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1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件


第一章

三角函数

1.5

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

问题提出

函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 与正弦函数 y=sinx的性质是密切相关的。 那么,两者的图像之间有何联系呢? 分析: 函数y=sinx可看作 y ? A sin( ?x ? ? )

? =1,? =0. 的特例,A=1, ? 、A是影响函数图象形态的重要 ?、 参数,我们该如何进行探究?
分别探究 具体例子

1.φ的影响:

? y=sin(x+ 3

)1

y

y=sinx

y=sin(x - 4 ) 2? x

?

?O ? 3?1
图像

? 4

?

y ? sin x

所有的点向左(? >0)或向右(? <0) 平行移动|? |个单位长度

图像

y ? sin( x ? ? )

简记:左加右减

2.ω的影响 ω>0
O ?1 y 1

y=sinx → y=sin?x
2? 3?

?

4?
x
1 y=sin 2

规律:

y=sin2x y=sinx

x 图像

y ? sin x

图像

所有点的横坐标缩短(?>1)或伸长(0<?<1) 到原来的

1

y ? sin ? x

?

倍(纵坐标不变)

3.A的影响 A>0 规律:
2 1 O ?1 ?2

y=sinx →y=Asinx
y=2sinx y=sinx 2?

? y= sinx
1 2

x

y ? sin x

图像

所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变)

y ? A sin x

图像

y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最大值 为 A,最小值为-A。

第一章

三角函数

做一做

1.函数 y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的值域是________.
【答案】[-|A|,|A|]

π 2.将 y=sin 2x 的图象向左平移3个单位, 得到的曲线对应的解析式为
? 2π? 【答案】y=sin?2x+ 3 ? ? ?



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第一章

三角函数

?? 1 ? 3. 把 y= sin ? x ? ? 图象上所有点的横坐标变为原来的 3 3? ?
(纵坐标不变)得到的图象对应的函数解析式为________.

答案:

?? ? y ? sin ? 3x ? ? 3? ?

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第一章

三角函数

【失误防范】

图象的左右平移,横向伸缩,变化的都是

x 的值,特别注意横向伸缩变换,切不可颠倒.比如横坐 1 标缩短到原来的 ,原来的 x 应变为 2x.反之,伸长到原来 2 1 的 2 倍,原来的 x 应变为 x. 2

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第一章

三角函数

2.振幅、周期、频率、相位、初相 当函数 y= Asin(ωx+ φ)(其中 A>0, ω>0,x∈[0,+∞ )) 表示一个振动量时,A 就表示这个量振动时离于平衡位置

振幅 ;往复振 的最大距离,通常把它叫做这个振动的 _______
2π 周期 ;单 动一次所需要的时间 T= ,它叫做振动的 ________ ω 1 ω 位时 间内往复 振动的次数 f= = ,它叫 做振动的 T 2π

频率 ;ωx+ φ 叫做_________ 相位 , φ 叫做 _______ 初相 ________
(即当 x= 0 时的相位 ).

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第一章

三角函数

做一做
x π 3.函数 y=2sin( + )的周期、振幅依次是 ________、 3 4 ________.

答案:6π

2

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三角函数

名称

本质

1.φ的变化:
2.ω的变化 3.A的变化:

相位变换
周期变换 振幅变换

左右平移
横向伸缩 纵向伸缩

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三角函数

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 例1 作出函数 y=3sin(2x+π),x∈R 的简图,说明它 3
与 y=sin x 图象之间的关系.

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第一章

三角函数

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第一章

三角函数

列表:
x π 2x+ 3 π 3sin(2x+ ) 3 π - 6 0 0 π 12 π 2 3 π 3 π 0 7π 12 3π 2 -3 5π 6 2π 0

描点连线,如图:

对比: x∈R 和一个周期长度的图像区别
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第一章

三角函数

利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到 y π = 3sin(2x+ ),x∈ R 的简图. 3 π 从图可以看出, y= 3sin(2x+ )的图象是用下面方法得到的. 3

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第一章

三角函数

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函数y=Asin(ωx+? )与y=sinx图象的关系 思路1 流程图1:

y ? sin x

相位变换

y ? sin( x ? ? ) y ? sin(? x ? ? ) y ? A sin(? x ? ? )

周期变换

振幅变换

思路2 流程图2:

y ? sin x

周期变换

y ? sin(? x) y ? sin(? x ? ? ) y ? A sin(? x ? ? )

相位变换

振幅变换

φ 先伸缩后平移变换的平移量为|ω|个单位, 先平移后伸缩变换的平移量为|φ|个单位, 两者的平移量不一样,应特别注意.

知识点 2 已知函数的图象求函数的解析式、振幅、初相 ? π? ? 【例 2】 函数 y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 2 ?的图象如 ? ? 下图所示,求函数的表达式.并指出它的振幅和初相.

思路点拨:由图象分别求出 A,ω,φ 的值,由最值求 A, 由周期求 ω,由某点的坐标求 φ.

解: 2π 由图象可知 A=1,函数的周期为 T=2[3-(-1)]=8= , ω π ∴ ω= . 4 ?π ? ? 于是 y=sin?4x+φ? ?,又(1,0)为“五点法”作图的第一个点, ? ? π π ∴ ×1+φ=0,得 φ=- . 4 4 ?π π? ? 故所求函数的表达式为 y=sin?4x-4? ?.它的振幅是 1, ? ? π 初相为- . 4

练习 下图是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π ) 的图象,请写出它的解析式.

