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大学生物理竞赛电磁学(一)


? ? F 一、电场强度的计算(矢量叠加) E ? q0 ?

电学部分复习

? ? F ? q0 E

1. 点电荷的电场 2. 场强叠加原理

q ? E? e 2 r 4? ?0 r
? ? E ? ? Ei ? ? E ? ? dE
Q

(1)点电

荷系 (2)连续带电体

(3)己知各带电体的场强 , 直接场强矢量叠加 ? ? ? q内 ?e ? ? E ? d S ? 3. 高斯定理 ?0 S 4. 电势梯度

? E ? ???

二、电势的计算(标量叠加)
1. 点电荷电势:

??

q 4?? 0 r qi

2. 电势叠加原理标量叠加): ( (1) 点电荷系: ? ? ? i ? ? ?
i i

4?? 0 ri

4?? 0 r (p ) ? ? 3. 场 强 积 分 法 :? p ? ? E ? d r ( p0为 电 势 零 点)
q
0

(2) 连续带电体: ? ? ?

dq

( p)

电场力的功

? ? A12 ? ? qE ? dr ? q?? 1 ? ? 2 ? ? W1 ? W2
p2 p1

几种特殊带电体的电场
均匀带电球面 ? r ? R, E ? 0 ? Q ? r ? R, E ? er 2 4?? 0 r

无限大均匀 带电平面 σ E1 ? 2ε 0

无限长均匀 带电直线 λ E? 2πε0 r

特殊带电体的电势
均匀带电球面电势 r ? R, r ? R,

? ? ? ?

q 4?? 0 R q 4?? 0 r

三、有导体存在时静电场的分析与计算 分析问题的依据: 2.电荷守恒 3.高斯定理 ? ? ? ? E内 ? 0 E表 ? n ?0 ? ? ? 四、静电场中的电介质 E ? E0 ? E ? ? ? ? ? ' P ? ?(? r ? 1)E 各项同性 ? ? P cos? ? P ? en 0 1.静电平衡条件

?
S

? ? 1 E ? dS ? (q0 ? q?)

?0

? ? ? D ? dS ? ? q0内
S

? ? ? D ? ? 0? r E ? ?E

五、电容器及电场能量
Q C? V
1 1 1 串联: ? ? C C1 C 2 并联:C ? C1 ? C 2

1 1 Q2 电容器的能量 W ? QV ? CV 2 ? 2 2 2C
1 1 ? ? 2 电场的能量密度 we ? ?E ? E ? D 2 2

1 静电场的能量 We ? ? w e dV ? ? ? E 2dV 2 V V

例:在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分 布,面电荷密度为?。A点的坐标为(0, R/2),B点的坐标 为(3R/2, 0),则电势差?UAB为 ———— 。
由对称性

?

R

1 ?R 1 Q ? ? A ? ? A整 ? 2? 0 2 4??0 R 2
y Q为整个带电球面的电荷 1 Q ?R ?B ? ? 3R 2 3? 0 4? ?0
2

o A B x

C

或从场强积分的角度考虑

?U AB

?R ? ? A ??B ? 6? 0
3 R 2

U AB ? U AC

? 1 1 C? 1 ? U AC 整 ? ?A E整 ?dr ? 2 2 2

?

R

?R dr ? 2 6? 0 4?? 0 r
Q

例:三等长绝缘棒连成正三角形,每根棒上均匀分布等 量同号电荷,测得图中P,Q两点(均为相应正三角形的 重心)的电势分别为?P 和 ? Q 。若撤去BC棒,则P,Q 两点的电势为?? P =——, ?'Q =——。
A

Q
P B 撤去BC棒 C

解:设AB, BC, CA三棒对 P点的 电势及AC对Q点的电势皆为? 1
AB, BC棒对Q点的电势皆为? 2

? p ? 3? 1
1 ?1 ? ? P 3

? Q ? 2? 2 ? ?1

2 ? ? ? ? P ? ?1 ? ? P P 3

1 1 ? 2 ? ?Q ? ? P 2 6 1 1 ? ?Q ? ?Q ? ? 2 ? ?Q ? ? P 2 6

例:半径分别为R1与R2的两同心均匀带电半球面相 对放置(如图),两半球面上的电荷密度?1与?2满 足关系 ?1 R1 = - ?2 R2 1)试证明小球面所对的圆截面S为一等势面 。 2)求等势面S上的电势值。
R2
R1 E右 E左

o

1)均匀带电球面内场强为零 ? ? E左 ? E右 ? 0, 与 实 际矛 盾 因此场强必定都垂直于截面
在 S上 : ? U ?

s

2)S上的电势 ? = ? 0

?

