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江西省宜春市丰城中学等五校2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


江西省宜春市丰城中学等五校 2014-2015 学年高二下学期期末数 学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 P={x|(x﹣3) (x﹣6)≤0,x∈Z},Q={5,7},下列结论成立的是() A.Q?P B.P∪Q=P C.P∩Q=Q D.P∩Q

={5} 2. (5 分)复数 z 满足(z+i) (1﹣i)=2+i,则 z=() A. B. C. D.

3. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, () A.(2,4)

=(2,4) ,

=(1,3) ,则

=

B.(3,5)

C.(1,1)

D.(﹣1,﹣1)

4. (5 分)从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张纸片中任取 2 张,那么这 2 张纸片数字之积为 6 的概率是() A. B. C. D.

5. (5 分)若椭圆 则该椭圆的方程为() A. B.

过抛物线 y =8x 的焦点,且与双曲线 x ﹣y =1 有相同的焦点,

2

2

2

C.

D.

6. (5 分)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为 60°的扇 形,则该几何体的侧面积为()

A.12+

B.6+

C.12+2π

D.6+4π

7. (5 分)已知等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,若 S4=1,则 S8=() A.15 B.17 C.19 D.21 8. (5 分)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()

A.7

B. 9

C. 1 0

D.11 )的部分图象如图所

9. (5 分)已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, 示,下列说法正确的是()

A.f(x)的图象关于直线 B. f(x)的图象关于点 C. 若方程 f(x)=m 在

对称 对称 上有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是

D.将函数

的图象向左平移

个单位得到函数 f(x)的图象

10. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4) ,当 x x∈(﹣2,0)时,f(x)=2 ,则 f﹣f 的值为() A. B. C. 2 D.﹣2

11. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F, 且 EF= ,则下列结论中错误的是()

A.AC⊥BE B. △ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等 C. EF∥平面 ABCD D.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值

12. (5 分)已知函数 f(x)= 断: ①当 k>0 时,有 3 个零点; ②当 k<0 时,有 2 个零点; ③当 k>0 时,有 4 个零点; ④当 k<0 时,有 1 个零点. 则正确的判断是() A.①④ B.②③

下列是关于函数 y=f+1 的零点个数的 4 个判

C.①②

D.③④

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 3 13. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax﹣4(a∈R)若函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1) ) 处的切线的倾斜角为 ,则 a=.

14. (5 分)已知数列{an}为等比数列,且 a3?a7=2a5,设等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn,若 b5=a5,则 S9=.

15. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 w=4 ?2 的最大值是.

x

y

16. (5 分)设 F 是双曲线 △ PAF 周长的最小值为.



=1 的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,A(1,4) ,则

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,且 a:b:c=7:5:3. (1)求 cosA 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 ,求△ ABC 的外接圆半径的大小. 18. (12 分)我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之 间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患 感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日 昼夜温差 x(°C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12 该综合实践研究小组确定的研究方案是: 先从这六组数据中选取 2 组, 用剩下的 4 组数据求 线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程 =bx+a. (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? 参考数据: xi =11 +13 +12 +8 =498;
2 2 2 2 2

xiyi11×25+13×29+12×26+8×16=1092.

19. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB⊥BC,D 为 AC 的中点,A1A=AB=2,BC=3. (1)求证:AB1∥平面 BC1D; (2)求四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积.

20. (12 分)已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 l:mx﹣y+1﹣m=0,且直线 l 与圆 C 交于 A、 B 两点. (1)若|AB|= ,求直线 l 的倾斜角; (2)若点 P(1,1) ,满足 2 = ,求直线 l 的方程.

2

2

21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的极大值; (Ⅱ)设定义在上的函数 g(x)=xf(x)+tf′(x)+e (t∈R)的最大值为 M,最小值为 N, 且 M>2N,求实数 t 的取值范围.
﹣x

选修 4-1:平面几何选讲 22. (10 分)如图,C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,∠ACB 平分线 DC 交 AE 于点 F,交 AB 于 D 点. (Ⅰ)求∠ADF 的度数; (Ⅱ)若 AB=AC,求 AC:BC.

选修 4-4:极坐标与参数方程 23.已知圆的极坐标方程为: (1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值. .

