   ( 口 ) > 0 .  

4(  一1 )  + 4 y   =(  一m)   .  

将4 y   =1 2— 3 x   代人上式并整理得 

( 8— 2 m)  + m   一 1 6= 0 .  

① 

由p ( x , Y ) 为椭 圆上任意一点 , 知方程① 
  因 此 , 厂 ( 口 ) 在 区 间 [ 一 1 , 一   ] 上 为 减 函   对 一2≤ ≤2的  均成立. 故 8— 2 m= 0 , 且 m  一1 6= O .   数 , 在 区 间 [ 一   1 , 1 】 上 为 增 函 数 .   解得 m: 4 .  

3 8  

中 等 数 学 

所 以, 直线 Z 的方程为 = 4 .   ( 2 ) 易知 , 直线 D E的斜率不为 0 .  
设 1 D £ :   =t y+1 .  

与椭 圆方 程 联 立 得  ( 3 t  + 4 ) y   + 6 t y一 9= O .  

设 D(  , Y 。 ) , E(  , Y : ) . 则 
— —

6 t
, Yl Y 2  

— — 9  
。  
图4  

y   J+Y 2  

由A ( 一 2 , 0 ) , 知 
y一 。=   Y l - 0 ( 戈+ 2 ) .  

由A B= B C+ A E, 知A T= A B .  

又B C ∥  , 于是 ,  
C  =   T A=   BT A.   A BT,   ABC =2  

于 是 ,   ( 4 -   6 y , 2 / .   类 似 地 , Ⅳ ( 4 .   6 , y + 2 2 / .  
由对称性 , 若定点存在 , 则定点在  轴上.  
设点 G ( n , 0 ) 在 以 MN为 直 径 的 圆上.   则伽 ? G Ⅳ  


且 四边形 C 晒 为平行 四边形.  
从而 ,   也为 B T的 中点 .   因此 , 四边 形 B K T D 为 平 行 四边 形 ,  
BKD =   KD T;  

四边 形 K C D E为 平 行 四边 形 ,  

( 4  
( 4— 1 7 , )  +  

墨)  
3 6 y l Y 2  

C KD =  

K D E.  

则  B K C=   B K D一   C K D  
=  

KDT 一  

K DE =  

ED T  



(   l + 2 ) (   2 + 2 )  


BDC =  
BDT =  
=  

BKC =  
BDE +  

EDT 
ED T 

( 4一凡 )  +  _






_ 3 t( £ 。       Y l   +   Y 2   )+   9   Y lY E  +

鱼 ;

B DE +   肋 C=  
BDT +   BAT  

C DE =   A BC 



( 4 - n  
0  



 
=  

ABC +  

BAT=1 8 0。  



B、 A、 T 、 D四点共 圆 
BDA :   B 

( 4一n )  一 9= O  

n=1 或7 .  

A BC =2  

BT A =2  

BDA.  

从而 , 以M N为 直径 的 圆恒 过  轴上 两 
定点 ( 1 , 0 ) , ( 7 , 0 ) .   1 3 . ( 1 )因为 M 为 K D的中点 , 且 O M 上 
MD, 所以, O K=O D .  

1 4 . ( 1 ) 注意到 ,  
)=   一  

于是 , 点 K在△ B C D的外接 圆上.   从而 ,   B K C=   B DC .  

3   +f   0+ 6 ) x+ Ⅱ+ 2   (  +1 )  

若0 ≥一 2 , 则  > 0时 ,   (  ) > 0 , 此时 ,   ) 在 区间 [ 0 , +∞) 上为增 函数.  
所 以, 当 ≥O时 ,   )   O )= 0 .  

( 2 ) 如图 4 , 延长 A E至点  , 使得 
T=BC.  

联结 T B、 T C、 T D、 T K、 K E .  

故口 ≥一 2符合要求.  

