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2013年南昌市高中数学竞赛解答


2013 年南昌市高中数学竞赛试题解答
【说明】 :凡是题号下标志有“高一”的,为高一考生试题;题号下标志有“高二”的,为 高二考生试题;凡未作这种标志的,则为全体考生试题

一、填空题(每小题 10 分,共 80 分) 1 、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第 2013 个数字
是 . 答案: 7 . 解:全体一

位数共占据 9 个数位,全体两位数共占据 2 ? 90 ? 180 个数位,接下来是顺

次排列的三位数,由于 2013 ? 9 ? 180 ? 1824 ,而

1824 ? 608 ,因 608 ? 99 ? 707 ,所以 3
n

第 2013 个数字是三位数 707 的末位数字,即为 7 .

? 3? 2、 (高一)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ? ? ? 1 ,则其公比 q ? ?5?
答案:



3 . 5
n ?1

2 2 ? 3? 解: a1 ? S1 ? ? ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? 5 5 ?5?



(高二)若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三 角形,则该椭圆的离心率是 . 答案:

5 ?1 . 2
2 2 2

? a2 ? 2 2 2 2 2 2 解:由 c ? a ? ? ? ,得 c ? ab ,又据 c ? b ? a ,得 ab ? b ? a ,所以 ? c ?

a 5 ?1 a 5 ?1 c 2 2 ,则 a ? ab ? ? c ? ,所以 e ? ? ? b 2 b 2 a

5 ?1 . 2


3、 (高一)等差数列 1,5,9,?, 2013 与 3,8,13,?, 2013 的相同的项之和为
答案: 102313 .

解:等差数列 A ? (1,5,9,?, 2013) , B ? (3,8,13,?, 2013) 的第一个相同项是13 ,最 后一个相同项是 2013 ,而 A 以 4 为公差, B 以 5 为公差,所以, A ? B 构成以 13 为首项,

2013 为末项,且公差为 20 的等差数列,公共项个数为 n ?
项的和为 S ?

101(13 ? 2013) ? 102313 . 2

2013 ? 13 ? 1 ? 101 ,所以公共 20

(高二)正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 5, AB ? 6 , M 是 ?PAD 的重心,则四面体
1

MPBC 的体积是



P

P

M

M

D

C
N

D

C B

A

B

A

答案: 4 7 . 解:设 PM 交 AD 于 N ,则 PN 2 ? PA2 ? ?
2

? AD ? ? ? 16 ,所以 PN ? 4 ;若 PH 是四 ? 2 ?

2

? AB ? 棱锥的高,则 PH ? PN ? ? ? ? 7 , PH ? 7 ,正方形 ABCD 面积为 36 ,所以, ? 2 ?
2 2

1 ?NBC 的面积为 18 ,故四面体 P ? NBC 体积为 VPNBC ? ?18 ? 7 ? 6 7 , 3 MN 1 1 ? , 又由 所以四面体 M ? NBC 体积为 VMNBC ? VPNBC ? 2 7 , 于是四面体 MPBC PN 3 3
的体积为: VMPBC ? VPMBC ?VMNBC ? 4 7 .
2 4、 (高一)满足 x ? 4 x ? 3 ?

x ? 1 的实数 x 的集合是 { 2
Y

}.

答案: ?

? 7 ? 17 9 ? 17 ? ? ? , ?. 4 ? ? 4 ? ?

2 解:数形结合,将其视为求 y ? x ? 4 x ? 3

与y?

x ? 1 交点的横坐标,如图;由于 2
X

x2 ? 4x ? 3 ? ( x ?1)( x ? 3) ,仅当 x ? 2 时,
y? x ? 1 ? 0 ,此时方有交点, 2

2 2 2 当 2 ? x ? 3 , x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 4 x ? 3) ,由 ?( x ? 4 x ? 3) ?

x 7 ? 17 ? 1得 x ? , 2 4

2 2 当 x ? 3 , x ? 4x ? 3 ? x ? 4x ? 3 , x ? 4x ? 3 ?

2

x 9 ? 17 ? 1 ,得 x ? . 2 4

2

(高二)函数 y ?

4 ? sin x 的最大值是 3 ? cos x



答案:

6? 6 . 4

解:将函数式看作定点 (3, 4) 与动点 (cos x,sin x) 连线的斜率;而动点 (cos x,sin x) 的 轨迹是一个单位圆,设过点 (3, 4) 的直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 3) ,即 y ? kx ? (3k ? 4) ? 0 , 当斜率取最大值时,该直线应是单位圆的一条切线,于是原点到该直线距离为 1 , 即有 3k ? 4 ? k 2 ?1 ,所以 k ?

6? 6 6? 6 ,因此最大值为 . 4 4

5 、若 a 为正数,[ a ] 表示 a 的整数部分,而 ?a? ? a ? [a] ,如果 a,[a],{a} 顺次组成等
比数列,则 a ? 答案: .

1? 5 . 2

解:改记 {a} ? ? ,[a] ? k ,由等比, a{a} ? [a]2 ,而 {a} ? a ? [a] ,所以

(? ? k ) ?? ? k 2 , ? 2 ? k? ? k 2 ? 0 , ? ? k ?

