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河南省郑州四十七中2015届高三数学上学期10月月考试卷(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

河南省郑州四十七中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1. (5 分)化简 A. 5 B. 的结果为() C. ﹣ D. ﹣5

2. (5 分)在极坐标系中,点 A(1,π )到

直线 ρ cosθ =2 的距离是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. (5 分)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos θ =sinθ ,曲线 C2 的参数方程为

2

(t 为参

数) ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的 点最近的距离为() A. 2 B. C. D.

4. (5 分)下列命题中,真命题的个数有() ① ②
2 2

; ;

③”a>b”是“ac >bc ”的充要条件; x ﹣x ④y=2 ﹣2 是奇函数. A. 1 个 B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

5. (5 分)对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x) =f(2a﹣x) ,则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是() 2 A. f(x)= B. f(x)=x C. f(x)=tanx D. f(x)=cos(x+1)

6. (5 分)曲线 C1:

(t 为参数) ,曲线 C2:

(θ 为参数) ,若 C1,C2 交

于 A、B 两点,则弦长|AB|为() A. B. C. D. 4

7. (5 分)设集合 M={y|y=|cos x﹣sin x|,x∈R},N={x||x﹣ |< 则 M∩N 为() A. (0,1)

2

2

,i 为虚数单位,x∈R},

B. (0,1]

C.

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8. (5 分)已知 f(x)= 大小关系是() A. < <

,若 0<x1<x2<x3,则







B.





C.





D.





9. (5 分)现有四个函数:①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2 的图象(部分)如下, 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()

x

A. ①④③②

B. ④①②③

C. ①④②③

D. ③④②①

10. (5 分)已知函数 f(x)= 的最小值为() A. B.

,若 x1>0,x2>0,且 f(x1)+f(x2)=1,则 f(x1+x2)

C. 2

D. 4

11. (5 分)定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P(A) ,用 n(A) 表示有限集 A 的元素个数,给出下列命题: ①对于任意集合 A,都有 A∈P(A) ; ②存在集合 A,使得 n=3; ③用?表示空集,若 A∩B=?,则 P(A)∩P(B)=?; ④若 A? B,则 P(A)? P(B) ; ⑤若 n(A)﹣n(B)=1,则 n=2×n. 其中正确的命题个数为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

12. (5 分)函数 y=f(x)的定义域为,其图象上任一点 P(x,y)都位于椭圆 C: 下列判断 ①函数 y=f(x)一定是偶函数; ②函数 y=f(x)可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③函数 y=f(x)可能是奇函数; ④函数 y=f(x)如果是偶函数,则值域是;

+y =1 上,

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ⑤函数 y=f(x)值域是(﹣1,1) ,则一定是奇函数. 其中正确的命题个数有()个. A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. (5 分)下列说法: x x ①“? x∈R,使 2 >3”的否定是“? x∈R,使 2 ≤3”; ②函数 y=sin(2x+ )sin( ﹣2x)的最小正周期是 π ,

③命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f′(x0)=0”的否命题是真命题; x ④f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)=2 ,则 x<0 时 ﹣x 的解析式为 f(x)=﹣2 其中正确的说法是. 14. (5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间
2

21. (12 分)设命题 p:函数 f(x)=lg(ax ﹣x+

a)的定义域为 R,命题 q:不等式

<1+ax 对一切正实数 x 均成立,如果命题 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 a 的取值范围. 22. (12 分)已知真命题:“函数 y=f(x)的图象关于点 P(a,b)成中心对称图形”的充要 条件为“函数 y=f(x+a)﹣b 是奇函数”. 3 2 (1)将函数 g(x)=x ﹣3x 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图象对 应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g(x)图象对称中心的坐标; (2)求函数 h(x)= 图象对称中心的坐标;

(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实 数 a 和 b,使得函数 y=f(x+a)﹣b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给 予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题 (不必证明) .

河南省郑州四十七中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1. (5 分)化简 A. 5 B. 的结果为() C. ﹣ D. ﹣5

考点: 方根与根式及根式的化简运算. 专题: 计算题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 利用根式直接化简即可确定结果. 解答: 解: = = =

故选 B 点评: 本题考查根式的化简运算,考查计算能力,是基础题. 2. (5 分)在极坐标系中,点 A(1,π )到直线 ρ cosθ =2 的距离是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 极坐标系. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用极坐标与直角坐标的互化公式化为直角坐标系下的坐标与方程,即可得出. 解答: 解:点 A(1,π )与直线 ρ cosθ =2 分别化为直角坐标系下的坐标与方程:A(﹣1, 0) ,直线 x=2. ∵点 A(﹣1,0)到直线 x=2 的距离 d=2﹣(﹣1)=3, ∴点 A(1,π )到直线 ρ cosθ =2 的距离为 3. 故选:C. 点评: 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、点到直线的距离,属于基础题.

