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函数与方程教师版


建三江一中导学案
授课教师 审 核 人 课 题 宫相华 主 备 人 备课时间

(高三数学) 编号:

(1)函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,是数不是点. (2)若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即 f(a)· f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图,

曲双双 2014 年 8 月 15 日 §3.3 函数与方程

校 对 人 授课时间

【考纲要求】 ①结合二次函数的图像,了解函的零点与方程根的关系,判断一元二次方程根的存 在性及根的个数。 ②根据其体函数的图像,能够用二分法求相性方程的近似解 【知识清单】 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y =f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε;②求区间(a,b)的中点 c;③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε.即:若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④ 3.一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看.同号去,异号算,零点 落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断. 两个防范 答案 C f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分 条件,但并不必要. 三种方法 函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还 必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的 值,就有几个不同的零点.

【题型Ⅰ】估计零点大致所在区间

1.函数 f(x)=log3x+x-3 的零点一定在区间( A.(0,1) 解析 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

).

法一

函数 f(x)=log3x+x-3 的定义域为(0,+∞),并且在(0,+∞)上递增连续,又 f(2)

=log32-1<0,f(3)=1>0,∴函数 f(x)=log3x+x-3 有唯一的零点且零点在区间(2,3)内. 的零点且零点在区间(2,3)内. 法二 方程 log3x+x-3=0 可化为 log3x=3-x, 在同一坐标系中作出 y=log3x 和 y=3-x 的图象如

图所示,可观察判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内.

2.若 a<b<c, 则函数 f(x)=(x-a)· (x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)· (x-a)的两个零点分别位
1

于区间(

) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内

解析:由题意 a<b<c,可得 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c) =(c-a)(c-b)>0.显然 f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有 零点,故选 A 项. 答案:A
3.“m<1”是“函数

答案:B f(x)=x +2x+m 有零点”的(
2

)
2.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

).

解析:要函数 f(x)=x2+2x+m 有零点,则 Δ=4-4m≥0,即 m≤1,故“m<1”是 “函数 f(x)=x2+2x+m 有零点”的充分而不必要条件. 答案:A 4.函数 f ( x) ? 2 x ? x ? 2 的零点大致在下列哪个区间内
A. ( ?1,0) B. (0,1) C. (1,2) ( D. (2,3) ) A.①② 答案 B B.①③ C.①④ D.③④

3.已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析 答案 函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上递增.由已知条件 f(0)f(1)<0,即 a(a+2)<0,解得-2<a<0. (-2,0) ).

答案:
【题型Ⅱ】判断函数零点的个数 1.f(x)=2sinπx-x+1

的零点个数为(

)

2 ?x +2x-3,x≤0 4.函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+ln x,x>0

A.4 个 C.6 个

B.5 个 D.7 个

A.3 B.2 C.7

D.0

[审题视点] 函数零点的个数?f(x)=0 解的个数?函数图象与 x 轴交点的个数. 解析 法一 由 f(x)=0 得

解析:作出函数 y=2sinπx 与 y=x-1 的图像,如图所示.由图像可知,两个函 数的图像有 5 个交点,即 f(x)=2sinπx-x+1 有 5 个零点,故选 B.

?x≤0, ?x>0, ? 2 或? 解得 x=-3,或 x=e2. ?x +2x-3=0 ?-2+ln x=0, 因此函数 f(x)共有两个零点. 法二 函数 f(x)的图象如图所示

2

?Δ> 0, (1)由已知条件?x1+x2=2a>0, ?x1· x2=a+2>0,

解得 a>2.

