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三角恒等变换22


变量间的相关关系及统计案例
适用学科 适用区域 知识点
数学 通用

适用年级 课时时长(分钟)

高一 60

相关关系和函数关系;散点图与线性相关 正相关与负相关;最小二乘法与线性回归方程 线性回归方程的应用;非线性回归问题 回归分析;独立性检验

教学目标

/>1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用. 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

教学重点 教学难点

线性回归;散点图判断两个变量间的相关关系回归方程的求法 独立性检验的基本思想、方法及其简单应用; 回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 线性回归;散点图判断两个变量间的相关关系回归方程的求法 独立性检验的基本思想、方法及其简单应用; 回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
1

教学过程
一、课堂导入

问题:什么变量相关关系?求独立性检验的步骤是什么?

2

二、复习预习
1. 相关关系与函数关系的区别 相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S =x2 就是函数关系.相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.例如商品的 销售额与广告费是相关关系.两个变量具有相关关系是回归分析的前提. 2. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才 有实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义.根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的 值.

3

三、知识讲解
考点 1 变量间的相关关系

4

考点 2

散点图

以一个变量的取值为横坐标,另一个变量的相应取值为纵坐标,在直角坐标系中描点,这样的图形叫做散点图.

5

考点 3

回归直线方程与回归分析
^

(1)直线方程y =a+bx,叫做 Y 对 x 的回归直线方程,b 叫做回归系数.要确定回归直线方程,只要确定 a 与回归系 数 b. (2)用最小二乘法求回归直线方程中的 a,b 有下列公式
^

b =

∑ x y -n x i=1 i i ∑ x2-n i=1 i
n

n

y
2

x

,a = y -b x ,其中的a ,b 表示是求得的 a,b 的估计值.

^

^

^

^

(3)相关性检验 ①计算相关系数 r,r 有以下性质:|r|≤1,并且|r|越接近 1,线性相关程度越强;|r|越接近 0,线性相关程度越弱; ②|r|>r0.05,表明有 95%的把握认为变量 x 与 Y 直线之间具有线性相关关系,回归直线方程有意义;否则寻找回归直 线方程毫无意义.

6

考点 4

独立性检验

(1)2× 2 列联表: B A A 合计 n11 n21 n+1 B n12 n22 n+2 合计 n1+ n2+ n

其中 n1+=n11+n12,n2+=n21+n22,n+1=n11+n21,n+2=n12+n22,n=n11+n21+n12+n22. n?n11n22-n12n21?2 (2)χ 统计量:χ = . n1+n2+n+1n+2
2 2

(3)两个临界值:3.841 与 6.635 当 χ2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 χ2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关; 当 χ2≤3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关的.

7

四、例题精析
考点一 例1 相关关系的判断 5 个学生的数学和物理成绩如下表: 学生 学科 数学 物理 画出散点图,并判断它们是否具有相关关系. A B C D E

80 70

75 66

70 68

65 64

60 62

8

【规范解答】解

以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得到相应的散点图如图所示.

由散点图可知,各组数据对应点大致在一条直线附近,所以两者之间具有相关关系,且为正相关. 【总结与反思】判断变量之间有无相关关系,一种简便可行的方法就是绘制散点图,根据散点图很容易看出两个变量之 间是否具有相关性,是不是存在线性相关关系,是正相关还是负相关,相关关系是强还是弱.

9

考点二

线性回归分析

某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下: 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

(2)求出 y 关于 x 的回归直线方程y=bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少小时?

^

^

^

?xiyi-n x
(注:b=
^ i=1 2 ?x2 i -n x i =1 n

n

y ,a= y -b x )
^ ^

10

【规范解答】解

(1)散点图如图.
4 4

(2)由表中数据得: ?xiyi=52.5, x =3.5, y =3.5, ?x2 i =54,
i =1 ^ ^ ^ i=1

∴b =0.7,∴a =1.05,∴y =0.7x+1.05,回归直线如图所示.

(3)将 x=10 代入回归直线方程,得y =0.7× 10+1.05=8.05, 故预测加工 10 个零件约需要 8.05 小时. 【总结与反思】(1)回归直线方程y =bx+a必过样本点的中心( x , y ). (2)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性 相关关系,则可通过回归直线方程估计和预测变量的值.
11
^ ^ ^

^

考点三 例3

独立性检验 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人, 结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有 99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明 理由.

