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2-2第一章 导数 导学案


高二数学◆选修 2-2◆导学案

第一章 导数及其应用 § 3.1.1 变化率问题
学习目标
1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经 历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学 的博大精深以及学习数学的意义; 2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化 率和导数的数学模型提供丰富的背景.

典型例题

>例 1 过 曲 线 y ? f ( x) ? x 3 上 两 点 P ( 1 , 1 ) 和 Q(1 ? ?x,1 ? ?y ) 作曲线的割线,求出当 ?x ? 0.1 时 割线的斜率.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 变式:已知函数 f ( x) ? ? x2 ? x 的图象上一点 ?y (?1, ?2) 及邻近一点 (?1 ? ?x, ?2 ? ?y) ,则 = ?x

二、新课导学 学习探究 探究任务一: 问题 1:气球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时,随着气球内空气容量的增加,气球 的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这 种现象?
问题 2:高台跳水,求平均速度

例 2 已知函数 f ( x) ? x2 ,分别计算 f ( x ) 在下列 区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]

新知:平均变化率:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? x2 ? x1 ?x

试试:设 y ? f ( x) , x1 是数轴上的一个定点,在数 轴 x 上另取一点 x 2 , x1 与 x 2 的差记为 ?x ,即
?x =

或者 x 2 =

,?x 就表

小结:

示从 x1 到 x 2 的变化量或增量,相应地,函数的变化 量或增量记为 ?y ,即 ?y = ;如果它们 ?y 的比值 ,则上式就表示为 , ?x 此比值就称为平均变化率.

动手试试 练 1. 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所 示,试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率.

反思:所谓平均变化率也就是 与 的增量的比值.
1

的增量

◆高二
W(kg) 11 8.6 6.5





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第一章 导数

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. y ? 2 x ? 1 在 (1, 2) 内的平均变化率为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2. 设函数 y ? f ( x) , 当自变量 x 由 x0 改变到 x0 ? ?x 时,函数的改变量 ?y 为( ) A. f ( x0 ? ?x) C. f ( x0 )?x
2

3.5 3

6

9

12

T(月)

B. f ( x0 ) ? ?x D. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )

练 2. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? ?2 x ,分别计 算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x) 及 g ( x) 的平均变 化率.

3. 质点运动动规律 s ? t ? 3 ,则在时间 (3, 3 ? ?t ) 中,相应的平均速度为( ) 9 A. 6 ? ? t B. 6 ? ?t ? ?t C. 3 ? ? t D. 9 ? ? t 1 4.已知 s ? gt 2 , 3s 到 3.1s 的平均速度是_______ 从 2 5. y ? x2 ? 2x ? 3 在 x ? 2 附近的平均变化率是____

课后作业
1. 国家环保局对长期超标排污,污染严重而未进 行治理的单位,规定出一定期限,强令在此期限内 完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达 标日期前,对甲、乙两家企业连续检测的结果(W 表示排污量) ,哪个企业治理得比较好?为什么?

(发现: y ? kx ? b 在区间[m,n]上的平均变化率有 什么特点?

三、总结提升 学习小结 1.函数 f ( x ) 的平均变化率是 2.求函数 f ( x ) 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 (2)计算平均变化率 知识拓展 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线 陡峭程度是平均变化率“视觉化”.

2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙, s 后容器 t 甲中水的体积 V (t ) ? 5 ? 2 (单位: cm ) , 计算第一个 10s 内 V 的平均变化 率.
3

?0.1t

2

高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 1.1.2 导数的概念
学习目标
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义; 2.会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬 时速度.

(3)

?y 是函数 y ? f (x) 对自变量 x 在 ?x 范 ?x

围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线 y ? f (x) 上 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 及 点

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:气球的体积 V 与半径 r 之间的关系是 3V r (V ) ? 3 ,求当空气容量 V 从 0 增加到 1 时, 4? 气球的平均膨胀率.

( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) / (4)导数 f ( x0 ) ? lim 是 ?x ?0 ?x 函数 y ? f (x) 在点 x0 的处瞬时变化率,它反映的 函数 y ? f (x) 在点 x0 处变化的快慢程度.
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小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是 运动员的瞬时速度, 气球半径关于体积 V 的导数就 是气球的瞬时膨胀率.

复习 2:高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度 h 与 起 跳 后 的 时 间 t 的 关 系 为 : h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 . 求在 1 ? t ? 2 这段时间里, 运动员的平均速度.

典型例题 例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 xh 0 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的 速度是 新知: 1. 瞬时速度定义: 物体在某一时刻(某一位置)的速 度,叫做瞬时速度.
探究任务二:导数 问题 2: 瞬时速度是平均速度

?s 当 ?t 趋近于 0 ?t

时的 得导数的定义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f 化率是 lim ,我们称它 ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或

总结:函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增 减;它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例 2 已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移 单位:cm,时间单位:s),

y? |x? x0 即 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

注意:(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数 不存在 (2)在定义导数的极限式中,?x 趋近于 0 可正、 可负、但不为 0,而 ?y 可以为 0
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?s . ?t ?s (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 . ?t
(1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求 (3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度

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第一章 导数

三、总结提升 学习小结 这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念,它 是用平均速度的极限来定义的, 主要记住公式:瞬时
速度 v= lim
?t ?0

s(t ? ?t ) ? s(t ) ?t

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知识拓展 导数存在 ? 连续 ? 有极限

学习评价

小结: 利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 第二步:求平均变化率

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体
的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为( ) ?t ? 0 ? t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2. y ? x 2 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 ? ?x D.1
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?y f ( x0 ? ?x) ; ? ?x ?x
?y . ?x ?0 ?x

第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim

动手试试 练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬 时变化率,并说明它们的意义.

3. 在 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中, ?x 不可 ?x

能( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.大于 0 或小于 0 4.如果质点 A 按规律 s ? 3t 2 运动,则在 t ? 3 时的瞬 时速度为 1 f [ x0 ? k ] ? f ( x0 ) 2 5. 若 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim 等于 k ?0 k

练 2. 一 球 沿 一 斜 面 自 由 滚 下 , 其 运 动 方 程 是 m, s), s(t ) ? t 2 (位移单位: 时间单位: 求小球在 t ? 5 时的瞬时速度
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§ 1.1.3 导数的几何意义
学习目标
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲 线在该点的切线的斜率,理解导数的概念并会运用 概念求导数.

k ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x

新知: 函 数 y ? f ( x) 在 x 0 处 的 导 数 的 几 何 意 义 是 曲 线
y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率.