可观察函数 f(x)共有两个零点. 答案 B

?1<a<3, (2)由已知条件? f?1?>0, ?f?3?>0,
Δ>0,

11 解得 2<a< . 5

(3)由已知条件 f(2)<0,解得 a>2. 11 (4)由已知条件 f(1)f(3)<0 解得 <a<3. 5 11 7 检验:当 f(3)=0,a= 时,方程的两解为 x= ,x=3, 5 5 当 f(1)=0,即 a=3 时,方程的两解为 x=1,x=5, ?Δ=0, 11 可知 ≤a<3.当? ?a=2. 5 ?1<a<3 即 a=2 时 f(x)=x2-4x+4=(x-2)2 方程的解 x1=x2=2
2

5.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数为_________; 答案 1个

6.方程 2? x ? x 2 ? 3 的实数解的个数为________; 答案 2个

【题型Ⅲ】函数零点的应用

1.若函数 f ( x) ? ax ? b 有一个零点是 2,则函数 g ( x) ? bx2 ? ax 零点是___________________; 答案
1 ? 或0 2
2

2.若不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 ?x ?1 ? x ? 3?,则函数 y ? x ? bx ? c 的零点为_______________; 答案 -3 或 1
2

11 ∴a=2,综上有 a=2 或 ≤a<3. 5 【走进高考】

3.若函数 f ( x) ? 2ax ? x ?1 在 ?0,1? 内恰有一个零点,则 a 的取值范围是
A.

( D.



1.(2014)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( ? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? 解析 1? ? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

).

?? 1,1?

B.

?1,?? ?

C.

?1,???

?2,???

答案 C 4.关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时 (1)有两不同正根; (2)不同两根在(1,3)之间; (3)有一根大于 2,另一根小于 2; (4)在(1,3)内有且只有一解 解 设 f(x)=x2-2ax+a+2,

1 1 1 1 ?1? 1 ?1? 1 因为 f?4?=e4+4×4-3=e4-2<0,f?2?=e2+4×2-3=e2-1>0,所以 f(x)=ex+4x-3 的 ? ? ? ?

?1 1? 零点所在的区间为?4,2?. ? ? 答案 C

Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1).

2.(2013)已知函数 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? x ? ln x, h( x) ? x ?1 ? x , 的零点分别是 x1 , x2 , x3 ,则
x1 , x2 , x3 的大小关系是______________;

3

答案

x3 ? x2 ? x1

3.(2014)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = x2 ? 3x . 则函数 g ( x) ? f ( x) ? x + 3 的零点的集合为( A. {1, 3} C. {2 ? 7 ,1, 3}

1 1 解析:由于 f(-1)=2-1=-2<0,f(0)=1>0, 故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0).因为 g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2;

).
B. { ? 3, ?1,1, 3} D. { ? 2 ? 7 , 1, 3}

?1? ?1 ? 1 1 h?2?=-1+2=-2<0,h(1)=1>0,故 h(x)的零点 c∈?2,1?,因此 a<c<b. ? ? ? ?

答案 D 4.(2013)如果二次函数 y ? x 2 ? mx? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( )

答案:a<c<b
3.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(-x+2)=f(-x),当 x∈[-1,1]时, f(x)=|x|,则 y=f(x)

? ? ?2,6?
答案 D

B. ?? 2,6?

C. ?? 2,6?

D. ?? ?,?2? ? ?6,???

与 y=log7x 的交点的个数为__________. 解析:因为 f(-x+2)=f(-x),所以 y=f(x)为周 期函数,其周期为 2.在同一直角坐标系中,画出函数 y=f(x)和 y=log7x 的图像如

【2015 这样考】 1.设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则 y=f(x)( ?1 ? A.在区间?e ,1?,(1,e)内均有零点 ? ? ?1 ? B.在区间? e,1?,(1,e)内均无零点 ? ? ?1 ? C.在区间? e,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点 ? ? ?1 ? D.在区间?e ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ? ?

1 3

)

图,

当 x=7 时,f(7)=1,log77=1,故 y=f(x)与 y=log7x 共有 6 个交点. 答案:6

1 1 x-3 解析: 由题得 f′(x)=3-x= 3x (x>0), 令 f′(x)>0 得 x>3; 令 f′(x)<0 得 0<x<3; 令 f′(x)=0 得 x=3,故函数 f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数, 在 x=3 处有极小值 1-ln3<0.
?1? 1 1 e 又 f(1)=3>0,f(e)=3-1<0,f? e?=3e+1>0,故选 D 项. ? ?

答案:D
2.已知三个函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则 a,
x

b,c 的大小关系是__________.
4

5


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