3. (5 分)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos θ =sinθ ,曲线 C2 的参数方程为

2

(t 为参

数) ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的 点最近的距离为() A. 2 B. C. D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;坐标系和参数方程. 分析: 求出两条曲线的直角坐标方程,通过直线的斜率,求出与直线平行的直线与抛物线 的切点坐标,利用点到直线的距离公式求解即可. 2 2 解答: 解:曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos θ =sinθ ,普通方程为:y=x , 曲线 C2 的参数方程为 (t 为参数) ,的普通方程为:x﹣y﹣2=0.

与直线平行的直线与抛物线相切时,切点到直线的距离最小,就是曲线 C1 上的点与曲线 C2 上 的点最近的距离. y′=2x,设切点为(a,b) ,∴2a=1,切点为( , ) .

曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点最近的距离为:

=



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:D. 点评: 本题考查参数方程与极坐标与普通方程的互化,曲线之间距离的最值的求法,导数 的应用,考查转化思想以及计算能力. 4. (5 分)下列命题中,真命题的个数有() ① ②
2 2

; ;

③”a>b”是“ac >bc ”的充要条件; x ﹣x ④y=2 ﹣2 是奇函数. A. 1 个 B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

考点: 特称命题;充要条件;全称命题. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: ①由配方可判断出其真假;②取 x∈(0,1) ,即可知命题的真假;③取 c=0 即可否 定③;④利用奇函数的定义可判断出是否是奇函数. 解答: 解:①∵? x∈R, = ≥0,∴①是真命题. ,∴②是真命题.
2 2 2 2

②当 0<x<1 时,lnx<0,∴? x>0,
2 2

③当 c=0 时,由 a>b? ac =bc =0;而由 ac >bc ? a>b,故“a>b”是“ac >bc ”的必要而 不充分条件,因此③是假命题. ﹣x x x ﹣x x ﹣x ④∵? x∈R,f(﹣x)=2 ﹣2 =﹣(2 ﹣2 )=﹣f(x) ,∴函数 f(x)=2 ﹣2 是奇函数, 故④是真命题. 综上可知①②④是真命题. 故选 C. 点评: 本题考查了不等式及奇函数,熟练掌握以上有关知识是判断命题真假的关键. 5. (5 分)对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x) =f(2a﹣x) ,则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是() 2 A. f(x)= B. f(x)=x C. f(x)=tanx D. f(x)=cos(x+1) 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意判断 f(x)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可. 解答: 解:对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x) =f(2a﹣x) ,则称 f(x)为准偶函数, ∴函数的对称轴是 x=a,a≠0, 选项 A 函数没有对称轴;选项 B、函数的对称轴是 x=0,选项 C,函数没有对称轴. 函数 f(x)=cos(x+1) ,有对称轴,且 x=0 不是对称轴,选项 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查函数的对称性的应用,新定义的理解,基本知识的考查.

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6. (5 分)曲线 C1:

(t 为参数) ,曲线 C2:

(θ 为参数) ,若 C1,C2 交

于 A、B 两点,则弦长|AB|为() A. B. C. D. 4

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 将参数方程化为普通方程,联立直线方程和椭圆方程,消去 y 得到 x 的二次方程, 利用韦达定理和弦长公式即可. 解答: 解:曲线 C1: (t 为参数) ,化为普通方程为 x+y﹣2=0,即 y=2﹣x①

曲线 C2:
2

(θ 为参数) ,化为普通方程得, ,x1x2= = . ,

,②

将①代入②,得 5x ﹣16x+12=0,x1+x2= 则弦长|AB|=

故选 B. 点评: 本题主要考查参数方程与普通方程的互化,运用韦达定理和弦长公式是解题的关键.
2 2

7. (5 分)设集合 M={y|y=|cos x﹣sin x|,x∈R},N={x||x﹣ |< 则 M∩N 为() A. (0,1)

,i 为虚数单位,x∈R},

B. (0,1]

C.