? ? E ? dl ? 0

S为等势面

2 2 2?R2 ? 2 2?R1 ? 1 1 1 1 ? o ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ( R2? 2 ? R1 ? 1 ) ? 0 2 2 4??0 R2 4??0 R1 2? 0

例:厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度为 ?(>0)的自由电荷,在板外两侧分别充有介电常数为 ?1与?2的均匀电介质,如图,求:1)板内外的电场强度 。 2)A, B两点的电势差。
M A

?1
l

?
b d1 d2
N

?2
l
B

解:设 E=0 的平面 MN 距左侧 面为 d1 , 距右侧面为 d2 . 据对称性, E垂直MN指向两侧 1) 求 D,

x

E

板 内 : 内S ? ?Sx D内 ? ?x D

板内:E内 ?

D内

?0

?x ? ?0

板 外 :D2 S ? ?Sd2 D1 S ? ?Sd1

D2 ? ?d 2 D1 ? ?d1

?d 1 板 外 : E1 ? ? 方向向左 ?1 ?1 D2 ?d 2 E2 ? ? 方向向右 ?2 ?2
D1

A

?1
l

?
b

?2
l
B

d1 d2.

E1 , E2均由相同自由电荷和束 缚电荷产生 d1 d 2 E1 ? E2 ? d1 ? d 2 ? b ?1 ? 2

? 1b d1 ? ?1 ? ? 2

? 2b d2 ? ?1 ? ? 2
?b E2 ? ?1 ? ? 2

?b 板外:E1 ? ?1 ? ? 2

2)U AB
? ? E1 l ?

? ? ? E AB ? AB

A
? ? E内dx ? E 2 l

?1
l

?
o
d1 d2

?2
l
B

?

0

? d1

? ? E内 ? dx ?

d2

?
0

x

? ? E1 l ? ?

0

? d1

E内dx ? ? E内dx ? E 2 l
0

d2

? ? E1l ? ?

d2

? d1

E内dx ? E2 l
?? 2 ? ?1 ? ? ? ?? 2 ? ?1 ?

?x E内 ? ? ?0 ?0
D内

2 2 ? d 2 ? d 1 ? ?b 2 ? ?? ?? ? 2? 0 ? 2? 0 ? ?

?b E1 ? ?1 ? ? 2 ?b E2 ? ?1 ? ? 2

例:无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 ?0 , 现在导体板两侧分别充以介电常数 ?1 与 ?2 ( ?1? ?2)的 均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。 充介质后导体两侧电荷重新分布, 设自由电荷面密度分别为?0 1 和?0 2

?1

?2

由高斯定理: D1 ? ? 01 , D2 ? ? 02

2? 0 E1 ? E2 ? ?1 ? ? 2

? 01 E1 ? ? ?1 ?1
D1

E2 ?

D2

?2

? 02 ? ?2

对 于 板 外 电 场 , 将 自电 荷 与 束 缚 电 荷 一 并虑 由 考 E1 ? E2

? 01 ? 02 ? ?1 ?2

? 01 ? ? 02 ? 2? 0

例:在两平行无限大平面内是电荷体密度? > 0的均匀 带电空间,如图示有一质量为m,电量为q( < 0 )的点 电荷在带电板的边缘自由释放,在只考虑电场力不考 虑其它阻力的情况下,该点电荷运动到中心对称面 oo?的时间是多少? ? 1 o x 解:E ? 2S ? ? ? 2x ? S E ? ?0 ?>0 ?0 q? d q受的电场力 F ? qE ? x ( q ? 0)
q< 0

x o?
k?? q?