即 k = f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1: 曲线上向上 P( x1 , y1 ), P ( x1 ? ?x, y1 ? ?y) 的连 1 ?y 线称为曲线的割线,斜率 k ? ? ?x 复习 2:设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义当自变量 在 x ? x0 附近改变 ?x 时,函数值也相应地改变 ?y ? ,如果当 ?x 时, 平均变化率趋近于一个常数 l ,则数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. 记作:当 ?x 时, ?l

典型例题 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函 数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象.根据图象,请描述、 比较曲线 h (t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.

二、新课导学 学习探究 探究任务:导数的几何意义 问题 1:当点 Pn ( x n , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) ,沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线的变化趋是什 么?
小结:

例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单 位: mg / mL )随时间 t (单位:min)变化的函数图象.根 据图象,估计 t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的 瞬时变化率(精确到 0.1)

新知: 当割线 P Pn 无限地趋近于某一极限位置 PT 我 们就把极限位置上的直线 PT, 叫做曲线 C 在点 P 处 的切线 割线的斜率是: kn ?
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当点 Pn 无限趋近于点 P 时, k n 无限趋近于切线 PT 的斜率. 因此,函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切 线 PT 的斜率 k ,即
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◆高二





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第一章 导数

练 1. 求双曲线 y ? 写出切线方程.

1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率,并 x 2

知识拓展 导数的物理意义: 如果把函数 y ? f ( x) 看做是物体的运动方程(也叫 做位移公式,自变量 x 表示时间) ,那么导数 f ?( x0 ) 表示运动物体在时刻 xo 的速度, ,即在 xo 的瞬时速 ?y 度.即 vx0 ? f ?( x0 ) ? lim ?t ?0 ?x 而运动物体的速度 v (t ) 对时间 t 的导数,即 ?v 称为物体运动时的瞬时加速度. v?(t ) ? lim ?t ?0 ?t

学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 已知曲线 y ? 2 x 2 上一点,则点 A(2,8) 处的切线斜 率为( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 2. 曲 线 y ? 2 x2 ? 1 在 点 P (? 1, 3)处 的 切 线 方 程 为 ( ) A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 y ? 4x ? 1 C. D. y ? 4 x ? 7 f ( x0 ? h) ? f ( x 0 ) 3. f ( x) 在 x ? x0 可导,则 lim h ?0 h ( ) A.与 x0 、h 都有关 B.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0 、h 都无关 4. 若函数 f ( x) 在 x0 处的导数存在,则它所对应的 曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线方程为 5. 已知函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数为 11,则 f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) = lim ?x ?0 ?x

练 2. 求 y ? x 2 在点 x ? 1 处的导数.

课后作业
1. 如图,试描述函数 f ( x) 在 x = ?5, ?4, ?2, 0,1 附近 的变化情况.

三、总结提升 学习小结 函 数 y ? f ( x) 在 x 0 处 的 导 数 的 几 何 意 义 是 曲 线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率.
即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

其切线方程为

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§ 1.2.1 几个常用函数导数
学习目标
1.掌握四个公式,理解公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题.

y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据导数定义,求

它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个 增加得最慢? (3) 函数 y ? kx(k ? 0) 增 (减) 的快慢与什么有关?

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f (x) 上点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处 的 切 线 的 斜 率 . 因 此 , 如 果

y ? f (x) 在 点 x0 可 导 , 则 曲 线 y ? f (x) 在 点
( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 复习 2:求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? ?y (2)求平均变化率 ? ?x (3)取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim =
?x ?0

典型例题
例 1 求函数 y ? f ( x) ?

?y ?x

1 的导数 x

二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数
变式: 求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线 斜率为 . 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? , 可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

小结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记 求导的三个步骤:作差,求商,取极限. 反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线 斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? , 可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数
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例 2 画出函数 y ?

1 的图象.根据图象,描述它的变 x

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第一章 导数

化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线方程.

三、总结提升 学习小结 1. 利用定义求导法是最基本的方法, 必须熟记求导 的三个步骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时, 一定要判断所给点是否 为切点,一定要记住它们的求法是不同的. 知识拓展 微积分的诞生具有划时代的意义,是数学史上 的分水岭和转折点.关于微积分的地位, 恩格斯是这 样评价的: “在一切理论成就中,未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神 的纯粹的和惟一的功绩,那正是在这里.”

变式 1:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

学习评价

小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点 是否为切点,它们的求法是不同的.

动手试试
练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 2 ?(3) ? ( 2.已知 f ( x) ? x ,则 f ) A.0 B.2 x C.6 D.9 ? 2 3. 在 曲线 y ? x 上 的 切 线的 倾斜 角 为 的 点 为 4 ( ) 1 1 1 1 A. (0, 0) B. (2, 4) C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4 1 4. 过曲线 y ? 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的 x 直线方程是 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速 度为 ,在 t ? 4 时的速度为 .

课后作业
1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) . 练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

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§ 1.2.2 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则
学习目标
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则, 学会用法则 求一些函数的导数; 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘 积形式的函数的导数.

典型例题 例 1 假设某国家在 20 年期间的年均通贷膨胀率为 5%,物价 p (单位:元)与时间 t (单位:年)有如下函
数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t , 其中 p0 为 t ? 0 时的物价. 假定某种商品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种 商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:常见函数的导数公式:

C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ; (a x )? ? a x ln a(a ? 0) ; (e x )? ? e x ;
1 1 (log x)? ? (a ? 0, 且 a ? 1) ; (ln x)? ? . a x ln a x
复习 2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 1 1 (1)y ? x 6 (2)y ? x (3)y ? 2(4)y ? 4 3 x x 变式:如果上式中某种商品的 p0 ? 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?