考点: 交集及其运算;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 通过三角函数的二倍角公式化简集合 M,利用三角函数的有界性求出集合 M;利用复 数的模的公式化简集合 N;利用集合的交集的定义求出交集. 2 2 解答: 解:∵M={y|y=|cos x﹣sin x|}={y|y=|cos2x|}={y|0≤y≤1} ={x|﹣1<x<1} ∴M∩N={x|0≤x<1} 故选 C 点评: 本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交 集的定义.

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8. (5 分)已知 f(x)= 大小关系是() A. < <

,若 0<x1<x2<x3,则







B.





C.





D.





考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 = = 在(0,+∞)上是减函数,0<x1<x2<x3,可得





的大小关系.

解答: 解:∵f(x)= 上是减函数. 再由 0<x1<x2<x3,可得

,∴当 x>0 时,

=

=

在(0,+∞)







故选:C. 点评: 本题主要考查函数的单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题. 9. (5 分)现有四个函数:①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2 的图象(部分)如下, 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()
x

A. ①④③②

B. ④①②③

C. ①④②③

D. ③④②①

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 综合题. 分析: 从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于 Y 轴对称,是一个偶函数,第二 个图象不关于原点对称,也不关于 Y 轴对称,是一个非奇非偶函数;第三、四个图象关于原点 对称,是奇函数,但第四个图象在 Y 轴左侧,函数值不大于 0,分析四个函数的解析后,即可 得到函数的性质,进而得到答案.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:分析函数的解析式,可得: x ①y=x?sinx 为偶函数;②y=x?cosx 为奇函数;③y=x?|cosx|为奇函数,④y=x?2 为非奇非偶 函数 且当 x<0 时,③y=x?|cosx|≤0 恒成立; 则从左到右图象对应的函数序号应为:①④②③ 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中函数的图象或解析式,分析出函 数的性质,然后进行比照,是解答本题的关键.

10. (5 分)已知函数 f(x)= 的最小值为() A. B.

,若 x1>0,x2>0,且 f(x1)+f(x2)=1,则 f(x1+x2)

C. 2

D. 4

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;指数型复合函数的性质及应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 先化简所给的函数解析式,整理方程 f(x1)+f(x2)=1,结合基本不等式得出, ,再代入 f(x1+x2)求最小值

解答: 解:f(x)=

=1﹣

由 f(x1)+f(x2)=1,得 2﹣



=1,

整理得 解 又 f(x1+x2)=1﹣ 故选 B 得, =1﹣

,等号当

时取到

≥1﹣

=

点评: 本题考查基本不等式求最值及指数函数的性质,利用基本不等式探究出 是解题的关键 11. (5 分)定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P(A) ,用 n(A) 表示有限集 A 的元素个数,给出下列命题: ①对于任意集合 A,都有 A∈P(A) ; ②存在集合 A,使得 n=3; ③用?表示空集,若 A∩B=?,则 P(A)∩P(B)=?;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ④若 A? B,则 P(A)? P(B) ; ⑤若 n(A)﹣n(B)=1,则 n=2×n. 其中正确的命题个数为() A. 4 B. 3

C. 2

D. 1

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 集合;简易逻辑. 分析: 直接利用新定义判断五个命题的真假即可. 解答: 解:由 P(A)的定义可知①正确,④正确, n 设 n(A)=n,则 n(P(A) )=2 ,∴②错误, 若 A∩B=?,则 P(A)∩P(B)={?},③不正确; n(A)﹣n(B)=1,即 A 中元素比 B 中元素多 1 个, 则 n=2×n.⑤正确, 故选:B. 点评: 本题考查集合的子集关系,集合的基本运算,新定义的理解与应用.

12. (5 分)函数 y=f(x)的定义域为,其图象上任一点 P(x,y)都位于椭圆 C: 下列判断 ①函数 y=f(x)一定是偶函数; ②函数 y=f(x)可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③函数 y=f(x)可能是奇函数; ④函数 y=f(x)如果是偶函数,则值域是; ⑤函数 y=f(x)值域是(﹣1,1) ,则一定是奇函数. 其中正确的命题个数有()个. A. 1 B. 2 C. 3 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意知:函数图象为椭圆 C:

+y =1 上,

2

D. 4

+y =1 的一部分,按选项的要求作出函数的图象,

2

数形结合可得答案. 解答: 解:如图 1,图象满足题意,则可知①错误,③正确,⑤正确;

如图 2 可知②正确;

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如图 3 为偶函数,但值域不是,故④错误,

故正确的命题个数有 3 个. 故选:C. 点评: 题考查命题真假的判断,涉及函数的奇偶性和值域问题,属基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. (5 分)下列说法: x x ①“? x∈R,使 2 >3”的否定是“? x∈R,使 2 ≤3”; ②函数 y=sin(2x+ )sin( ﹣2x)的最小正周期是 π ,