此式与弹簧振子受力规 律相同 ? ?kx F

?0

q以oo?为中心,在两平面内做简谐振动

?0

??

k ? m

? q? ? 0m

T?

2?

?

T t? 4

例:一直流电源与一大平行板电容器相连,其中相对 介电常数为 ?r 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二 分之一,两极板都处于水平位置,假设此时图中带电 小球 P 恰好能处于静止状态,现将电容器中的固态介 质块抽出,稳定后试求带电小球 P 在竖直方向上运动 的加速度 a 的方向和大小。 解:P处于平衡状态,则其定带负电 由于电容器始终与电源相连,U一定
P

U ? E ? F ? a E1 εr ? 1 有介质: ? E1d ? U d? E1 d εr εr ?r U E1 ? ?r ? 1 d

无介质: ? E2 2d U
?r ? 1 U ? E1 E2 ? 2? r 2d
P

εr ? 1 U? E1d εr
? E1

初始时 平衡: 1q ? mg P E
抽掉介质后,受合力向下: P

F ? mg ? E2q ? mg ?

?r ? 1 ? mg 2? r
F ? ma ?

?r ? 1 E1q 2? r

?r ? 1 a? g 2? r

方向向下

例:板间距为 2d 的大平行板电容器水平放置,电容器的右 半部分充满相对介电常数为 ?r 的固态电介质,左半部分空 间的正中位置有一带电小球 P,电容器充电后 P 恰好处于 平衡位置,拆去充电电源,将电介质快速抽出,略去静电 平衡经历的时间,不计带电小球 P 对电容器极板电荷分布 的影响,则 P 将经过多长时间与电容器的一个极板相碰。 拆去电源后,再将介质抽出,过程中总Q不变,但分布变 设:小球 m, q, 极板 S, Q, 场强E0 、E

? 0 S 2 ? 0? r S 2 Q Q C0 ? ? ? ? U 2dE0 2d 2d 1??r ? 0S Q 两式相比 ? E E0 C? ? 2 2dE 2d

.P

场强变化,P受力变化,关键求E

mg 初始 qE0 ? mg ? E0 ? q 1??r 1 ? ? r mg E? E0 ? 2 2 q

.

P

?? r ? 1?g F a? ? m 2
1 2 d ? at 2 t?

抽出后小球受力 ?? r ? 1?mg 1??r mg ? mg ? F ? qE ? mg ? 2 2

2d ? a

4d ?? r ? 1?g

例:一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质 A和B,它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为 ?A, ?A, dA, ?B, ?B, dB ; 且 dA+dB = d, d 为平板电容器的两 块极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V 的电源 上(与介质A接触的极板接电源正极),设极板面积为S, 忽略边缘效应,试求稳定时 (1)电容器所损耗的功率 P; (2)电介质A和B中的电场能量WA和WB; (3)电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度?自和束 缚电荷面密度?束。 V2 + 解: 电容器损耗的功率 ? P R A dA dB ? = 1/? R? ? B ? AS ? B S _

(2)电介质A和B中的电场能量WA 和 WB
稳定后电介质A和B中的电流密度相等

1 We ? ?E 2V 2

J ?? E

? A E A ? ? B EB
? BV 解得: E A ? ? B d A ? ? Ad B

E Ad A ? EB d B ? V

? AV EB ? ? B d A ? ? Ad B

2 ? 0? A? BV 2 Sd A 1 2 W A ? ? 0? A E A Sd A ? 2 2(? B d A ? ? Ad B ) 2
2 ? 0? B? AV 2 Sd B 1 2 W B ? ? 0? B E B Sd B ? 2 2 2( ? B d A ? ? Ad B )

(3)电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度?自和 ? ? 1 ? ? 束缚电荷面密度?束 ? D ? dS ? q自 ? E ? ds ? ?(q自 ? q束) 0 S + ? D 下 A 由 对 称 性 , 垂 直 于 上 下 表 面 指 向, DB S ? D A S ? ?自S B _ ? ? E ?? ? E ??