二、新课导学 学习探究 探究任务:两个函数的和(或差)积商的导数
新知: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x)
[ f ( x)?g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
[ f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着 水纯净度的提高,所需净化费用不断增加. 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元) 5284 为 c( x) ? (80 ? x ? 100) . 求净化到下列纯净 100 ? x 度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%; (2)98%.

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法 则,求函数 y ? x3 ? 2x ? 3 的导数.

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◆高二





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第一章 导数

小结:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附 近变化的快慢.

动手试试 练 1. 求下列函数的导数: (1) y ? log 2 x ; (2) y ? 2e x ;
(3)y ? 2 x5 ? 3x2 ? 5x ? 4 ; (4)y ? 3cos x ? 4sin x .

知识拓展 1.复合函数的导数:设函数 u ? g ( x) 在点 x 处有 ? 导数 u x ? g ?( x) ,函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有 ? 导数 yu ? f ?(u) ,则复合函数 y ? f ( g ( x)) 在点 x 处
也有导数,且 y' x ? y'u ?u' x 2.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导— —相乘——回代.

学习评价

练 2. 求下列函数的导数: (1) y ? x3 ? log2 x ; (2) y ? xn ex ; (3) y ?

x3 ? 1 sin x

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 1. 函数 y ? x ? 的导数是( ) x 1 1 1 1 A.1 ? 2 B.1 ? C.1 ? 2 D.1 ? x x x x 2. 函数 y ? sin x(cos x ?1) 的导数是( ) A. cos 2 x ? cos x B. cos 2 x ? sin x C. cos 2 x ? cos x D. cos2 x ? cos x cos x 3. y ? 的导数是( ) x sin x A. ? 2 B. ? sin x x x sin x ? cos x x cos x ? cos x C. ? D. ? 2 x x2 4. 函数 f ( x) ? 13 ? 8 x ? 2 x 2 ,且 f ?( x0 ) ? 4 , 则 x0 = sin x 5.曲线 y ? 在点 M (? , 0) 处的切线方程为 x

课后作业
1,已知函数 y ? x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程.

三、总结提升 学习小结 1.由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、 乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导 数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简 单函数的导数. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的 基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而 且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施 化简时,首先要注意化简的等价性,避免不必要的 运算失误.
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§ 1.2.3 复合函数求导
学习目标
复合函数的分解,求复合函数的导数.

典型例题 例 1 求下列函数的导数: (1) y ? (2 x ? 3)2 ; (2) y ? e?0.05 x ?1 ; (3) y ? sin(? x ? ? ) (其中 ? , ? 均为常数)

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:求 y ? x 3 ( x 2 ? 4) 的导数

复习 2:求函数 y ? (2 x ? 3)2 的导数 变式:求下列函数的导数: x (1) y ? cos ; (2) y ? x ? 1 3

二、新课导学 学习探究 探究任务一:复合函数的求导法则 问题:求 (sin 2 x)? =? 解答:由于 (sin x)? ? cos x ,故 (sin 2 x)? ? cos 2 x 这个解答正确吗?
新知:一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) , 如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称 这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数, 记作: y ? f ( g ( x)) 复合函数的求导法则: 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等 于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量 的导数.用公式表示为: yx? ? yu? ? x? ,其中 u 为中 u 间变量.即: y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 试试: (sin 2 x)? =

小结:复合函数的求导不仅可以推广到三重,还可 推广到四重、五重.

动手试试
练 1. 函数 r (V ) ? 合?
3

3V 可以看成是哪两个函数的复 4?

反思:求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数 的复合关系,选好中间变量。

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第一章 导数

3 3. 若 函 数 f ( x) ? l oag x ? a x ) (? 0a 在 区 间 ( a ,? 1) 1 ) (? ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围是( 2 练 2. 一个距地心距离为 r ,质量为 m 的人造卫星, 1 3 9 9 GMm A.[ ,1) B.[ ,1) C.( , ??) D.(1, ) 与地球之间的万有引力 F 由公式 F ? 2 给出, 4 4 4 4 r 4. (log 2 (?2 x ? 3))? = 其中 M 为地球队质量, G 为常量,求 F 对于 r 的 5. (lg tan x)? = 瞬时变化率.

课后作业
1. 求下列函数的导数; (1) y ? ( x ? 1)99 ; (2) y ? 2e? x ; (3) y ? 2 x sin(2 x ? 5)

三、总结提升 学习小结 1. 会分解复合函数.
2. 会求复合函数的导数. yx? ? yu? ? x? ;其中 u 为中 u 间变量. 即:y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的 导数的乘积.

2. 求下列函数的导数; (1) y ? 2 x tan x ; (2) y ? ( x ? 2)3 (3x ? 1)2 ; (3) y ? 2x ln x ; (4) y ?
x2 (2 x ? 1)3

知识拓展 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问 题.牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程 的一种数值解法——牛顿法.

学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设 y ? sin 2 x ,则 y ? =(
sin A. 2x 2 B. sin x


2sin 2 x C.
cos D. 2 x

2. 已知 f ( x) ? ln( x ? x 2 ? 1) ,则 f ?( x) 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 1.3.1 函数的单调性与导数
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
王新敞
奎屯 新疆

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有 = , 那么函数 f(x)就是区间 I 上的 函数. 复习 2: C ' ? ; ( xn )' ? (sin x) ' ? ;(cos x) ' ?
(loga x)' ?

反思:用导数求函数单调区间的三个步骤: ①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 f ?( x) ? 0 解不等式, x 的范围就是递增区间. 得 ③令 f ?( x) ? 0 解不等式, x 的范围就是递减区间. 得 探究任务二:如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,那 么函数 f ( x) 有什么特性?

; ;(ln x) ' ? ;(a )' ?
x

; ;

;(e )' ?
x

二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系:
问题:我们知道,曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是 函数 y ? f ( x) 的导数.从函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图 像来观察其关系: y=f(x)=x2-4x+3 切线的斜率 f′(x) (2,+∞) (-∞,2) 在区间(2, ? ? )内, y 切线的斜率为 ,函数 f?x? = ?x2-4?x?+3 y ? f ( x) 的值随着 x 的增 大而 , y ? ? 0 时, 即 函数 y ? f ( x) 在区间(2, B 函数; ? ? )内为 x O 1 2 3 在区间( ? ? ,2)内, A 切线的斜率为 ,函数
/ y ? f ( x) 的值随着 x 的增大而 , y ? 0 时, 即 函数 y ? f ( x) 在区间( ? ? ,2)内为 函数.

