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山西省大同市第一中学2014-2015学年高二数学3月月考试题 理


山西省大同市第一中学 2014-2015 学年高二数学 3 月月考试题 理
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.曲线 y ? 2sin x 在点 (0,0) 处的切线与直线 A.2 B. ?2 2.下列求导结果正确的是( )
x ? ay ? 1

垂直,则实数 a 的值为(
1 D. 2 ?



1 C. 2

? A. (1 ? x ) ? 1 ? 2x
2

? B. (cos30 ) ? ? sin 30
( x 3 )? ?
D.

[ln( 2 x )]? ?
C.
3

1 2x

3 x 2

3.函数 y ? x ? 3x 的单调递减区间是(). A.(-∞,-1)
3 2

B.(-1,1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)和(1,+∞) ). D.-1

4. f (x) ? x ? 3x ? 2 在区间[-1,1]上的最小值是( A.1 B.-2 C .2

3 5.已知函数 f ( x) ? x ? 12x ,若 f ( x) 在区间 (2m, m ? 1) 上单调递减,则实数 m 的取值范

围是 A.? 1 ? m ? 1
2

B.? 1 ? m ? 1

C.? 1 ? m ? 1

D.? 1 ? m ? 1

6.已知函数 f (x) ? ax ? c ,且 f '(1)=2,则 a 的值为( ) . A.1 B. 2
2

C.-1

D.0

7. 已知 P, Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛物线 的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( A. 1 B. 3 C.
3 2

?4
④f(0)f(3)<0. D.②④

)

D.

?8

8. 已知 x ? 6x ? 9x ? abc, a ? b ? c且f(a)=f(b)=f(c)=0 ,现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; 其中正确结论的序号是( ) A.①③ B.①④ ③f(0)f(3)>0; C.②③

? 9. 若 f ( x) 的定义域为, f ( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为( )
A. (?1,1)

? ?) B. (?1,
3

C. (??, ?1)

D. (??, ??) ).

10.已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 相切于点(1,3),则 b 的值为( A.3 B.-3 C. 5 D.-5

-1-

11. 设函数 f ( x) ? xe ,则(
x

) B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点[学 ) D. -3 或 1

A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点
3

12. 已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A. -2 或 2 B. -9 或 3 C. -1 或 1

二、填空题(每小题 3 分,共 16 分) 13.一质点按规律 s=2t3 运动,则其在时间段[1,1.1]内的平均速度为 在 t=1 时的瞬时速度为 m/s. 14.函数 y=x3+ax2+x 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是 . 15.如图,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程 是 y=-x+8,则 f(5)+f '(5)= . π 16.已知函数 y=f(x)的导函数为 f′ (x)且 f(x)=x2f′ (3)+sin x, π 则 f′ (3)=________. 三、解答题

m/s,

y?
17.(8 分) 已知曲线

1 3 x 3 ,

(1) 求曲线在点 P(2,f(2))处的切线方程;

8 (2) 求曲线过点 P(2, 3 )的切线方程。
x a 3 18.(10 分) 已知函数 f(x)=4+x-ln x-2,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂 1 直于直线 y=2x. (1) 求 a 的值; (2) 求函数 f(x)的单调区间与极值.

2 19. (10 分) 设函数 f ( x) ? ax ? ln x .

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)设函数 g ( x) ? (2a ? 1) x ,若当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.
-2-

2a 20. (10 分) 已知函数 f(x)=ln x+ x ,a∈R. (1) 若函数 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2) 若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 3,求实数 a 的值.