T 5π 3π 错解:由图可知,A=3, = -π= , 2 2 2 ?2 ? 2π 2 ? 所以 T=3π= ω ,得到 ω= . 于是 y=3sin?3x+φ? ?. 3 ? ? ?2 ? ? 因为点(π,0)在曲线上,所以 3sin?3π+φ? ?=0, ? ? 2 2 得到 π+φ=kπ(k∈Z),即 φ=kπ- π(k∈Z). 3 3 π 2π 由于|φ|<π,所以 φ= 或 φ=- . 3 3 ?2 ?2 π? 2π? ? ? ? 故 y=3sin?3x+ 3?或 y=3sin?3x- 3 ? ?. ? ? ? ? 错因分析:由于没有注意点(π,0)是“五点法”的第几点, 只注意|φ|<π,得出了两个 φ 值的错误.

T 5π 3π 正解:由图可知,A=3, = -π= , 2 2 2 2π 2 所以 T=3π= ω ,得到 ω= . 3 ?2 ? ? 于是 y=3sin?3x+φ? ?.因为点(π,0)是“五点法”的第三点, ? ? ?2 π? 2 π ? 所以 π+φ=π,得到 φ= ,故 y=3sin?3x+ 3? ?. 3 3 ? ? 纠错心得:在由图象求解析式时,一定要抓住题中所给的点 是“五点法”的第几点,这样,不仅可以避免解题时出错,而且 会使解题简便快捷.一般选取最高点或最低点。

变式: 例 3.函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的图象的 一部分如图所示,试写出函数的解析式.

解: ? ?A+k=5,

? ?A=2, ? 解得? ? ? ?-A+k=1, ?k=3. ? T π ? ? π? π 再由 = -?-8?= 得周期 T=π,即 4 8 ? ? 4

ω=2,

于是 y=2sin(2x+φ)+3, ?π ? ? 又将点?8,1? ?代入 y=2sin(2x+φ)+3 得, ? ? ? ? ? ? π π ? ? ? 1=2sin?2×8+φ?+3,即 sin?2×8+φ? ?=-1, ? ? ? ? π π 3π 得到 2× +φ=- ,即 φ=- . 8 2 4 ? 3π? ? 故所求解析式为 y=2sin?2x- 4 ? ?+3. ? ?

如果函数的最大值与最小值不互为相反数,说明解析式为 y =Asin(ωx+φ)+ k(A>0)的形式.设最大值为 m,最小值为 n, m-n m+ n 则 A+k=m,-A+k=n,从而 A= ,k= . 2 2

题型三
例4

函数y=Asin(ωx+φ)的性质

第一章

三角函数

1 π 5 已知函数 f(x)= sin(2x+ )+ . 2 6 4

(1)求 f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间; (2)求 f(x)的图象的对称轴方程和对称中心;

解:略

(3)求 f(x)的最小值及取得最小值时的 x 的取值集合.

【名师点评】
由图像,我们可以更好理解函数y=Asin(ωx+φ)性质的求法

(1) 范围:函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体
现和考查. (2)解决的方法:有关函数 y=Asin(ωx+φ)的性质的问题,充分利用三

角函数的基本性质,要特别注意整体代换的思想的运用.
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第一章

三角函数

跟踪训练
1 π 1.已知函数 y= 3sin( x- ). 2 4 (1)用“五点法”画函数的图象; (2)说出此图象是由 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到的; (3)求此函数的周期、振幅、初相.

解:(1)列表:
1 π x- 2 4 x y 0 π 2 0 π 2 3π 2 3 π 5π 2 0 3π 2 7π 2 -3 2π 9π 2 0

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第一章

三角函数

π 3π 5π 7π 描点:在直角坐标系中描出点( ,0),( ,3),( ,0),( , 2 2 2 2 9π - 3), ( ,0). 2 连线:将所得五点用光滑的曲线连接起来,得到所求函数的 图象,如图所示. 1 π 这样就得到了函数 y= 3sin( x- )在一个周期内的图象,再 2 4 将这部分图象向左或向右平移 4kπ(k∈ Z)个单位长度,得函 1 π 数 y=3sin( x- )的图象. 2 4

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第一章

三角函数

(2)(相位变换在周期变换的前面) π ①把 y= sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,得 4 π π 到 y= sin(x- )的图象; ②把 y= sin(x- )图象上所有点的横 4 4 1 π 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 ),得到 y= sin( x- )的 2 4 1 π 图象; ③将 y= sin( x- )的图象上所有点的纵坐标伸长到原 2 4 1 π 来的 3 倍 (横坐标不变 ),就得到 y= 3sin( x- )的图象. (3) 2 4 2π 2π π 周期 T= = = 4π,振幅 A= 3,初相是- . 4 ω 1 2
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小结作业

1.对函数y ? sin( x ? ? )的图象作周期变换, 它只改变x的系数,不改变φ的值. 2.函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象可以由函 数 y ? sin x 的图象通过周期、相位、振 幅变换而得到,但有两种变换次序,不 同的变换次序会影响平移单位. 3.通过平移,将函数 y ? A sin ?x 的图象 变换为 y ? A sin( ?x ? ? )的图象,其平移 ? 单位是 ? .

4.余弦函数y = cos( wx + j )的图象变换与 正弦函数类似,可参照上述原理进行.
y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的图象 5.若已知函数 及有关数字特征,则可以求出函数的 解析式.
最大值 ? 最小值 A? 2

最大值 ? 最小值 b? 2

T ?? 2?

? : 把最高点(或最低点)坐标代入函数,解出? .


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