12

【规范解答】解 (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要志愿者提供帮 70 助的老年人的比例的估计值为500× 100%=14%. 500× ? 40×270 -30× 160?2 (2)χ = ≈9.967. 200× 300× 70× 430
2

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人 中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层 并采用分层抽样方法,比采用简单随机抽样方法更好. 【总结与反思】 (1)根据样本估计总体是抽样分析的一个重要内容. 要使估计的结论更加准确, 抽样取得的样本很关键. (2)根据独立性检验知,需要提供服务的老人与性别有关,因此在调查时,采取男、女分层抽样的方法更好,从而看出独 立性检验的作用.

13

五、课堂运用
【基础】 1、设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过 最小二乘法得到的线性回归直线(如图), 以下结论中正确的是( A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 )

14

【规范解答】答案 解析

A

因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近 1,两个变量的线性相关程度

越强,所以 B、C 错误.D 中 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数可以不相同,所以 D 错误.根据线性回归直线 一定经过样本点中心可知 A 正确.

15

2、设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n), 用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确 的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg
^

)

16

【规范解答】答案 解析

D

由于回归直线方程中 x 的系数为 0.85,

因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 A 正确. 又回归直线方程必过样本点中心( x , y ),因此 B 正确. 由回归直线方程中系数的意义知,x 每增加 1 cm,其体重约增加 0.85 kg,故 C 正确. 当某女生的身高为 170 cm 时,其体重估计值是 58.79 kg,而不是具体值,因此 D 不正确.

17

【巩固】 1、 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)
^ ^ ^ ^

4 49

2 26

3 39

5 54 )

根据上表可得回归直线方程y =b x+a 中的b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

18

【规范解答】答案 解析
^

B

∵x=
^ ^

4+2+3+5 7 49+26+39+54 = , y = =42, 4 2 4

又y =b x+a 必过( x , y ),
^ ^ 7 ∴42=2× 9.4+a ,∴a =9.1.

∴回归直线方程为y =9.4x+9.1. ∴当 x=6 时,y =9.4× 6+9.1=65.5(万元).
^

^

19

2、某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高 有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.

20

【规范解答】答案 解析

185

儿子和父亲的身高可列表如下: 父亲身高 儿子身高
^ ^ ^

173 170
^

170 176

176 182
^ ^

设回归直线方程为y =a +b x,由表中的三组数据可求得b =1,故a = y -b x =176-173=3,故回归直线方程 为y =3+x,将 x=182 代入得孙子的身高为 185 cm.
^

21

【拔高】 1、从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得

?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?xi2=720.
i=1 i=1 ^ i=1 i=1 ^ ^ ^

10

10

10

10

(1)求家庭的月储蓄y 对月收入 x 的回归直线方程y =b x+a ; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

?xiyi-n x
附:回归直线方程y =b x+a 中,b =
^ ^ ^ ^ i=1 2 ?x2 i -n x i=1 n

n

y ,a = y -b x ,其中 x , y 为样本平均值.
^ ^

22

【规范解答】解

1 n 80 1 n 20 (1)由题意知 n=10, x =n ?xi=10=8, y =n ?yi=10=2,
i=1 i=1

又 lxx= ?xi2-n x 2=720-10× 82=80,
i=1

n

lxy= ?xiyi-n x
i =1

n

y =184-10× 8× 2=24,

^ lxy 24 由此得b =l =80=0.3, xx

a = y -b

^

^

x =2-0.3× 8=-0.4,
^

故所求回归直线方程为y =0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b =0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y =0.3× 7-0.4=1.7(千元).
^ ^

23

2、 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名, 25 周岁以下工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关, 现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周 岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组, 再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件完成 2× 2 列联表, 并判断是否有 90%的把握 认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? P(χ2≥k) k n?n11n22-n12n21?2 附:χ = n1+n2+n+1n+2
2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828
24

【规范解答】解 (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60× 0.05=3(人),记为 A1,A2,A3; 25 周岁以下组工人有 40× 0.05=2(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2), (A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2), 7 (B1,B2). 故所求的概率 P= . 10 (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手 60× 0.25=15(人),“25 周岁以下组”中的生产能手 40× 0.375=15(人),据此可得 2× 2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 100× ? 15×25 -15× 45? 25 所以得 χ2= = ≈1.79. 60× 40× 30× 70 14
2

非生产能手 45 25 70

合计 60 40 100

15 15 30

因为 1.79<2.706.

所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
25

课程小结
1. 求回归方程,关键在于正确求出系数a ,b ,由于a ,b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算 而产生错误.(注意回归直线方程中一次项系数为b ,常数项为a ,这与一次函数的习惯表示不同.) 2. 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决:(1)确定特定量之间是否有相关关系,如果有就找出它们 之间贴近的数学表达式;(2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势;(3)求出回归直线方程. 3. 根据 χ2 的值可以判断两个分类变量有关的可信程度.
^ ^ ^ ^ ^ ^

26


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