典型例题 例 1 已知导函数的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .试画出函数 f ( x) 图 象的大致形状.

变式: 函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 试画出导函 数 f ?( x) 图象的大致形状.

新知:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间内有导 数, 如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在 这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内的减函数. 试试: 判断下列函数的的单调性, 并求出单调区间: 3 (1) f ( x) ? x ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1.

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◆高二





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姓名:

第一章 导数

例 2 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积 相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别 找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关 系图象.

知识拓展 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝 对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭” (向上或向下) ;反之, 函数的图象就 “平缓” 一些. 如图, 函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a, 0) 内的图象 “陡峭” 在 (b, ??) 或 (??, a) , 内的图象“平缓”.

动手试试 练 1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4 ; (2) f ( x) ? e x ? x ;
(3) f ( x) ? 3x ? x3 ; (4) f ( x) ? x3 ? x2 ? x .

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 为增函数, 则一 定有( ) 2 A. b ? 4ac ? 0 B. b 2 ? 3ac ? 0 2 C. b ? 4ac ? 0 D. b 2 ? 3ac ? 0 2.函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函 数( ) ? 3? A. ( , ) B. (? , 2? ) 2 2 3? 5? C. ( , ) D. (2? ,3? ) 2 2 3. 若在区间 (a , b ) 内有 f ?( x ) ? 0 ,且 f (a ) ? 0 ,则 在 (a, b) 内有( ) A. f ( x) ? 0 B. f ( x) ? 0 C. f ( x) ? 0 D.不能确定 4.函数 f ( x) ? x3 ? x 的增区间是 减区间是 5.已知 f ( x) ? x2 ? 2xf ?(1) ,则 f ?(0) 等于 ,

练 2. 求证:函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在 (0, 2) 内是 减函数.

课后作业
1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ; (2) f ( x) ? 3x ? x3 ;

三、总结提升 学习小结 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的定义域; ②求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ③令 f ?( x) ? 0 ,求出全部驻点; ④驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个 区间内 f ?( x) 的符号,由此确定 f ( x) 的单调区间 注意:列表时,要注意将定义域的“断点”要单独 作为一列考虑.

(3) f ( x) ? x ? cos x, x ? (0, ) . 2

?

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 1.3.2 函数的极值与导数
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的 极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤.

刻画的是函数的

.

试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外) 部,区间的端点 (能,不能)成为极值点. 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的

学习过程
一、课前准备 (预习教材找出疑惑之处) 复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果 在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在这个区间 内为 函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函 数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解不等式, x 得 的范围就是递增区间.③令 解不等式, 得 x 的范围,就是递减区间 .

,但它 条件.

典型例题
1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值. 3

二、新课导学 学习探究 探究任务一: 问题 1: 如下图, 函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附 近, y ? f ( x) 的导数的符号有什么规律?

变式 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取 得极大值 5, 其导函数 y ? f ?( x) 的图象经过点 (1,0) ,
(2, 0) ,如图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值. y

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它 o 1 在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a) ? ; 且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. x ? b 的函数值 f (b) 比 类似地,函数 y ? f ( x) 在点 它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 , f ?(b) ? ;而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0, 右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫 做函数 y ? f ( x) 的极小值;点 b 叫做函数 y ? f ( x) 小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤: 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值. (1)确定函数的定义域; 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小 (2)求导数 f′(x); 值统称为极值. (3)求方程 f′(x)=0 的根 极值反映了函数在某一点附近的 ,
王新敞
奎屯 新疆

2

x

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◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

(4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义 区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在 方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那 么 f(x)在这个根处无极值. 变式 2:已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 9x ? 11 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出 极值; (3)画出它的大致图象.
3 2

三、总结提升 学习小结 知识拓展 函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点. 由些可见: “有极值但不一定可导”

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时, 有极小值 0,且函数过原点,则此函数是( ) A. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x B. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 3. 函 数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时 有 极 值 10,则 a、b 的值为( ) A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?1, b ? 5 D.以上都不正确 3 2 4. 函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有 极值 10,则 a 的值为

动手试试 练 1. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? x3 ? 27 x ;
(3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ; (4) f ( x) ? 3x ? x3 .

课后作业
1. 如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,在标记的点中, 在哪一点处(1)导函数 y ? f ?( x) 有极大值? (2) 导函数 y ? f ?( x) 有极小值? (3) 函数 y ? f ( x) 有极大值?(4)导函数 y ? f ( x) 有极小值?

练 2. 下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,试找出函数 y ? f ( x) 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些 是极小值点.

2. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6 x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? 48x ? x3 .

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标
⒈理解函数的最大值和最小值的概念; ⒉掌 握 用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤.

上图的极大值点 ,为极小值点为 ; 最大值为 ,最小值为 . 反思: 1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出 的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. 2.函数 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上连续, f (x) 在闭区 是 间 ?a, b? 上有最大值与最小值的 条件 3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有 一个,而函数的极值可能不止一个,可能一个没有.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧

典型例题
1 例 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值 3 与最小值.

f (x) 的导数异号, x0 是 f (x) 的极值点, f ( x0 ) 则 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左正右
负” ,则 x0 是 f (x) 的 点, f ( x0 ) 是极 值 值; 如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是

f (x) 的

点, f ( x0 ) 是极

王新敞
奎屯

新疆

复 习 2 : 已 知 函 数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ?cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 , (1)试求常数 a、 b、c 的值; (2)试判断 x ? ?1 时函数有极大值还是 极小值,并说明理由. 小结:求最值的步骤 (1)求 f ( x) 的极值; (2)比较极值与区间端点值, 其中最大的值为最大值,最小的值为最小值.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数的最大(小)值 问题:观察在闭区间 ?a, b? 上的函数 f (x) 的图象, 你能找出它的极大 (小) 值吗?最大值, 最小值呢?