?

0 B

B

0 A

A



?(? A? B ? ? B? A )V 代 入E A, E B得 :?自 ? 0 ? B d A ? ? Ad B

?(EB S ? E A S ) ? (?自 ? ? 束)S 0

?(EB ? E A ) ? ?自 ? ? 束 0

?束

? 0V ?? B (? A ? 1) ? ? A (? B ? 1)? ? ? B d A ? ? Ad B

例:球形电容器的两个极为两个同心金属球壳,极间充 满均匀各向同性的线性介质,其相对介电常量为?r .当电 极带电后,其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐减少。 设介质的电阻率为?,t = 0 时,内外电极上电量分别为 ±Q0 , 求电极上电量随时间减少的规律 Q(t) 以及两极间 与球心相距为 r 的任一点处的传导电流密度 j (r,t ). dQ U Q 解: I ? ? ? ? dt RC R r2 r1 球形电容器的电容:? 4? ?0? r C r2 ? r1 因电流沿径向流动,总电阻可看成无 dr 数多薄球壳的串联

dQ Q ?? dt ? 0? r ?

R?

?

r2

r1

? r2 ? r1 ? 2 4? r1r2 4?r

?dr

dQ Q ?? dt ? 0? r ?

Q ? Q0 e
? j? I

?

1

? 0? r ?

t

dQ ? ? r?? r 4?r 2 4?r 2 dt

1

? j ?

1 4? ?0? r ?r

? 0? r ? ? Q0 e r 2

?

1

t

电 荷系的静电能
一、 点电荷系的相互作用能(电势能) 相互作用能W互:把各点电荷由现在位置分散至 相距无穷远的过程中电场力作的功。 两个点电荷:

W互 ? ?

?

( 2)

? ? ? ? ? q2 E1 ? dl ? q2 ? E1 ? dl ? q2 ? U 21
( 2)

U 21为q1的电场在q2 所在处的电势
同理:

W互 ? q1 ? U 12

1 写成对称形式: W互 ? (q1U 12 ? q2U 21) 2

三个点电荷:

W互 ? q2 (U 21 ? U 23 ) ? q3U 31

? q2U 21 ? q2U 23 ? q3U 31
1 1 1 ? (q2U 21 ? q1U 12 ) ? (q2U 23 ? q3U 32 ) ? (q3U 31 ? q1U13 ) 2 2 2
1 1 1 ? q1 (U12 ? U13 ) ? q2 (U 21 ? U 23 ) ? q3 (U 31 ? U13 ) 2 2 2 1 ? ( q1U 1 ? q2U 2 ? q3U 3 ) 2
推广至一般点电荷系: W互

1 ? ? qi U i 2 i

Ui :除 qi 外,其余点电荷在qi 所在处的电势。

二、 连续带电体的静电能(自能)
静电能W:把电荷无限分割并分散到相距无穷 远时,电场力作的功。 只有一个带电体
1 W ? W自 ? ? Udq 2q

多个带电体 总静电能

W ? ? W自i ? ? W互ij
i i? j

例:在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷, 它们的电量相间地为Q 或 – Q. 1)试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2)若用外力将其中相邻的两个点电荷一起(即始终 保持它们的间距不变)缓慢地移动到无穷远处, 其余固定的点电荷位置不变,试求外力作功量A. 1 1)Q,- Q 所在处的电势 W互 ? ? qi U i -Q Q 2 i a
-Q Q -Q Q

U? ? 2

?Q

4? ?o a
Q

?2

Q

4? ?o
?Q

?Q ? 3a 4? ?o 2a
? Q 4? ?o 2a

U? ? 2

4? ?o a

?2

4? ?o 3a

? ?U ?

1 3Q 2 2 5 W ? ?3QU ? ? 3?? Q ?U ? ? ? 3QU ? ? ( ? ) 2 4?? 0 a 3 2

2) 外力作功量A.