③命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f′(x0)=0”的否命题是真命题; x ④f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)=2 ,则 x<0 时 ﹣x 的解析式为 f(x)=﹣2 其中正确的说法是①④. 考点: 命题的否定;函数奇偶性的性质. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 根据含量词的命题的否定形式判断出①对,根据二倍角正弦公式先化简函数,再利 用三角函数的周期公式求出函数的周期判断出②错;写出否命题,利用特例即可判断③错;根 据函数的奇偶性求出 f(x)在 x<0 时的解析式,判断出④对. 解答: 解:对于①,根据含量词的命题的否定是量词互换,结论否定,故①对 对于②, 故②错 ,所以周期 T= ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 对于③,“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f′(x0)=0”的否命题为“函数 f(x)在 x=x0 3 处没有极值,则 f′(x0)≠0”,例如 y=x , x=0 时,不是极值点,但是 f′(0)=0,所以 ③错 ﹣x ﹣x 对于④,设 x<0,则﹣x>0,∴f(﹣x)=2 ,∵f(x)为奇函数,∴f(x)=﹣2 ,故④对 故答案为①④ 点评: 求含量词的命题的否定,应该将量词”任意“与”存在“互换,同时结论否定;函 数的极值点要满足导数为 0 且左右两边的导数符号相反. 14. (5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 分析: 先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式,然后利用函数是偶函数得到 不等式 f(lnt)≤f(1) .等价为 f(|lnt|)≤f(1) ,然后利用函数在区间 即实数 m 的取值范围是 ≤t≤e, 故答案为: ≤t≤e. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用函数是偶函数的性质得到 f(a)=f (|a|) 是解决偶函数问题的关键. 先利用对数的性质将不等式进行化简是解决本题的突破点.

15. (5 分)若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 满足 + = ,则称 a、b、c 是调和的;若 满足 a+c=2b,则称 a、b、c 是等差的.若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的,又是等差的, 则称集合 P 为“好集”.若集合 M={x||x|≤2014,x∈Z},集合 P={a,b,c}? M.则: (1)“好集”P 中的元素最大值为 2012; (2)“好集”P 的个数为 1006. 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)根据“好集”的定义,可解关于 a,b,c 的方程组,用 b 把另外两个元素表示 出来,再根据“集合 M={x||x|≤2014,x∈Z},集合 P={a,b,c}? M”构造出关于 b 的不等 式,求出 P 中最大的元素. (2)结合第一问的结果,因为 b 是整数,可以求出 b 的最大值,从而确定 p 的个数. 解答: 解: (1)∵ + = ,且 a+c=2b, ∴(a﹣b) (a+2b)=0, ∴a=b(舍) ,或 a=﹣2b,∴c=4b, 令﹣2014≤4b≤2014,得﹣503≤b≤503, ∴P 中最大元素为 4b=4×503=2012; (2)由(1)知 P={﹣2b,b,4b} 且﹣503≤b≤503, ∴“好集”P 的个数为 2×503=1006. 故答案为(1)2012, (2)1006. 点评: 这是一道新定义题,关键是理解好题意,将问题转化为方程(组)或不等式问题, 则问题迎刃而解.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 16. (5 分)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足: (i)T={f(x)|x∈S}; (ii)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2) . 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 4 对集合: ①S=R,T={﹣1,1}; * ②S=N,T=N ; ③S={x|﹣1≤x≤3},T={x|﹣8≤x≤10}; ④S={x|0<x<1},T=R 其中,“保序同构”的集合对的对应的序号是②③④(写出所有“保序同构”的集合对的对 应的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 集合. 分析: ①S=R,T={﹣1,1},不存在函数 f(x)使得集合 S,T“保序同构”; * ②S=N,T=N ,存在函数 f(x)=x+1,满足“保序同构”; ③S={x|﹣1≤x≤3},T={x|﹣8≤x≤10},存在函数 f(x)=x+7,满足“保序同构”; ④S={x|0<x<1},T=R,存在函数 f(x)=x+1,满足“保序同构”. 解答: 解:①S=R,T={﹣1,1},不存在函数 f(x)使得集合 S,T“保序同构”; * ②S=N,T=N ,存在函数 f(x)=x+1,使得集合 S,T“保序同构”; ③S={x|﹣1≤x≤3},T={x|﹣8≤x≤10},存在函数 f(x)=x+7,使得集合 S,T“保序同构”; ④S={x|0<x<1},T=R,存在函数 f(x)=x+1,使得集合 S,T“保序同构”. 其中,“保序同构”的集合对的对应的序号②③④. 故答案为:②③④. 点评: 本题考查了两个集合 S,T“保序同构”的定义及其应用、举例法,考查了推理能力, 属于难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为, (t 是参数 0≤a<x)
2

以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ = (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)当 α = 时,曲线 C1 和 C2 相交于 M、N 两点,求以线段 MN 为直径的圆的直角坐标方程.