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是 x 否存在实数 a、 b ,使 f (x) 同时满足下列两个条件: (1) f (x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函 数; (2) f (x) 的最小值是 1; 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.
例 2 已知 f ( x) ? log 3

图1 图2 在图 1 中,在闭区间 ?a, b? 上 的 最 大 值 是 , 最小值是 ; 在图 2 中,在闭区间 ?a, b? 上的极大值是 ,极 小值是 ;最大值是 ,最小值 是 . 新知:一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 试试:

2 3 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在区 3 2 6 间 [?1,1] 上的最大值为 1,最小值为 ? ,求函数 2 的解析式.
变式:设

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◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

小结: 本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方 法是待定系数法,从逆向思维出发,实现由已知向 未知的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最 终落脚在比较极值点与端点值大小上,从而解决问 题.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大 值、最小值分别为 M、N,则 M ? N 的值为( ) A.2 B.4 C.18 D.20 2. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x( x2 ? 1) ( ) A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值 3. 已知函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大 15 值为 ,则 a 等于( ) 4 3 1 1 1 3 A. ? B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为 5. 已知 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的最小值是

动手试试
练 1. 求函数 f ( x) ? 3x ? x3 , x ?[1,2] 的最值.

练 2. 已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a 在 [?2, 2] 上有最 小值 ? 37 .(1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

课后作业
1. a 为常数, 求函数 f ( x) ? ? x3 ? 3ax(0 ? x ? 1) 的最 大值.

三、总结提升
设函数 f (x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则 ⑴求 f (x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数

学习小结

求 f (x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下:

2. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? a , (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值 为 20,求它在该区间上的最小值.

f (x) 在 ?a, b? 上的最值.

知识拓展 利用导数法求最值,实质是在比较某些函数值来得 到最值,因些我们可以在导数法求极值的思路的基 础上进行变通.令 f ?( x) ? 0 得到方程的根 x1 , x 2 , ? ,直接求得函数值,然后去与端点的函数值比较 就可以了, 省略了判断极值的过程.当然导数法与函 数的单调性结合,也可以求最值.

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 生活中的优化问题举例(1) 1.4
学习目标
1.进一步理解导数的概念,会利用导数概念形成 过程中的基本思想分析一些实际问题,并建立它们 的导数模型; 2.掌握用导数解决实际中简单的最优化问题,构 建函数模型,求函数的最值.

反思:利用导数解决优化问题的实质 是 .

典型例题 例 1 班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传. 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求 版心面积为 128dm 2 ,上、下两边各空 2dm ,左、 右两边各空 1dm .如何设计海报的尺寸, 才能使四周 空白面积最小?

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最 小值是___________

复习 2:函数 f ( x) ? sin x ? x 在 [0, ] 上的最大值为 2 _____;最小值为_______.

?

二、新课导学 学习探究 探究任务一:优化问题 问题:张明准备购买一套住房,最初准备选择购房 一年后一次性付清房款,且付款时需加付年利率为 4.8%的利息,这时正好某商业银行推出一种年利率 低于 4.8% 的一年定期贷款业务,贷款量与利率的 平方成正比,比例系数为 k (k ? 0) ,因此他打算申 请这种贷款在购房时付清房款. (1)若贷款的利率 为 x, x ? (0,0.048) ,写出贷款量 g ( x) 及他应支付的 利息 h( x) ; 贷款利息为多少时, (2) 张明获利最大?
变式:如图用铁丝弯成一个上面是半圆,下面是矩 形的图形,其面积为 a m 2 ,为使所用材料最省, 底宽应为多少?

新知: 生活中经常遇到求 、 等问题,这些问题通常称为优化问题.



试试:在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去边 长都为 x 的小正方形,再把它的边沿虚线折起(如 图), 做成一个无盖的方底箱子, 箱底的边长是多少 时,箱底的容积最大?最大容积是多少?
x x 60 x x

例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶 子的制造成本是 0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的半径, 单位是厘米.已知每出售 1 mL 的饮料, 制造商可获 利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm .问(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利 润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润 最小?

60

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◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某公司生产某种新产品,固定成本为 20000 元, 每生产一单位产品,成本增加 100 元,已知总收益 与年产量的关系是,则总利润最大时,每年生产的 产品是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 2. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm ,要使 其体积最大,则其高应为( )
3 10 3 16 3 20 3 cm B. cm C. cm D. cm 3 3 3 3 3. 若一球的半径为 r ,则内接球的圆柱的侧面积最 大为( ) 1 A. 2? r 2 B.? r 2 C. 4? r 2 D. ? r 2 2 4. 球的直径为 d , 当其内接正四棱柱体积最大时的 高为 . 5. 面积为 S 的矩形中,其周长最小的是 .

小结:⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题, 需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的 函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要 符合问题的实际意义.⑵根据问题的实际意义来判 断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值 点,那么这个极值就是所求最值,不必再与端点值 比较.⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解 决较简单
王新敞
奎屯 新疆

A.

动手试试 练 1. 一条长为 100 cm 的铁丝截成两段,分别弯成 两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段 铁丝的长度分别是多少?

课后作业
1. 一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个 边长都为 x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒. (1)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数.(2) x 多大时, 方盒的容积 V 最大?

练 2. 周长为 20 的矩形,绕一条边边旋转成一个圆 柱,求圆柱体积的最大值.

三、总结提升 学习小结 1.解决最优化的问题关键是建立函数模型,因此 首先审清题意,明确常量与变量及其关系,再写出 实际问题的函数关系式,对于实际问题来说,需要 注明变量的取值范围. 2.实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点, 那么它也是最值点. 知识拓展 牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者.

2. 在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其下底为 直径,其他三边为圆的弦,求梯形面积最大时,梯 形的上底长为多少?

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 生活中的优化问题举例(2) 1.4
学习目标
掌握用导数解决实际中简单的最优化问题,构建函 数模型,求函数的最值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处)

解析:存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的 宽度必须大于 m ,且最外面的磁道不存储任何信 息,所以磁道数最多可达到 . 又由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大的存 储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比 特数可达到 .所以,磁盘总存储量为:
f (r ) ?