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5| (1)若关于 x 的不等式 f(x)≥k 有解,求 k 的最大值; (2)求不等式:f(x)≥x ﹣8x+15 的解集.
2

江西省宜春市丰城中学等五校 2014-2015 学年高二下学 期期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 P={x|(x﹣3) (x﹣6)≤0,x∈Z},Q={5,7},下列结论成立的是() A.Q?P B.P∪Q=P C.P∩Q=Q D.P∩Q={5}

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 分析: 化简 P={x|(x﹣3) (x﹣6)≤0,x∈Z}={3,4,5,6},从而解得. 解答: 解:P={x|(x﹣3) (x﹣6)≤0,x∈Z}={3,4,5,6}, 故 P∩Q={5}; 故选 D. 点评: 本题考查了集合的化简与运算,属于基础题. 2. (5 分)复数 z 满足(z+i) (1﹣i)=2+i,则 z=() A. B. C. D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的 扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵(z+i) (1﹣i)=2+i, ∴(z+i) (1﹣i) (1+i)=(2+i) (1+i) , 化为 2(z+i)=1+3i, ∴z= = ,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

3. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, () A.(2,4)

=(2,4) ,

=(1,3) ,则

=

B.(3,5)

C.(1,1)

D.(﹣1,﹣1)

考点: 平面向量坐标表示的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 可结合图形,根据向量的加法,及相等向量、相反向量、向量的坐标运算即可求出 的坐标. 解答: 解: =(2,4)﹣(1,3)=(1,1) .

故选 C. 点评: 考查向量的加法,以及向量的坐标运算. 4. (5 分)从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张纸片中任取 2 张,那么这 2 张纸片数字之积为 6 的概率是() A. B. C. D.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 用列举法求出基本事件数是多少,计算出对应的概率即可. 解答: 解:从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张纸片中任取 2 张,不同的取法种数是 12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56 共 15 种; 其中这 2 张纸片数字之积为 6 的取法种数是 23、16; ∴对应的概率是 P= .

故选:C. 点评: 本题考查了利用列举法求基本事件数以及计算古典概型的概率问题,是基础题目.

5. (5 分)若椭圆 则该椭圆的方程为() A. B.

过抛物线 y =8x 的焦点,且与双曲线 x ﹣y =1 有相同的焦点,

2

2

2

C.

D.

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题. 分析: 求出抛物线的焦点坐标,求出双曲线的两焦点坐标,即为椭圆的焦点坐标,即可得 到 c 的值,然后根据椭圆的基本性质得到 a 与 b 的关系,设出关于 b 的椭圆方程,把抛物线 的焦点坐标代入即可求出 b 的值,得到椭圆方程. 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) ,双曲线 x ﹣y =1 的焦点坐标为( ,0) , (﹣ ,0) , 2 2 2 2 2 所以椭圆过(2,0) ,且椭圆的焦距 2c=2 ,即 c= ,则 a ﹣b =c =2,即 a =b +2, 所以设椭圆的方程为: + =1,把(2,0)代入得: =1 即 b =2,
2 2 2 2

则该椭圆的方程是:



故选 A 点评: 此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征,会求椭圆的标准方程,是一道综合题. 6. (5 分)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为 60°的扇 形,则该几何体的侧面积为()

A.12+

B.6+

C.12+2π

D.6+4π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知, 该几何体由圆柱切割而成, 故分矩形及 曲面求侧面积. 解答: 解:该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成, 其中矩形的面积为 2×3×2=12, 曲面的面积为 ×2×3=2π,

故其侧面积 S=12+2π, 故选 C. 点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力. 7. (5 分)已知等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,若 S4=1,则 S8=() A.15 B.17 C.19 D.21 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据在等比数列{an}中,S4、S8﹣S4、S12﹣S8、…构成公比为 q 的等比数列,以及 S4=1 和 q=2 求出 S8﹣S4,在求出 S8 的值. 4 解答: 解:∵在等比数列{an}中,S4、S8﹣S4、S12﹣S8、…构成公比为 q 的等比数列, 又 S4=1,公比 q=2, 4 ∴S8﹣S4=1×2 =16,则 S8=S4+16=17, 故选:B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,以及等比数列的性质的灵活应用,属于中档题. 8. (5 分)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()
4

A.7

B. 9

C.10

D.11

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg 的值, 根据条件确定跳出循环的 i 值. 的值,

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +…+lg ∵S=lg +lg +…+lg =lg >﹣1,而 S=lg +lg +…+lg =lg <﹣1,

∴跳出循环的 i 值为 9,∴输出 i=9. 故选:B. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.

9. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, 示,下列说法正确的是()

)的部分图象如图所

A.f(x)的图象关于直线 B. f(x)的图象关于点 C. 若方程 f(x)=m 在

对称 对称 上有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是

D.将函数

的图象向左平移

个单位得到函数 f(x)的图象

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可 得 f(x)的解析式,结合图象,可得结论. 解答: 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, A=2, )的部分图象可得

=

=



,求得 ω=2, +φ=π,∴φ= ∈, ,∴f(x)=2sin(2x+ ) ,

再根据五点法作图可得 2× 在 上,2x+

当实数 m 的取值范围是 时,函数 f(x)的图象和直线 y=m 有 2 个交点, 故选:C. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的定义域和 值域,属于中档题. 10. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4) ,当 x∈(﹣2,0)时,f(x)=2 ,则 f﹣f 的值为() A. B. C. 2 D.﹣2
x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)=f(x+4)得出 f(x)是周期为 4 的函数,再由 f(x)是奇函数,求出 f (2)=f(﹣2)=0, 从而求出 f 与 f 的值. 解答: 解:∵f(x)=f(x+4) ,∴f(﹣2)=f(﹣2+4)=f(2) , 又∵奇函数 f(x) ,∴f(﹣2)=﹣f(2)=0, 又∵2015=4?504﹣1,2014=4?503+2, ∴f=f(﹣1)=2 = , f=f(2)=0, ∴f﹣f= . 故选:B. 点评: 本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用问题,是基础题目. 11. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F, 且 EF= ,则下列结论中错误的是()
﹣1

A.AC⊥BE B. △ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等

C. EF∥平面 ABCD D.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 考点: 向量语言表述线线的垂直、平行关系;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直 的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: A.AC⊥BE,可由线面垂直证两线垂直; B. 由图形可以看出, B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等, 故△ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等不正确; C.EF∥平面 ABCD,可由线面平行的定义证线面平行; D.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值,可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值. 解答: 解:A.AC⊥BE,由题意及图形知,AC⊥面 DD1B1B,故可得出 AC⊥BE,此命 题正确,排除 A 选项; B. 由图形可以看出, B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等, 故△ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等不正确,故 B 是错误的; C.EF∥平面 ABCD,由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的两个底面平行,EF 在其一面上,故 EF 与平面 ABCD 无公共点,故有 EF∥平面 ABCD,此命题正确,排除 B 选项; D.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形 BEF 的面积是定值, A 点到面 DD1B1B 距离是定值,故可得三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值,此命题正确,排除 D 选项; 故选:B. 点评: 本题考查棱柱的结构特征, 解答本题关键是正确理解正方体的几何性质, 且能根据 这些几何特征,对其中的点线面和位置关系作出正确判断.熟练掌握线面平行的判断方法, 异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证.

12. (5 分)已知函数 f(x)= 断: ①当 k>0 时,有 3 个零点; ②当 k<0 时,有 2 个零点; ③当 k>0 时,有 4 个零点; ④当 k<0 时,有 1 个零点. 则正确的判断是() A.①④ B.②③

下列是关于函数 y=f+1 的零点个数的 4 个判

C.①②

D.③④

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 y=0 得 f=﹣1,利用换元法将函数分解为 f(x)=t 和 f(t)=﹣1,作出函数 f(x) 的图象,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:由 y=f+1=0 得 f+1=0,即 f=﹣1, 设 f(x)=t,则方程 f=﹣1 等价为 f(t)=﹣1, ①若 k>0,作出函数 f(x)的图象如图: ∵f(t)=﹣1,

∴此时方程 f(t)=﹣1 有两个根其中 t2<0,0<t1<1, 由 f(x)=t2,<0,知此时 x 有两解, 由 f(x)=t1∈(0,1)知此时 x 有两解, 此时共有 4 个解,即函数 y=f+1 有 4 个零点. ②若 k<0,作出函数 f(x)的图象如图: ∵f(t)=﹣1, ∴此时方程 f(t)=﹣1 有一个根 t1,其中 0<t1<1, 由 f(x)=t1∈(0,1)知此时 x 只有 1 个解, 即函数 y=f+1 有 1 个零点. 综上:只有③④正确, 故选:D.