Q
-Q Q

-Q

a
Q -Q

A ? ?W ? W末 ? W初
余下四个点电荷系统的电势能
? ? QQ ?? Q ??? Q ? ? ? QQ ? W1 ? ? ? ? 4? ?0 2a ? 4? ?0 3 a ? 4? ?0 a ? ? ? Q ?? Q ? ?Q ??Q ? ? ? ? QQ ?? ? ? 4? ?0 3 a ? 4? ?0 a ? 4? ?0 a ? ?

?
Q2 4?? 0 a (3 ? 4 3

A ? ?W1 ? W2 ? ? W ? )

? 2 7? ? ? ? ? 4? ?o a ? 3 2 ? ? ? Q2

无穷远处一对电荷间的电势能

Q2 W2 ? ? 4? ?0 a

解: R3球面(均匀带电Q的球面)电势 Q U R3 ? 4?? 0 R3

R2球面电势与R3球面电势相同 U R ? U R ?
2 3

Q 4?? 0 R3

R1球面电势
系统电势能

Q ? 1 1 1 ? U R1 ? ? dr ? U R2 ? ? ? ? ? R1 4?? r 2 4?? 0 ? R1 R2 R3 ? 0 1 Q2 ? 1 1 1 ? We ? ?QU R3 ? (?Q )U R2 ? QU R1 ? ? ? ? 8?? ? R ? R ? R ? 2 0 ? 1 2 3 ?
.

R2

Q

稳恒磁场复习
? ? ?0 Idl ? er ? ? ? 1. 毕一萨定律 dB ? B ? ? dB 2 4? r ? ? ?0 qV ? er ? [q有正,负] B? 2. 运动电荷的磁场 2 4? r

3. 稳恒电流的安培环路定理 ? ? ? B ? d l ? ? 0 ? I内
L

有磁介质

? ? 0 ? B ? dl ? ?(I 传 ? I ?)
L

? ? ? H ? d l ? ? I内
L

H?

B

?0 ?r

?

B

?

几种典型电流的 B
?0 I 1)“无限长”载流直导线 B ? 2? r

2) “无限长”载流薄圆筒 B内 = 0

?0 I B外 ? 2? r

3) “无限长”载流密绕直螺线管,细螺绕环 B内 = ?0 n I , B外= 0 4) 圆环电流的圆心上 .

B中心 ?

?0 I
2R
B?

5)无限大载流平面,面电流的线密度 i

?0
2

i

磁 力
1. 洛仑兹力----运动电荷在磁场中受力 ? ? ? Fm ? qV ? B
2? m T? qB

mv ? R? qB

2. 安培力----电流元在磁场中受力

? ? ? dF ? Idl ? B

? ? F ? ? dF

3. 载流线圈在均匀磁场中受磁力矩

? ? ? M ? Pm ? B

? ? Pm ? ISn

例:半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流过电流 I, 求半圆柱轴线(原圆柱体中心轴线)处的磁感应强度B.
y dB x

解: 电流密度 ? j

I 1 ?R 2 2

?

2I

?R 2

dθ θ

I ⊙

1) 选取电流元 r ? r + dr, d?

dI ? jrd? dr
?0 I ? 0 dI ? 2 2 d rd ? dB ? ? R 2?r
2) 另选电流元如图
dB x ? dBcos? dB y ? dBsin?

3)求投影合 B x ? 0 ( 由对称性) B y ? ? dB y
?
R

?
0

2? 0 I ?0 I ? ? 2 R 2 sin?drd? ? ? 2 R 0
?

例:一半径为 a 的导体球,以恒定速率 v 运动,球面 上均匀分布着电荷 Q , 设 v << c(真空光速), 求: 导体内外的磁场分布。
Q dq

? P ? ? ?0dqv ? er ? ? dB ? 0 球内 4?r 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? Q r0 ?0dqv ? er ? B ? ? dB ? ? B ? ?? 0v ? 2 Q Q 2 4?r 4?r0 ? ? ? ? Q v ?r ? ? dq ?0 0 ? er ?? 球外 B ? ?0 v ? ?Q 2 2 4?r ? 4?r0 ?