21.已知函数f (x) ? x ? ax ? x ? 1, a ? R,
3 2

(1) 讨论函数 f (x) 的单调区间;

(2)设函数 f (x) 在区间

2 1 (? , ? ) 3 3 内是减函数,求 a 的取值范围。

-3-

数学(理科) 参考答案

三、解答题

8 1 3 (x 0 , x0 ) 3 17.解:设过点 P(2, 3 )的直线与曲线相切,切点坐标为 ,
所以切线的斜率为
2 f ' (x 0 ) ? x 0

1 3 2 y ? x0 ? x0 (x ? x 0 ) 3 所以切线方程为 ,
8 因为切线过点 P(2, 3 ),

8 1 3 2 ? x0 ? x0 (2 ? x0 ) 3 3 所以 ,
解得 当 当

x0 ? 2或x0 ? ?1

x0 ? 2 时,切线方程为 12 x-3y-16=0 x0 ? ?1 时,切线方程为 3y-3x-2=0

所以,所求切线方程为 12 x-3y-16=0 或 3y-3x-2=0 1 a 1 1 18. 解: (1)对 f(x)求导得 f′ (x)=4-x2- x , 由 f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线 y=2x 知 f′ (1) 3 5 =-4-a=-2,解得 a=4. x 5 3 (2) 由(1)知 f(x)=4+4x-ln x-2, x2-4x-5 则 f′ (x)= 4x2 .令 f′ (x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′ (x)<0,故 f(x)在(0,5)上为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′ (x)>0,故 在(5,+∞)上为增函数.由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. f(x)

-4-

19.解: : (1)解:因为 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 x ? 0 . 所以
2

f ?( x) ?

2ax 2 ? 1 x ,

2



? 当 a ≥ 0 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数
x?? ? 1 2a

4分

? 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得
(0, ?

所以 f ( x) 在

1 1 ) ( ? , ??) 2a 上是增函数,在 2a 上是减函数.

6分

2 (2)解:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? ln x ,

根据题意,当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 恒成立.

8分

h '( x) ? 2ax ? (2a ? 1) ?
所以

1 ( x ? 1)(2ax ? 1) ? x x

(1)当

0?a?

1 1 x ? ( , ?? ) 2a 2 时, 时, h '( x) ? 0 恒成立.

1 1 ( , ?? ) h( x ) ? ( h( ), ?? ) h ( x ) 2a 所以 在 2a 上是增函数,且 ,所以不符题意

10 分

(2)当

a≥

1 2 时, x ? (1, ??) 时, h '( x) ? 0 恒成立.
12 分

所以 h( x) 在 (1, ??) 上是增函数,且 h( x) ? (h(1), ??) ,所以不符题意

(3)当 a ≤ 0 时, x ? (1, ??) 时,恒有 h ( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (1, ??) 上是减函数, 于是“ h( x) ? 0 对任意 x ? (1, ??) 都成立”的充要条件是 h(1) ≤ 0 , 即 a ? (2a ? 1) ≤ 0 ,解得 a ≥ ?1 ,故 ?1 ≤ a ≤ 0 . 综上所述, a 的取值范围是 [?1,0] . 15 分

?

2a 1 2a 20.解 (1)∵f(x)=ln x+ x ,∴f′ (x)=x -x2. ∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, 1 2a ∴f′ (x)=x -x2≥0 在[2,+∞)上恒成立,

-5-

x 即 a≤2在[2,+∞)上恒成立. x 令 g(x)=2,则 a≤*g(x)+min,x∈[2,+∞), x ∵g(x)=2在[2,+∞)上是增函数, ∴[g(x)]min=g(2)=1. ∴a≤1.所以实数 a 的取值范围为(-∞,1]. x-2a (2)由(1)得 f′ (x)= x2 ,x∈ [1,e]. ①若 2a<1,则 x-2a>0,即 f′ (x)>0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上是增函数. 3 所以[f(x)]min=f(1)=2a=3,解得 a=2(舍去). ②若 1≤2a≤e,令 f′ (x)=0,得 x=2a. 当 1<x<2a 时,f′ (x)<0, 所以 f(x)在(1,2a)上是减函数,当 2a<x<e 时,f′ (x)>0,所以 f(x)在(2a,e)上是增函数. 所以[f(x)]min=f(2a)=ln(2a)+1=3, e2 解得 a= 2 (舍去). ③若 2a>e,则 x-2a<0,即 f′ (x)<0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上是减函数. 2a 所以[f(x)]min=f(e)=1+ e =3,得 a=e.适合题意. 综上 a=e.

-6-

-7-


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