?1 ? 5 ,由于 0 ? ? ? 1 ,则 k 为正整数, 2

且只有 k ? 1 ,从而 ? ?

5 ?1 1? 5 ,所以 a ? k ? ? ? . 2 2

2 2 2 6 、 高一) , b, c 是不同的正整数, a ( 若集合 ?a ? b, b ? c, c ? a? ? ?n , (n ? 1) , ( n ? 2) ? ,

n 为正整数,则 a 2 ? b2 ? c2 的最小值是
答案: 1297 .



解:由 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 2(a ? b ? c) ? 偶数,所以 n, n ? 1, n ? 2 两奇一偶;即 n
2 2 2

为奇数,显然 n ? 1 ,不妨设 a ? b ? c ,如果 n ? 3 ,则由 a ? b ? 9, a ? c ? 16, b ? c ? 25 得

a ? b ? c ? 25 ,此时导致 a ? 0 ,矛盾!
所以 n ? 5 ,当 n ? 5 时,由 a ? b ? 25, a ? c ? 36, b ? c ? 49 ,解得 a ? 6, b ? 19, c ? 30 , 这时, a ? b ? c ? 1297 .
2 2 2

7 、函数 f ( x) ? ? x ? k 的最小值是
k ?1

2013



3

解:由于 1, 2,?, 2013 的中间一数为 1007 ,当 x ? 1007 时,函数取得最小值

f (1007) ? 2 ?1 ? 2 ???1006? ? 1006 ?1007 ? 1013042 .
8 、若 sin ? ? sin ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,则

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?
答案:



3 . 2

解:将条件式平方得,

sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? , cos2 ? ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? ? cos2 ? ,
两式相加得 cos(? ? ? ) ? ?

1 ;两式相减得: cos 2? ? cos 2? ? cos 2? ? 2cos(? ? ? ) 2

? 2cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 2cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ;
3 1 ? ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? ? 2 2 3 3 3 ? ? ? 2 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2? ? ? ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos 2? ? ? . 2 2 2 二、解答题(共 70 分)
因此, cos ? ? cos ? ? cos ? ?
2 2 2

9 、 20 分)如图,过 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 各作其外接圆的切线,分别与相应顶 (
点的对边所在直线相交, 证明: 三个交点 D, E, F 共 线. 证:据梅尼劳斯逆定理,只要证
F

E

A

BD CE AF ? ? ? 1 ;由弦切角关系, DC EA FB

?BAD ? ?ACB ? ?ABE, ?ABC ? ?ACF ,
由 ?BAD ∽ ?ACD ,得

D

B

C

BD ?ABD ? BA ? ? ?? ? ; DC ?ADC ? AC ?
2 2

CE ?BCE ? BC ? 同理,由 ?CEB ∽ ?BEA ,得 ? ?? ? , EA ?BEA ? AB ? AF ?CAF ? CA ? 由 ?CFA ∽ ?BFC ,得 ? ?? ? FB ?CFB ? BC ?
所以
2

BD CE AF ?ABD ?BCE ?CAF ? ? ? ? ? ? 1 ,因此 D, E, F 共线. DC EA FB ?ADC ?BEA ?CFB

4

10 、 25 分)数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (

1 n ? ak , n k ?1

(1) 、写出数列前 7 个项的值;

(2) 、对任意正整数 n ,求 an 的表达式.

5 17 37 197 207 , a4 ? , a5 ? , a6 ? , a7 ? ; 2 6 12 60 60 a ? a ? ? ? an ?1 ? an a ? a2 ? ? ? an ?1 (2) 、因为 an ?1 ? 1 ? 1 2 , an ? 1 ? 1 , n n ?1 a ? a2 ? ? ? an ?1 ? an a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 所以 an ?1 ? an ? 1 n n ?1
解: (1) 、顺次算出: a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ?

?

an ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ?? ? ? n ? n n ?1 ?

1 ? a ? a ? ? ? an?1 ? 1 ? 1 ?1 ? ?1 ? 1 2 ?? . ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? ? ? n? n ?1 ? n n ?1 ? n ?
所以, an ? an ?1 ?

an ?1 ? an ? 2
? ?,

1 , n ?1 1 ? , n?2

a2 ? a1 ?

1 , 1

a1 ? 1 ,
相加得, an ? 1 ? ?1 ?

? ?

1 1 1 ? ? ??? ?. 2 3 n ?1 ?