点评: 本题考查分段函数,考查复合函数的零点,利用数形结合是解决本题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax﹣4(a∈R)若函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1) ) 处的切线的倾斜角为 ,则 a=4.
3

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先求出函数 f(x)的导函数,然后根据函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线的斜 率等于 1,建立关于 a 的方程,解之即可. 3 解答: 解:∵f(x)=﹣x +ax﹣4, 2 ∴f'(x)=﹣3x +a, ∵函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1) )处的切线的倾斜角为 45°, ∴﹣3+a=1, ∴a=4. 故答案为:4. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率与倾斜角的关系, 考查运算能力. 14. (5 分)已知数列{an}为等比数列,且 a3?a7=2a5,设等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn,若 b5=a5,则 S9=18.

考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 首项根据等比数列的性质若 m+n=k+l 则 aman=ak al,计算出 b5=a5=2,再根据等差 数列的性质若 m+n=k+l 则 bm+bn=bk+bl,得出 S9=9b5,进而得到答案. 解答: 解:在数列{an}为等比数列中,若 m+n=k+l 则 aman=akal. 已知数列{an}为等比数列,且 a3?a7=2a5,所以 a5=2. 所以 b5=a5=2. 在数列{bn}为等差数列中,若 m+n=k+l 则 bm+bn=bk+bl. 所以 S9= (b1+b9)=9b5=18.

故答案为 18. 点评: 解决此类问题的关键是首项等差数列的性质以及等比数列的性质, 再结合着正确的 运算即可,此类题目在 2015 届高考中常以选择题或填空题的形式出现.

15. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 w=4 ?2 的最大值是 512.

x

y

考点: 简单线性规划;有理数指数幂的化简求值. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数,根据数形结合得到最优解,求得最优解的坐 标,代入目标函数得答案. 解答: 解:由约束条件 ,作出可行域如图,

联立
x y

,解得 B(3,3) ,
2x+y

而 w=4 ?2 =2 ,令 z=2x+y, 则 y=﹣2x+z,当直线 y=﹣2x+z 过 B(3,3)时,z 最大, Zmax=9,

∴w=2 =512, 故答案为:512. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题

9

16. (5 分)设 F 是双曲线 △ PAF 周长的最小值为

﹣ .

=1 的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,A(1,4) ,则

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出右焦点 H 的坐标,由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|,求得 2a+|AH|的值,即可求出△ PAF 周长的最小值. 解答: 解:∵F 是双曲线 焦点为 H(4,0) , 由双曲线的定义可得 |PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+ ∵|AF|= = , =4+5=9, ﹣ =1 的左焦点,∴a=2,b=2 ,c=4,F(﹣4,0 ) ,右

∴△PAF 周长的最小值为 . 故答案为: . 点评: 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,把 |PF|+|PA|化为 2a+|PH|+|PA|是解题的关键. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,且 a:b:c=7:5:3. (1)求 cosA 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 ,求△ ABC 的外接圆半径 的大小. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1) 根据题意设出三边, 利用余弦定理表示出 cosA, 将表示出的三边代入求出 cosA 的值即可; (2)利用三角形面积公式列出关系式,把表示出的 b,c 及 sinA,已知面积代入求出 k 的 值,确定出 a 的值,利用正弦定理求出△ ABC 的外接圆半径即可. 解答: 解: (1)根据题意设 a=7k,b=5k,c=3k, ∴cosA= = =﹣ ,

则 A=



(2)∵S△ ABC= bcsinA=45 ∴ ?15k ? ∴a=7k=14 由正弦定理
2

, ,

=45 ,

,即 k=2

=2R,得:R=

=

=14.

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关 键. 18. (12 分)我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之 间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患 感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日 昼夜温差 x(°C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12 该综合实践研究小组确定的研究方案是: 先从这六组数据中选取 2 组, 用剩下的 4 组数据求 线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程 =bx+a. (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? 参考数据: xi =11 +13 +12 +8 =498;
2 2 2 2 2

xiyi11×25+13×29+12×26+8×16=1092.

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)利用公式求得回归直线方程的系数,可得回归直线方程; (2)根据条件代入 x=6 和 x=10 求得预报变量 y 值,验证误差是否小于 2,可得线性回归方 程是否理想. 解答: 解: (1) , ,





,a=24﹣11×

=﹣



于是得到 y 关于 x 的回归直线方程为 y= (2)当 x=10 时, 同样,当 x=6 时, , ,

x﹣ ; .