3 复习 1:已知物体的运动方程是 s ? t 2 ? ( t 的单 t 位: s , s 的单位: m ) ,则物体在时刻 t ? 4 时的速 度v = ,加速度 a ?

典型例题 例 1 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式 为 C ? 100 ? 4q ,价格 p 与产量 q 的函数关系式为
复习 2:函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 12 x ? 5 在 [0,3] 上的 最大值是 最小值是

1 p ? 25 ? q .求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8
分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C ,而收入 R 等 于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数 关系式,再用导数求最大利润.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:磁盘的最大存储问题 问题: (1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? (2)你知道磁盘的结构吗? (3)如何使一个圆盘的磁盘存储尽可能多的信 息? 新知: 计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性 介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇 区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道, 扇区是 指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧 可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录 数据 0 和 1,这个基本单元通常称为比特,磁 盘的构造如图:

变式: 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系 为 C ? 100 ? 4q ,价格 P 与产量 q 的函数关系式为 1 p ? 25 ? q ,求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于 所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据检索的 m, 方便,磁盘格式化时所要求所有磁道具有相同的比 特数. 试试:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半 径介于 r 与 R 的环行区域.(1)是不是 r 越小,磁 盘的存储量越大?(2)r 为多少时,磁盘具有最大 存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
21

◆高二





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第一章 导数

动手试试 练 1. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随 着水纯净度的提高, 所需净化费用不断增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元) 5284 为 c( x) ? (80 ? x ? 100) .求净化到下列纯净 100 ? x 度时,所需净化费用的瞬时变化率; (1)90%; (2)98

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 以长为 10 的线段 AB 为直径为圆,则它的内接 矩形面积的最大值为( ) A.10 B.15 C.25 D.50 2. 设底为正三角形的直棱柱的体积为 V, 那么其表 面积最小时,底面边长为( ) 3 3 3 A. V B. 2V C. 4V D. 2 3 V 3. 某商品在最近 30 天的价格 f (t ) 与时间 t (天)
的函数关系是 f (t ) ? t ? 10(0 ? t ? 30, t ? N ? ) ,销售 量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是

则这种商品的销售 g (t ) ? ?t ? 35(0 ? t ? 30, t ? N ? ) , 多额的最大值为( ) A.406 B.506 C.200 D.500 4. 要做一个底面为长方形的带盖的箱子, 其体积为 72 cm 3 ,其底面两邻边长之比为 1 : 2 ,则它的长 为 ,宽为 ,高为 时,可使表 面积最小. 5. 做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 练 2. 一个距地心距离为 R, 质量为 M 的人造卫星, 27? ,且用料最省,则圆柱的底面半径为 与地球之间的万有引力 F 由公式 F ?

GMm 给出, r2

其中 M 为地球质量,G 为常量.求 F 对于 r 的瞬时 变化率.

课后作业
1. 某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定 价为每天 180 元时,房间会全部住满;房间单价每 增加 10 元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房 间,宾馆每间每天需花费 20 元的各种维护费用.房 间定价多少时,宾馆利润最大?

三、总结提升 学习小结 1. 解决优化问题与应用传统知识解应用题的唯一 区别是:解题过程中需运用导数求出函数的最值. 2. 在解决导数与数学建模问题时, 首先要注意自变 量的取值范围,即考虑问题的实际意义. 解决优化 问题的过程实际上是一个典型的数学建模过程. 知识拓展 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应 用的数学分支.微积分中的基本概念是极限、导数、 积分等.

2. 已知某商品进价为 a 元/件, 根据以往经验, 当售 4 价是 b(b ? a) 元/件时, 可卖出 c 件.市场调查表明, 3 当售价下降 10%时,销量可增加 40%,现决定一次 性降价,销售价为多少时,可获得最大利润?

学习评价

22

高二数学◆选修 2-2◆导学案

第一章导数及其应用(复习)
学习目标
提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数 问题的能力.

反思:1、导数的概念是: 2、导数的几何意义是: 3、导数的物理意义是:

典型例题

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P108~ P109,找出疑惑之处) 复习 1:已知点 P 和点 Q 是曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 上的 两点,且点 P 的横坐标是 1,点 Q 的横坐标是 4, 求: (1)割线的 P Q 斜率; (2)点 P 处的切线方程.

例 1 已知函数 f ( x) ? x( x ? c)2 在 x ? 2 处有极大值, 求 c 的值.

复习 2:求下列函数的导数: (1) y ? 2 x tan x ; (2) y ? e x ln x .

变 式 : 已 知 函 数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? a , x ?[1, ??) , 若 x f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:本章知识结构 问题:本章学过哪些知识点? 新知:

小结: 例 2 如图:过点 P (1,1) 作直线 AB ,分别与 x 轴的 正半轴,y 轴的正半轴交于 A, B 两点, 当直线 AB 在 ?ABC 的面积最小,最小面积是多 什么位置时, 少? 试试:一杯 80℃的热红茶置于 20℃的房间里,它 的温度会逐渐下降, 温度 T(单位: 与时间 t(单 ℃) 位: min) 间的关系, 由函数 T ? f (t ) 给出.请问: (1) ?(t ) 的符号是什么?为什么? f (2) f ?(3) ? ?4 的实际意义是什么?若 f (3) ? 65 ℃, 你能画出函数在点 t ? 3 时图象的大致 形状吗?

23

◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式:用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的 框架,如果所制容器底面一边的长比另一边的长多 0.5m , 那么高为多少时容器的容积最大?最大容积 是多少?