2 0 1 5年 第 2期 

3 9  

若  <一 2, 则方程  3   2 +( 口+ 6 )   +0+ 2= 0   有两个异号 的实根.   设这两个实根为 l 、   2 , 且 l < 0<x 2 .   所以, 当 0<  <   2时 ,   (  )<0, 此时,  

由于 2   0 1 4个 排 列 
b l , 6 2 , b 3 , … , b 2   o l 4;   b 2, b 3 , … , b 2   0 l 4, b l ;   b 3, b 4 , … , 6 2   o l 4, 6 l , b 2;  

) 在 区间 [ 0 ,   : ] 上为减 函数 , 即  
)<  0 )= 0 .  

b 2 们 4, b 1 , b 2, … , b 2   o I 3  

对应 的循 环 和式 为 同一 个循 环 和式 , 因此 ,   口 l , 口 2 , …, 0 2   0 1 4 的2   0 1 4   1 个排 列 对应 2   0 1 3   1   个循环和式.   记这 2   0 1 3   1 个 循 环 和式 为 P   , P 2 , …, P   ( k= 2   0 1 3   1 ) .  
设 S=P 1 +P 2 +… +P   .  

故 n<一2不符合要求.  

综上 , 0的取值 范围是 [ 一 2 , + ∞) .  
( 2 ) 由( 1 ) , 知 当  >0时 , 恒有 


2 1 n (  +1 )+—   + 3 x一1> 0  

=  —   +l   + 3 x一1 > 2 1 n (  +1 ) (  >0 ) .  

由于每一个 0   ( m: 1 , 2 , …, 2   0 1 4 ) 在每 
个循环和式 中均 出现两次 , 因此 , 在. s中共 出 
现 2× 2   0 1 3   1 次.  

令  矗 (   ∈ z + ) , 得  
1 +3×   -1>2 l


(   + 1 )  

则S = ( 、 1∑ a i a j ) x   2   x   2   0 1 2   1 .  
≤ <  ≤ 2   01 4 

另一方 面 , 由 

2 ∑  a i c t j  
>  n  ‘  


( 口 1 +口 2 +… +  2   0 1 4 ) 2 一   ( 0   +0  +… + n   0 1 4 ) ,  

令 k=1 , 2 , …, 凡 , 得 

4  1   1 >   4   l n 三
×   2一   “  1’ ,  

及柯西不等式 
( n 1 +C t 2 +… + 0 2   0 1 4 ) 2   ≤( 1 2 +l 2 +… +l 2 ) ( 0   + n   +… + 0   0 1 4 ) ,  

4   2

× _ ; 2 一   1 >   4   l … n  ’ 三 3 ,  
一   一

得 。   + 口 2 z   。 + 。 2 0 1 4 ≥  
n- I - 1   1   2n + 1   4   1>叫 4  n   2 — × n  n  ‘  
1  

,  
. 

2  

。   a i <l  ̄



 

1   ≤ <  ≤2   0 1 4  

厶 u 1叶 

将上述 几 个不等式的左右两边分别相加得 
2  
+ 

3  
+ …

n +l  
+ — —— — —   —一  


≤f <, ≤2   1   01 4  

≤ 
厶 ^ 厶 u 1叶 

4 ×n  一 1  
> 

} ×  . . ×   )  
n ( 2  +1 ) .  

s≤ 

×2×2   0 1 2   1 =  

.  

从而, P 。 , P   …, P   中至少有 一个 不大 于 
S   1  

1   l
=  



 
设  ≤   , 则 对 应 的循 环 和式 为 P  

从而, 结论对一切正整数 n均成立.  

1 5 . 为方便起见 , 称 
Yl Y 2+Y 2 Y 3+ … +Y 2   0 1 3 Y 2   0 1 4+ Y 2   o l 4 Yl  

的排列符合要求.  
( 陈德燕 提供 )  

为2   0 1 4个实数 Y   , Y 2 , …,  0 l 4 的“ 循环和式 ” .  


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2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题精编(附答案)

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