2 99 11 、 25 分) ( 盒中装有红色和蓝色纸牌各 100 张, 每色纸牌都含标数为 1,3,3 ,?,3 的

牌各一张,两色纸牌的标数总和记为 S ; 对于给定的正整数 n ,若能从盒中取出若干张牌,使其标数之和恰为 n ,便称为一种取 牌 n _ 方案,不同的 n _ 方案种数记为 f ( n) ; 试求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (S ) 之值. 解一、将盒中的纸牌按标数自小到大的顺序排成一列:1,1,3,3,3 ,3 ,?,3 ,3 ,值相 等的两个项不同色,对于每个 k ?1 ? k ? 100? ,数列前 2k 项之和小于 3 ,故形如 3 的项必
k n

2

2

99

99

须从两个 3 中选出, (任何其它项的和不等于 3 ) ,于是选出一个 3 有两种方法,同时选出 两个 3 只有一种方法.
5
n

n

n

n

对于集合 A ? ?0,1,2,?, S? 中的每个数 m , 可将其表为含有一百个数位的三进制形式:

m ? a99a98 ?a1a0 ,
即 m ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 32 ? ?? a99 ? 399 ,其中 ai ?{0,1, 2}, i ? 0,1, 2,?,99 ; 若在 a0 , a1 , a2 ,?, a99 中恰有 k 个为 1 (其余 100 ? k 个数为 0 或 2 ) ,则 f (m) ? 2k (这是由 于,每个 1 有红蓝两种选取方案) . 现将集 A 分解为 A ? A0 ? A1 ? A2 ??? A100 , 其中 Ak 中的每个数 m 在表成上述三进 制形式后, 其系数 a0 , a1 , a2 ,?, a99 恰有 k 个为 1 (其余 100 ? k 个数为 0 或 2 ) 因此集 Ak 中, ,
k k 共有 C100 ? 2100?k 个数, (这是由于,从 a0 , a1 , a2 ,?, a99 中选取 k 个为 1 ,有 C100 种选法,其

余 100 ? k 个数,每个可取作 0 或 2 ,有 2 这样, Ak 中各数的 f 值之和为
m? A k

100 ? k

种方法) ;

?

k k f (m) ? 2 k ? C100 ? 2100 ? k ? 2100 ? C100 ,

由于集合 A0 , A1 , A2 ,?, A100 两两不相交,从而
m? A

? f ( m) ? ?

f ( m) ?

m?A 0

m?A1

?

f ( m) ?

m?A 2

?

f ( m) ? ? ?

m?A100

?

f ( m)

0 1 100 ? 2100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ? ? 2100 ? 2100 ? 2200 ,

注意到 0 ? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ? 3 ? ? ? 0 ? 3 ,即数列中的每个数都不选,其方案数 f (0) ? 1 ,
2 99

所以 f (1) ? f (2) ? ? ? f (S ) ? 2

200

?1 .

解二、采用数学归纳法,为此,将问题一般化,将具体数 99 改为非负整数 k , 考虑数列 1,1,3,3,3 ,3 ,?,3 ,3 ,其和为 Sk , 今计算 Fk ? f (0) ? f (1) ? ? ? f (Sk ) 的值. 对 k 归纳, k ? 0 时数列有两项:1,1 ,则 S0 ? 1? 1 ? 2 ;由于 f (0) ? 1, f (1) ? 2, f (2) ? 1 , 所以 F0 ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? 4 ;
2 2 k k

k ? 1 时数列有四项: 1,1,3,3 ,则 S1 ? 8 ,而 f (0) ? 1, f (1) ? 2, f (2) ? 1, f (3) ? 2 ,

f (4) ? 4, f (5) ? 2, f (6) ? 1, f (7) ? 2, f (8) ? 1 ,
于是 F ? f (0) ? f (1) ? ?? f (8) ? 16 ? 4 ; 1
2

6

据此猜想,对于数列 1,1,3,3,32 ,32 ,?,3k ,3k (其和为 Sk ) ,有

Fk ? f (0) ? f (1) ? ?? f (Sk ) ? 4k ?1 ? ①
此式在 k ? 0,1 时已验证,今假定对于 k 成立,考虑 k ? 1 情况, 数列 1,1,3,3,32 ,32 ,?,3k ,3k ,3k ?1,3k ?1 的和为 Sk ?1 ,将集合 A ? ?0,1, 2,?, Sk ?1? 中的每 个数 n 表成三进制形式:

n ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 32 ? ?? ak ? 3k ? ak ?1 ? 3k ?1 ? n1 ? ak ?1 ? 3k ?1
其中 n1 ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 32 ? ?? ak ? 3k , a j ?{0,1,2}, 若 ak ?1 ? 0 ,这时 n ? n1 ,利用归纳假设,有 Fk ? 4k ?1 种选法; 若 ak ?1 ? 1时, n ? n1 ? 3k ?1 从两个 3 设,有 2Fk ? 2 ? 4k ?1 种选法; 当 ak ?1 ? 1时, n ? n1 ? 2 ? 3k ?1 两个 3 有 Fk ? 4k ?1 种选法;
k ?1 k ?1

? ②

中取其一,有两种取法,对前段表达式 n1 用归纳假

全取,有一种取法,对前段表达式 n1 用归纳假设,

所以 Fk ?1 ? Fk ? 2Fk ? Fk ? 4Fk ? 4k ?2 ,即 Fk ?1 ? f (0) ? f (1) ? ?? f (Sk ?1 ) ? 4k ?2 , 即①式对于任何非负整数 k 成立; f (1) ? ?? f (Sk ) ? 4k ?1 ? f (0) ? 4k ?1 ?1 ;
200 取 k ? 99 ,得 f (1) ? f (2) ? ? ? f (S ) ? 2 ?1 .

7


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