∴该小组所得线性回归方程是理想的. 点评: 本题考查了线性回归方程的求法及应用, 利用最小二乘法求回归直线方程的系数是 解题的关键,运算要细心. 19. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB⊥BC,D 为 AC 的中点,A1A=AB=2,BC=3. (1)求证:AB1∥平面 BC1D; (2)求四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1) 欲证 AB1∥平面 BC1D, 根据线面平行的判定定理可知只需证 AB1 与平面 BC1D 内一直线平行,连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD,根据中位线定理可知 OD∥AB1,OD?平面 BC1D,AB1?平面 BC1D,满足定理所需条件; (2)根据面面垂直的判定定理可知平面 ABC⊥平面 AA1C1C,作 BE⊥AC,垂足为 E,则 BE⊥平面 AA1C1C,然后求出棱长,最后根据四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积 求出四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积即可. 解答: 解: (1)证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD, ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 的中点, ∴OD 为△ AB1C 的中位线, ∴OD∥AB1. (3 分) ∵OD?平面 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D. (6 分) (2)∵AA1⊥平面 ABC,AA1?平面 AA1C1C,

∴平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC. 作 BE⊥AC,垂足为 E,则 BE⊥平面 AA1C1C, (8 分) ∵AB=BB1=2,BC=3, 在 Rt△ ABC 中, ∴四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积 = =3. , , (10 分) (12 分)

∴四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积为 3. (14 分)

点评: 本题主要考查了线面平行的判定定理, 以及棱锥的体积的度量, 同时考查了空间想 象能力,计算能力,以及转化与化归的思想,属于基础题. 20. (12 分)已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 l:mx﹣y+1﹣m=0,且直线 l 与圆 C 交于 A、 B 两点. (1)若|AB|= ,求直线 l 的倾斜角; (2)若点 P(1,1) ,满足 2 = ,求直线 l 的方程.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率,即可求直线 l 的倾 斜角; (2) 设点 A (x1, mx1﹣m+1) , 点B (x2, mx2﹣m+1 ) , 由题意 2 再把直线方程 y﹣1=m(x﹣1)代入圆 C,化简可得 x1+x2= = , 可得 2x1+x2=3. ①

②,由①②解得点 A 的

坐标,把点 A 的坐标代入圆 C 的方程求得 m 的值,从而求得直线 L 的方程. 解答: 解: (1)由于半径 r= ,|AB|= ,∴弦心距 d= ,

再由点到直线的距离公式可得 d= 解得 m=± . ,故直线的倾斜角等于

=



故直线的斜率等于±





(2)设点 A(x1,mx1﹣m+1) ,点 B(x2,mx2﹣m+1 ) , 由题意 2 = ,可得 2(1﹣x1,﹣mx1+m )=(x2﹣1,mx2﹣m ) ,

∴2﹣2x1=x2﹣1,即 2x1+x2=3. ① 2 2 2 2 2 2 再把直线方程 y﹣1=m (x﹣1)代入圆 C:x + (y﹣1) =5, 化简可得 (1+m ) x ﹣2m x+m ﹣5=0, 由根与系数的关系可得 x1+x2= ②.

由①②解得 x1=

,故点 A 的坐标为(
2



) .

把点 A 的坐标代入圆 C 的方程可得 m =1,故 m=±1, 故直线 L 的方程为 x﹣y=0,或 x+y﹣2=0. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,两个 向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的极大值; (Ⅱ)设定义在上的函数 g(x)=xf(x)+tf′(x)+e (t∈R)的最大值为 M,最小值为 N, 且 M>2N,求实数 t 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出函数 f(x)的导数,求得单调区间,由极值的定义,即可得到极大值; (Ⅱ)由 M>2N 即 2g(x)min<g(x)max,研究 g( x)在上单调性,用 t 表示出 g(x) 在上的最值,解相关的关于 t 的不等式求出范围. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)= 的导数为 f′(x)= ,
﹣x

当 x>0 时,f′(x)<0,f(x)在 (0,+∞)递减; 当 x<0 时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,0)递增. 即有 x=0 处,f(x)取得极大值,且为 f(0)=1; (Ⅱ)由 M>2N 即 2g(x)min<g(x)max, ∵g(x)=xf(x)+tf′(x)+e =
﹣x



∴g′(x)=



①当 t≥1 时,g′(x)≤0,g(x)在上单调递减, ∴2g(1)<g(0) ,即 2? <1,得 t>3﹣ >1.