考点: 圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 2 2 2 分析: (1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,ρ =x +y , 进行代换即得曲线 C2 的直角坐标方程; 2 (2)联立 C1,C2 的方程消去 y 得 3x ﹣2x﹣1=0,求出|MN|,圆心,即可得到以线段 MN 为直径 的圆的直角坐标方程. 解答: 解: (1)对于曲线 C1 消去参数 t 得: 当α ≠ 时,y﹣1=tanα (x﹣2) ;当 α = 时,x=2. (3 分)

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对于曲线 C2:ρ +ρ cos θ =2,∴x +y +x =2,则 x + (2)当 α = ∴|MN|= ×

2

2

2

2

2

2

2

=1. (5 分)
2

时,曲线 C1 的方程为 x﹣y﹣1=0,联立 C1,C2 的方程消去 y 得 3x ﹣2x﹣1=0, =
2

,圆心为( ,﹣ ) ,
2

从而所求圆方程为(x﹣ ) +(y+ ) = . (10 分) 点评: 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线与圆的位 置关系等基本方法,属于基础题.

18. (12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角



(1)写出直线 l 的参数方程; 2 2 (2)设 l 与圆 x +y =4 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积. 考点: 直线的参数方程;直线与圆的位置关系;圆的参数方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)利用公式和已知条件直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 化为一般参数方程; ,写出其极坐标再

(2)由题意将直线

代入 x +y =4,从而求解.

2

2

解答: 解: (1)直线的参数方程为

,即

. (5 分)

(2)把直线

代入 x +y =4,

2

2



,t1t2=﹣2,

则点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2. 点评: 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选 择不同的方程进行求解,这也是每年 2015 届高考必的热点问题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=﹣(x+2) (x﹣m) (其中 m>﹣2) .g(x)=2 ﹣2. (Ⅰ)若命题“log2g(x)≥1”是假命题,求 x 的取值范围; (Ⅱ)设命题 p:? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0;命题 q:? x∈(﹣1,0) ,f(x)g(x) <0.若 p∧q 是真命题,求 m 的取值范围.
x

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考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (I)由于命题“log2g(x)≥1”是假命题,可得 log2g(x)<1,即 ,利用对数函数和指数函数的单调性即可得出 x 的取值范围; (II)由于 p∧q 是真命题,可得 p 与 q 都是真命题.由于当 x>1 时,g(x)>0,又 p 是真 命题,可得 f(x)<0.由 f(1)<0,可得 m<1.当﹣1<x<0 时,g(x)<0.由于 q 是真 命题,则? x∈(﹣1,0) ,使得 f(x)>0,利用 f(﹣1)>0,可得 m 的取值范围. 解答: 解: (I) ∵命题“log2g (x) ≥1”是假命题, 则 log2g (x) <1, 即
x



∴0<2 ﹣2<2,解得 1<x<2. ∴x 的取值范围是(1,2) ; (II)∵p∧q 是真命题,∴p 与 q 都是真命题. x 当 x>1 时,g(x)=2 ﹣2>0,又 p 是真命题,则 f(x)<0. f(1)=﹣(1+2) (1﹣m)<0,解得 m<1. x 当﹣1<x<0 时,g(x)=2 ﹣2<0. ∵q 是真命题,则? x∈(﹣1,0) ,使得 f(x)>0, ∴f(﹣1)=﹣(﹣1+2) (﹣1﹣m)>0,即 m>﹣1. 综上所述:﹣1<m<1. 点评: 本题综合考查了二次函数和对数函数的单调性、简易逻辑的有关知识,考查了推理 能力和计算能力,属于难题.