导数是研究函数的有力工具, 也是解决函数最 (极) 值问题, 从而是解决优化问题的一种通法.虽然用配 方法求二次函数极值的方法很漂亮,但它只是特殊 情况下的特殊解法,并不能解决三次函数等一般函 数的极值问题,利用导数,我们可以求出满足方程 f ?( x) ? 0 的点,然后根据此点附近两侧导数的符号 求出极值.这同时体现了导数这个工具的力量.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已 知 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 (a ,b )内 可 导 , 且 f ( x ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为( ) x0 ? (a, b) ,则 lim 0 h?0 h 2 ? A.f ?( x0 ) B. f ?( x0 ) C. 2 f ?( x0 ) D. 0
) 2. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ?(?1 ?4 ,则 a 的值为 ( ) A.19/3 B.16/3 C.13/3 D. 10/3 1 1 3. 设 y ? 8x2 ? ln x ,则此函数在区间 (0, ) 和 ( ,1) 2 4 内分别为( ) A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增 C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减 4. 曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则点 P0 的坐标是

动手试试 练 1. 如图,直线 l 和圆 C ,当 l 从 l0 开始在平面上 绕 O 点按逆时针方向匀速转动(转动 角度不超过 90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 ). t 的函数,这个函数的图象大致是(

5. 函数 y=x+2cosx 在区间[0,

1 ]上的最大值是 2

练 2. 某旅行社在暑假期间推出如下组团办法:达 到 100 人的团体,每人收费 1000 元.如果团体的人 数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降 低 5 元,但团体人数不能超过 180 人.如何组团,可 使旅行社的收费最多?

课后作业
1. 已知某养殖场每年的固定成本是 20000 元, 每年 最大规模的养殖量是 400 头牛,.每养 1 头牛,成本 1 增加 100 元.如果收入函数是 R(q) ? ? q2 ? 400q 2 ( q 是猪的数量) 每年多少头牛可使总利润最大? , 总利润是多少?(可使用计算器)

三、总结提升 学习小结 运用导数的知识解决有关函数问题的方法步骤. 知识拓展
24

2.

高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 定积分的概念 1.5
学习目标

2.定积分的定义: ? f ( x)dx ? lim ?
b a n ??

b?a f (?i ) n i ?1
n

3.定积分的几何意义: 1. 理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤; 4.定积分的性质: 2.了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充 b b (1) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx ( k 为常数) 分条件; a a b b b 3.明确定积分的几何意义和物理意义; (2) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx a a a 4.无限细分和无穷累积的思维方法. b c b (3) ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中

学习过程

a

a

c

a?c?b)

一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? (sin x 2 )3 的导数是

试试:求直线 x ? 0, x ? 2, y ? 0 与曲线 y ? x 2 所围成 的曲边梯形的面积.

复习 2:若函数 y ? loga ( x2 ? 2 x ? 3) 的增区间是 (??, ?1) ,则 a 的取值范围是

反思:在求曲边梯形面积过程中,你认为最让你感 到困难的是什么?(如何分割,求和逼近是两大难 点)

二、新课导学 学习探究 探究任务一:曲边梯形的面积 问题:下图的阴影部分类似于一个梯形,但有一边 是 曲 线 y ? f ( x) 的 一 段 , 我 们 把 直 线 x ? a , x ? b (a ? b) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形 称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢?

典型例题
例 1 利用定积分的定义,计算 ? x3 dx 的值
0 1

研究特例:对于 x ? 1 , y ? 0 , y ? x 围成的图 形(曲边三角形)的面积如何来求呢?
2

变式:计算 ? x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表
0

2

示什么? 新知:1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程 分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限
25

◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

三、总结提升
例 2 计算定积分 ? (2 x ? x )dx
2 0 1

学习小结 1. 求曲边梯形的面积; 2. 会计算定积分. 知识拓展 定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这 两个背景和实际意义截然不同的问题的结果,表示 成了同样的形成.这显示这定积分的强大威力, 也再 一次表明了数学的威力.

学习评价

变式:计算定积分 ? (1 ? x)dx
1

2

动手试试
练 1. 计算 ? x3 dx ,并从几何上解释这些值分别表
0 1

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,且 ( F ( x) ? C )? ? f ( x) , F ( x ? ?x) ? F ( x) ( C 为常数) ,则 lim ) ?( ?x ?0 ?x A. F ( x) B. f ( x) C.0 D. f ?( x) 2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, f ( x) 在 [a, b] 上的平均 则 值为( ) b f (a) ? f (b) A. B. ? f ( x )dx a 2 b 1 1 b C. ? f ( x)dx D. f ( x)dx 2 a b ? a ?a 3. 设 f ( x) 是连续函数,且为偶函数,在对称区间
[?a, a] 上的定积分 ? f ( x)dx ,由定积分的几何意
?a a

示什么.

义和性质 ? f ( x)dx =(
?a

a

) B. 2 ? f ( x)dx
?a 0

A.0 C. ? f ( x)dx
?a 0

D. ? f ( x )dx
0
2

a

4. 5.

? e dx 与 ? e
x 0 0

1

1

x

dx 的大小关系为

?

1 (sin5 x ? )dx = ?3 2
3

练 2. 计算 ? x 3 dx ,并从几何上解释这些值分别表
?1

0

课后作业

示什么.

26

高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 微积分基本定理 1.6
学习目标
1.理解定积分的概念和定积分的性质,理解微积 分基本原理; 2.掌握微积分基本定理,并会求简单的定积分; 3.能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四 则运算法则从反方向上求出,满足 F ?( x) ? f ( x) 的 函数 F ( x) .

反 思 : 计 算 定 积 分 ? f ( x )dx 的 关 键 是 找 到 满 足
a

b

F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) . 通常我们可以运用基本

初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求 出 F ( x) .

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? x3 cos x3 的导数为

典型例题 例 1 计算下列定积分: 21 (1) ? dx ; 1 x

(2) ? (2 x ?
1

3

1 )dx x2

复习 2:若函数 f ( x) ? cos2 (3x ? ) , 3 2? 则 f ?( ) = 9

?

变式:计算 ?

2

0

4 ? x 2 dx

二、新课导学 学习探究 探究任务一:导数与定积分的联系 问题 1:一个作变速直线运动的物体的运动规律是 s ? s (t ) .由导数的概念可知, 它在任意时刻 t 的速度 v(t ) ? s?(t ) .设这个物体在时间段 [a, b] 内的位移为 S,你能分别用 s(t ), v(t ) 表示 S 吗?

小 结 : 计 算 定 积 分 ? f ( x )dx 的 关 键 是 找 到 满 足
a

b

F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) .