②当 t≤0 时,g′(x)>0,g(x)在上单调递增. ∴2g(0)<g(1) ,即 2< ,得 t<3﹣2e<0,

③当 0<t<1 时, 在 x∈上单调递减 在 x∈(t,1],g′(x)>0,g(x)在上单调递增. ∴2g(t)<max{ g(0) ,g(1)}, 即 2? <max{ 1, }(*)

由(Ⅰ)知,f(t)=2? 故 2? ≥2? = ,

在上单调递减,

∴所以不等式(*)无解, 综上所述,存在 t∈(﹣∞,3﹣2e)∪(3﹣ ,+∞) ,使命题成立. 点评: 本题考查的知识点是导数的运用:求单调区间和极值、最值,运用函数的单调性研 究函数的最值,其中运用分类讨论是解答此类问题的关键,属于难题. 选修 4-1:平面几何选讲 22. (10 分)如图,C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,∠ACB 平分线 DC 交 AE 于点 F,交 AB 于 D 点. (Ⅰ)求∠ADF 的度数; (Ⅱ)若 AB=AC,求 AC:BC.

考点: 相似三角形的判定;相似三角形的性质;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 综合题. 分析: (I)根据 AC 为圆 O 的切线,结合弦切角定理,我们易得∠B=∠EAC,结合 DC 是∠ACB 的平分线,根据三角形外角等于不相邻两个内角的和,我们易得∠ADF=∠AFD, 进而结合直径 所对的圆周角为直角,求出∠ADF 的度数;

(II)若 AB=AC,结合(1)的结论,我们易得∠ACB=30°,根据 顶角为 120°的等腰三角形 三边之比为:1:1: ,易得答案. 解答: 解: (I)∵AC 为圆 O 的切线, ∴∠B=∠EAC 又知 DC 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD=∠DCB ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD 即∠ADF=∠AFD 又因为 BE 为圆 O 的直径, ∴∠DAE=90° ∴ (4 分)

(II)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB, ∴△ACE∽△ABC ∴ (6 分)

又∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=30°, (8 分) ∴在 RT△ ABE 中, (10 分) 点评: 本题考查的知识点是圆周角定理,三角形外角定理,弦切角定理,相似三角形的证 明及性质等,本题中未给出任何角的度数,故建立∠ADF 必为特殊角,从而根据图形分析 角∠ADF 的大小,进而寻出解答思路是解题的关键. 选修 4-4:极坐标与参数方程 23.已知圆的极坐标方程为: (1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值. 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;圆的参数方程. 专题: 计算题. 分析: (1)极坐标方程即 ρ ﹣4 4y+6=0. (2)圆的参数方程为 由于 ﹣1≤sin(α+ )≤1,可得 2≤x+y≤6. ,故 x+y=4+ (sinα+cosα)=4+2sin(α+ ) ,
2





+

) ,即 x +y ﹣4x﹣

2

2

解答: 解: (1) ( +
2 2

即 ρ ﹣4 ) ,即 x +y ﹣4x﹣4y+6=0. (2)圆的参数方程为

2

,∴x+y=4+

(sinα+cosα)=4+2sin(α+

) .

由于﹣1≤sin(α+

)≤1,∴2≤x+y≤6,故 x+y 的最大值为 6,最小值等于 2.

点评: 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 圆的参数方程, 得到圆的参数方 程为 解题的关键. 选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x ﹣5| (1)若关于 x 的不等式 f(x)≥k 有解,求 k 的最大值; 2 (2)求不等式:f(x)≥x ﹣8x+15 的解集. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)根据绝对值的意义求得﹣3≤f(x)≤3,可得 f(x)≥k 有解时,k 的最大值. 2 (2)分类讨论,去掉绝对值,求得 f(x)≥x ﹣8x+15 的解集. 解答: 解: (1)函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|表述数轴上的 x 对应点到 2 对应点的距离减去 它到 5 对应点的距离, 故﹣3≤f(x)≤3. 再根据不等式 f(x)≥k 有解,∴k≤3,即 k 的最大值为 3. 2 2 (2)由(1)可知,当 x≤2 时,f(x)≥x ﹣8x+15,即 x ﹣8x+18<0,它的解集为空集; 2 2 当 2<x<5 时,时,f(x)≥x ﹣8x+15,即 x ﹣10x+22≤0,它的解集为{x|5﹣ <x<5}; 2 2 当 x≥5 时,f(x)≥x ﹣8x+15,即 x ﹣8x+12≤0,它的解集为{x|2≤x≤6}. 综上,不等式的解集为:{x|5﹣ <x≤6}. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学 思想,属于基础题. ,是


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