? r0

? r
.

v

解:运动电荷的磁场

? 导体球上任选一 dq 到P点的矢径 r

任选一点 P,求 P 点磁场

例:设在讨论的空间范围内有均匀磁场B,在纸平面上 有一长为h的光滑绝缘空心细管MN,管的M端内有一质 量为m , 带电量为q > 0的小球P。开始时P相对管静止, 而后管带着P朝垂直于管的长度方向始终以匀速度u运动, 那么,小球P从N端离开管后,在磁场中做圆周运动的 半径为R = ——。(不考虑重力及各种阻力)

? ? ? ? ?
? B

N

解:小球受洛仑兹力作用如图

? ? ? ? ? u hP ? ? ? ? ?

? ? M ? ? ? mv总 mu 2qBh R? ? 1? qB qB mu

f f ? quB f ? ma a ? m 2 fh 2quBh 2 v ? 2ah ? ? m m
相对于磁场的合速度
2 v总 ? v 2 ? u 2

例:被电势差加速的电子从电子枪口 T 发射出来,其 初速度指向 x 方向。为使电子束能击中目标 M 点, (直线 TM 与 x 轴夹角为 ?),在电子枪外空间加一 均匀磁场 B , 其方向与 TM 平行,如图。已知从 T 到 M的距离为 d,电子质量为 m,带电量为 e. 为使 电子恰能击中M点,应使磁感应强度 B =? 解:电子被加速后 T 2eU v? x ? m d ? 与B平 行 的 分 量 // ? v cos? , v U
B M
? 与B垂 直 的 分 量 ? ? v sin?, v

2? m T? qB

电 子 从 到M所 需 时 间 为 T : d d t1 ? ? v // v cos?

2? m T? qB

d d t1 ? ? v // v cos?
k ? 1, 2,3,.....

电子击中M的条件是: t1 ? kT
v? 2eU m

2? cos ? 联立解得: ? k B d

2mU e

例:原点O(0, 0)处有一带电粒子源,以同一速率v沿 xy平面内的各个不同方向?(180???0)发射质量为m, 电量为q(>0)的带电粒子,试设计一方向垂直于xy平 面,大小为B的均匀磁场区域,使由O发射的带电粒子 经磁场并从其边界逸出后均能沿 x 轴正方向运动。 (写出磁场边界线方程,并画出边界线) y ? 设:磁场方向如图,且无边界 ? B 任一粒子束,v , ? 其运动轨迹 mv v O? R? qB ? 过O?作平行于y 轴的直线 O x 它与圆周交于P点 P

粒子在P点时,速度恰沿x方向,若在此之 后粒子不受磁力,则其将沿x轴正方向运动。

y o? v

? ?B

即P点应在磁场的边界上

P点 的 坐 标 : ? x ? ? R sin? ? ? y ? ?( R ? R cos? )
不同? 角发出的粒子, 其P点坐标均满足此方程
由上式: 2 ? ( y ? R) 2 ? R 2 x

?
O

P

x

B

所有P点的轨迹方程, 也是磁场的边界方程

例:一球形电容器中间充以均匀电介质,该介质 缓慢漏电,在漏电过程中,传导电流产生的磁场 为Bc,位移电流产生的磁场为Bd,则 ( A) Bc ? 0, Bd ? 0. ( B) Bc ? Bd ? 0 +

+

(C ) Bc ? 0, Bd ? 0

P. + + 取如图的两个对称的元电流 i A , i B , + + 由对称性 i A , i B 在P点的磁场为零 + O + 由此推广,所有电流元 P点的总磁场为零 在 + + OO?为任意轴, 为任意点,因此 ? 0 P B
求任意点P的磁场, O?为过P点的轴, O
c

? dI ? 解:传导电流密度 jc ? n dS ? ? ? jc 方向沿径向,c具有球对称性 j

( D) Bc ? Bd ? 0

+

-

+ + +
O?

+
+

-

-

? ? ?D 位 移 电 流 密 度d ? j ?t

+ + +

+

? jd 方向 沿径向 ,也具 有球 性 对称

-

+ + +

-

+

-

同理分析 d ? 0 B

( D) Bc ? Bd ? 0


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