20. (12 分)已知集合 A={x|(x﹣1) (x﹣2a﹣3)<0},函数 y=lg

的定义域

为集合 B. (1)若 a=1,求集合 A∩?RB (2)已知 a>﹣1 且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)求解集合 A.B 根据集合的基本运算即可得到结论. (2)求出集合 A,B,根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论 解答: 解: (1)若 a=1,则 A={x|(x﹣1) (x﹣5)<0}={x|1<x<5}, 函数 y=lg =lg ,由 >0,解得 2<x<3,即 B=(2,3) ,

则?RB={x|x≤2 或 x≥3}, 则 A∩?RB={x|1<x≤2 或 3≤x<5}, (2)方程(x﹣1) (x﹣2a﹣3)=0 的根为 x=1 或 x=2a+3, 若 a>﹣1,则 2a+3>1,即 A={x|(x﹣1) (x﹣2a﹣3)<0}={x|1<x<2a+3} 由g >0 得(x﹣2a)<0,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵a +2﹣2a=(a﹣1) +1>0, 2 ∴a +2>2a 2 2 ∴(x﹣2a)<0 的解为 2a<x<a +2,即 B={x|2a<x<a +2} 若 x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件 则 B?A, 即 且等号不能同时取,
2 2



,则







点评: 本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用,求出对应的集合是 解决本题的关键.
2

21. (12 分)设命题 p:函数 f(x)=lg(ax ﹣x+

a)的定义域为 R,命题 q:不等式

<1+ax 对一切正实数 x 均成立,如果命题 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 由二次函数和不等式的性质分别可得 p 真和 q 真时的 a 的取值范围,再由建议逻辑 可得得 ,或 ,由集合的运算可得.

解答: 解:p 为真等价于 ax ﹣x+

2

a>0 恒成立,

当 a=0 时不合题意,∴

,解得 a>2;

q 为真等价于

对一切 x>0 恒成立,



,∴

,∴



又命题 p∨q 为真,p∧q 为假可得

,或





,或

,综合可得 ≤a≤2

点评: 本题考查复合命题的真假,涉及恒成立问题,属基础题.

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22. (12 分)已知真命题:“函数 y=f(x)的图象关于点 P(a,b)成中心对称图形”的充要 条件为“函数 y=f(x+a)﹣b 是奇函数”. 3 2 (1)将函数 g(x)=x ﹣3x 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图象对 应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g(x)图象对称中心的坐标; (2)求函数 h(x)= 图象对称中心的坐标;

(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实 数 a 和 b,使得函数 y=f(x+a)﹣b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给 予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题 (不必证明) . 考点: 命题的真假判断与应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断;对数函数 的单调性与特殊点. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 3 2 3 分析: (1)先写出平移后图象对应的函数解析式为 y=(x+1) ﹣3(x+1) +2,整理得 y=x 3 ﹣3x,由于函数 y=x ﹣3x 是奇函数,利用题设真命题知,函数 g(x)图象对称中心. (2)设 h(x)= 的对称中心为 P(a,b) ,由题设知函数 h(x+a)﹣b 是奇函数,

从而求出 a,b 的值,即可得出图象对称中心的坐标. (3)此命题是假命题.举反例说明:函数 f(x)=x 的图象关于直线 y=﹣x 成轴对称图象,但 是对任意实数 a 和 b, 函数 y=f (x+a) ﹣b, 即 y=x+a﹣b 总不是偶函数. 修改后的真命题: “函 数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数 y=f(x+a)是偶函数”. 3 2 3 解答: 解: (1)平移后图象对应的函数解析式为 y=(x+1) ﹣3(x+1) +2,整理得 y=x ﹣ 3x, 3 由于函数 y=x ﹣3x 是奇函数,由题设真命题知,函数 g(x)图象对称中心的坐标是(1,﹣2) . (2)设 h(x)= 的对称中心为 P(a,b) ,

由题设知函数 h(x+a)﹣b 是奇函数. 设 f(x)=h(x+a)﹣b,则 f(x)= 即 f(x)= 由不等式 此时 f(x)= . 的解集关于原点对称,则﹣a+(4﹣a)=0,得 a=2. ﹣b,x∈(﹣2,2) . ﹣b,

任取 x∈(﹣2,2) ,由 f(﹣x)+f(x)=0,得 b=1, 所以函数 h(x)= 图象对称中心的坐标是(2,1) .

(3)此命题是假命题. 举反例说明:函数 f(x)=x 的图象关于直线 y=﹣x 成轴对称图象, 但是对任意实数 a 和 b,函数 y=f(x+a)﹣b,即 y=x+a﹣b 总不是偶函数.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 修改后的真命题:“函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数 y=f(x+a)是偶函数”. 点评: 本小题主要考查命题的真假判断与应用,考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应 用、函数的对称性等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.

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