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黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二上学期期末数学理试题 Word版含答案


大庆铁人中学 2012 级高二上学期期末考试

数学试题(理)
时间:120 分钟 满分:150 分

2014.1

一、选择题: 1. “ab<0”是“方程 ax2+by2=1 表示双曲线”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.F1,F2 是定点

,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的 轨迹方程是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2 2 3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值是( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一 年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12

5.在长为 10 ㎝的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形, 这个正方形的面积介于 25cm2 与 49 cm2 之间的概率为 ( A.
1 5



B.

2 5

C.

4 5

D.

3 10

6.如图,一环形花坛分成 A、B、C、D 四个区域,现有 5 种不同的花供选种,要求在每个区域里种 1 种花,且 相邻的 2 个区域种不同的花,则不同的种法种数为 A.96 B.84 C.260 D.320

7.编号为 1,2,3 的三位学生随意坐入编号为 1,2,3 的三个座位,每位学 生坐一个座位,则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的
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概率 2 A. 3 1 B. 3 1 C. 6 5 D. 6

8.若如图所示的程序框图输出的 S 的值为 126, 则条件①为( A.n≤5? B.n≤6? C.n≤7? D.n≤8? 9. 给出两个命题: p: 平面内直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 x 有且只有一个交点,
y2 ? 1 右焦点 F 的最 则直线 l 与该抛物线相切;命题 q:过双曲线 x ? 4
2

)

短弦长是 8.则( A.q 为真命题

) B. “p 或 q”为假命题 D. “p 或 q”为真命题

C. “p 且 q”为真命题 10.设 F1 F2 是椭圆 E :
1 2

3a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点,P 为直线 x ? 上 2 2 a b
?

?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形, 一点, 则 E 的离心率为 (
A. B.
2 3



C.

? ?

D.

? ?

11.如图,AB 是平面 a 的斜线段 ,A 为斜足,若点 P 在 ... 平面 a 内运动,使得△ABP 的面积为定值, 则动点 P 的轨迹是 A.圆 B. 椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
x2 y 2 ? 1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A , 12.设 F 为双曲线 ? 16 9

以 FA 为直径的圆与双曲线左、 右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、N ,

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FN ? FM FA
2 5

的值为( B.
5 2

) C.
4 5

A.

D.

5 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 13.用 0、 1、 2、 3、 4 这 5 个数字可组成没有重复数字的三位偶数_ 个. 14.将二进制数 101 101(2)化为八进制数,结果为________. 15.如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱 的中点,A、B、M 是顶点,那么点 M 到截面 ABCD 的距离是
A

__
D C

M B

16.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

三、解答题: 17.(本小题满分 10 分) 命题 p:关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 ,对一切 x ? R 恒成立; 命题 q:函 f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假, 求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)

抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°

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的直线,被抛物线所截得的弦长为 8,试求该抛物线的方程.

19.(本小题满分 12 分)

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4, (1)从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再 从袋中随机取一个球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率.
20.(本小题满分 12 分)

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均 为整数) 分成六段 ?40,50 ? , ?50,60 ? … ?90,100? 后画出如下部分频率分布直方 图.观察 图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,
频率

求他们在同一分数段的概率.

组距

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

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21.(本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 底面 ABCD ,底面

ABCD 是矩形,且 SD ? AD ? 2 AB , E 是 SA 的中点.
(1)求证:平面 BED ? 平面 SAB ; (2)求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角(锐角)的大小.

22.(本小题满分 12 分)

y2 x 2 设椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x2-y2=1 的离心率互 a b 为倒数,且内切于圆 x2+y2=4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、B 两点,椭圆上一点 P(1, 2),求 △PAB 面积的最大值.

一、选择题: CDAB ACBB BCBC 二、填空题:
13. 30 14. 55(8) 15. 2 3 16. 2 6

三、解答题: 17.(本小题满分 10 分)
? -2< a <2 解:p 为真:△=4 a 2 -16<0 ? a <1 q 为真:3-2 a >1 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假 ? p,q 一真一假
当 p 真 q 假时, ? ------------2 分 ------------4 分 ------------5 分 ------------7 分

?? 2 ? a ? 2 ?a ? 1

?

1≤ a ? 2

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?a ? 2或a ? ?2 当 p 假 q 真时, ? ?a ? 1

? a ? ?2

------------9 分

? a 的取值范围为 ?1,2 ? ? ?? ?,?2?