例 2. 计算下列定积分: 新知:如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数,并且
F ?( x) ? f ( x) ,那么 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a b

?

?

0

sin xdx , ? sin xdx , ? sin xdx .
?
0

2?

2?

这个结论叫做微积分基本定理,也叫牛顿—莱布尼 兹公式 为了方便起见,还常用 F ( x) |b 表示 F (b) ? F (a) ,即 a

?

b

a

f (x)dx ? x )| bF b ) F a ) F ( ?( a? (
1

试试:计算 ? x 2 dx
0

27

◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式:计算下列定积分,试利用定积分的几何意义 做出解释.

?

?

2

?

? cos dx ; ? cos dx ; ?
0

?

3? 2

2

?

?

cos dx

微积分蓬勃发展起来,成为一门影响深远的学科, 可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最 重要、最辉煌的成果.

2

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设连续函数 f ( x) ? 0 ,则当 a ? b 时,定积分

?
小结: 定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0: (1) 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时, 定积分的 值取正值,且等于曲边梯形的面积; (2) 当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时, 定积分的 值取负值,且等于曲边梯形的面积; (3) 当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴 下方的曲边梯形的面积时,定积分的值为 0,且等 于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方 的曲边梯形面积.

b

a

f ( x )dx 的符号(



A.正 B.当 0 ? a ? b 时为正,当 a ? b ? 0 时为负 C.负 D.以上结论都不对 2. 函数 y ? ? cos xdx 的一阶导数是(
0 x

) D.sin x )

A.cos x

B.? sin x
3? 2 0

C.cos x ? 1

3. 与定积分 ? | sin x | dx 相等的是( A. | ? 2 sin xdx |
0 3? 3? 0

B. ? 2 sin xdx
3? 2

C.? sin xdx ? ? sin xdx D. ? sin xdx ? ?? 2 sin xdx
0

?

?

? 2 0

3?

2

动手试试
练 1. 计算: ?
2 1

1 ( x ? )dx x

4.

?

2

1

( x ? 1)dx =

5.

?

2

1

1 dx = x2

课后作业
1. 计算定积分: (1) ? (4 ? 2 x)(4 ? x 2 )dx ; (2) ?
0 2

2

1

x2 ? 2 x ? 3 dx . x

练 2.计算 ? sin xdx
??

0

三、总结提升 学习小结 1. 理 解 掌 握 牛 顿 — 莱 布 尼 兹 公 式

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a) .

2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.

知识拓展 微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使
28

高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 定积分的简单应用 1.7
学习目标
1.理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积 分的计算方法; 2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的 平面曲线围成图形的面积, 会解决简单的物理问题.

反思:求定积分就是求曲边梯形的面积.

典型例题
例 1 计算由曲线 y 2 ? x , y ? x 2 所围图形的面积 S.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:利用定积分求平面图形面积时,可分成几 个步骤?

复习 2:计算抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成 的图形面积.

变式: 计算由直线 y ? x ? 4 , 曲线 y ? 2x 以及 x 轴 所围图形的面积 S.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:定积分在几何中的应用 问题: 如何求曲边图形的面积? 新知:
1.当 f ( x) 在 [a, b] 上有正有负时,则 A ? ? | f ( x) | dx
a b

小结:在利用定积分求平面图形的面积时,一般要 先画出它的草图,再借助图形直观确定出被积函数 以及积分的上、下限. 例 2 一辆汽车的速度—时间函数关系为: ?3t ,(0 ? t ? 10) ? v(t ) ? ?30,(10 ? t ? 40) ??1.5t ? 90,(40 ? t ? 60) ? 求汽车在这 60 秒行驶的路程.

2.平面图形是由两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 及直线 x ? a, x ? b 所围成且 f ( x) ? g ( x) . 其面积都可以用公式 A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx 求之.
a b

x 3.当介于两条曲线 y1 ? f ( x) ,y2 ? g ( x) , ? [a, b] 和 两条直线 y ? a, y ? b 之间的平面图形的面积公式

为: A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

试 试 : 求 正 弦 曲 线 y ? sin x, x ?[0,

x?

3? 及 x 轴所围成的平面图形的面积. 2

3? ] 和直线 2

29

◆高二





班级:

姓名:

第一章 导数

变式:在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离 平衡位置 l m 处,求克服弹力所作的功.

知识拓展 胡克定律:弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按 胡克定律 F ? kl 计算.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 [a, b] 上的两条光滑曲 线的方程则由这两条曲线及直线 x ? a, x ? b 所围成 的平面区域的面积为( ) 动手试试
练 1. 计算由 y ? e x , y ? e , x ? 0 所围图形的面积. A.? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a b

B.? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

b

C.? | f ( x) ? g ( x) | dx
a

b

D.| ? f ( x) ? g ( x)dx |
a

b

练 2. 一物体沿直线以 v ? 2t ? 3( t 的单位:s ,v 的 单位:m / s )的速度运动,求该物体在 3 ? 5s 间行进 的路程.

2. 已知自由下落物体的速度为 v ? gt ,则物体从 t ? 0 到 t ? t0 所走过的路程为( ) 1 1 1 A. gt0 2 B. gt0 2 C. gt0 2 D. gt0 2 3 2 4 3? 3. 曲线 y ? cos x(0 ? x ? ) 与坐标轴所围图形的 2 面积是( ) 5 A.2 B.3 C. D.4 2 4.一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 (单位: N )的作用下, 沿着与力相同的方向从 x ? 0 处运动到 x ? 4 处(单 位: )则力 F ( x) 所作的功为 5. 弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按胡克定 律 F ? kl 计算. 如果 10N 的力能使弹簧压缩 1 cm , 那么把弹簧从平衡位置压缩 10 cm (在弹性限度 内)做功为

课后作业
1. 求下列曲线所围成图形的面积: ? 3? (1) y ? cos x, x ? , x ? , y ? 0; 2 2 (2) y ? 9 ? x2 , y ? x ? 7 .

三、总结提升 学习小结 1. 会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、 求 变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等. 2. 在解决问题的过程中,能过数形结合的思想方 法,加深对定积分几何意义的理解.

30


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