------------10 分

18.(本小题满分 12 分)
解析 依题意,设抛物线方程为 y =2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D, 则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 1 ? ?y=-x+ p, 2 由? 2 ? ?y =2px,
2 2

p

p

消去 y,

得 x -3px+ =0,所以 x1+x2=3p. 4 将其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x. -----------6 分 2 当抛物线方程设为 y =-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线方程为 y =-4x. 综上,所求抛物线方程为 y2=4x 或 y2=-4x. ------------12 分
2

p2

19.(本小题满分 12 分)
解:(1)从袋子中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个.[ 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 1 因此所求事件的概率为 .(6 分) 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,在从袋中随机取一个球,记下编号 为 n,其中一切可能的结果(m,n)有:(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3, 2),(3,3)(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 所有满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3)(1,4)(2,4),共 3 个,

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3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = .(12 分) 16 16

20.(本小题满分 12 分)

频率

组距 解:(1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: f4=1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03 分 直方图如右所示…………………………….4 分 (2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 0.025 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 0.015 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% …… 6 分 0.01 利用组中值估算抽样学生的平均分 0.005 45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6 80 40 50 60 70 90 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3 +85×0.25+95×0.05=71 估计这次考试的平均分是 71 分………………………8 分 (3)[70,80),[80,90) ,[90,100]的人数是 18,15,3。 所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。
2 2 C18 ? C15 ? C32 87 ……………………12 分 P? ? 2 C36 210

分数 100

21.(本小题满分 12 分) 证明: (I)∵ SD ? 底面 ABCD , SD ? 平面 SAD , ∴平面 SAD ? 平面 ABCD ???????????2 分 ∵ AB ? AD ,∴ AB ? 平面 SAD ,又 DE ? 平面 SAD , ∴ DE ? AB , ????????????????4 分 ∵ SD ? AD , E 是 SA 的中点,∴ DE ? SA , ∵ AB ? SA ? A ,∴ DE ? 平面 SAB ,∵ DE ? 平面 BED , ∴平面 BED ? 平面 SAB . ???????????6 分
(II)由题意知 SD, AD, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,不妨设

AD ? 2 .
则 D (0, 0, 0) , A(2, 0, 0) , B (2, 2, 0) , C (0, 2, 0) , S (0, 0, 2) , E (1, 0,1) , ∴ DB ? (2, 2, 0) , DE ? (1, 0,1) , CB ? (2, 0, 0) , CS ? (0, ? 2, 2) ????????8

??? ?

????

??? ?

??? ?

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分 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BED 的法向量,则

??

?? ??? ? ? ?2 x ? 2 y1 ? 0, ?m ? DB ? 0, ? 即? 1 令 x1 ? ?1 ,则 y1 ? 2, z1 ? 1 , ? ?? ???? x ? z ? 0, m ? DE ? 0, ? ? ? 1 1 ? ?? ∴ m ? (?1, 2,1) 是平面 BED 的一个法向量.
设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 SBC 的法向量,则

?

? ??? ? ? ? n ? CB ? 0, ? ?2 x2 ? 0, 即? 解得 x2 ? 0 ,令 y2 ? 2 ,则 z2 ? 1 , ? ? ? ??? ? 2 y ? 2 z ? 0, n ? CS ? 0, ? ? ? 2 2 ? ? ∴ n ? (0, 2,1) 是平面 SBC 的一个法向量. ???????????10


?? ? ?? ? m?n 3 3 ∵ cos m, n ? ?? ? ? , ? 2 m?n 2 3
∴平面 BED 与平面 SBC 所成锐二面角的大小为

?
6

.

…………………………12 分

22.(本小题满分 12 分)
c 2 (1)双曲线的离心率为 2, 则椭圆的离心率为 e= = , 圆 x2+y2=4 的直径为 4, 则 2a=4, a 2 2a=4 ? ?c 2 得:? = a 2 ? ?b =a -c
2 2

2

?a=2 ??c= 2 ?b= 2,

y2 x2 所求椭圆 M 的方程为 + =1.……………4 分 4 2

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? ?y= 2x+m (2)直线 AB 的直线方程:y= 2x+m.由?x2 y2 ,得 4x2+2 2mx+m2-4=0,………5 + = 1 ? ?2 4
分 由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得-2 2<m<2 2,…………6 分 m2-4 2 ∵x1+x2=- m,x1x2= .…………7 分 2 4 ∴|AB|= 1+2|x1-x2|= 3· ?x1+x2?2-4x1x2 = 3· 1 2 m -m2+4= 3 2 m2 4- ,…………8 分 2

又 P 到 AB 的距离为 d= 1 1 则 S△ABC= |AB|d= 3 2 2 分

|m| .……………9 分 3 m2 |m| 4- 2 3 1 = 2 m2 1 m2?4- ?= m2?8-m2?……………10 2 2 2

2 2 1 m +?8-m ? ≤ · = 2,……………11 分 2 2 2

当且仅当 m=± 2∈(-2 2,2 2)取等号.………12 分 ∴(S△ABC)max= 2.

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