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《n次独立重复试验与二项分布


[第 63 讲 n 次独立重复试验与二项分布 ]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出现正面”为 事件 B,则 P(B|A)等于( ) 1 1 A. B. 2 4 1 1 C. D. 6 8 2 3 2.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加 3 4 工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) 1 5 A. B. 2 12 1 1 C. D. 4 6 1? 3.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B? ) ?6,3?,即 P(ξ=2)等于( 3 1 A. B. 16 243 13 80 C. D. 243 243 1 4.某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率为 2 ________.(用数值作答).

能力提升 5.[2013· 九江模拟] 某人射击,一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少 有两次击中目标的概率为( ) 81 54 A. B. 125 125 36 27 C. D. 125 125 6.甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的纪录知,一年中下雨天甲市占 20%, 乙市占 18%,两市同时下雨占 12%.则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.66 7. 在 4 次独立重复试验中, 事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率, 则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( ) A.[0.4,1) B.(0,0.4) C.(0,0.6] D.[0.6,1) 8. [2013· 济南一模] 位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动: 质点每次移动一

1 2 个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向右移动的概率为 ,则质点 P 3 3 移动五次后位于点(1,0)的概率是( ) 4 8 A. B. 243 243 40 80 C. D. 243 243 9.[2013· 广州调研] 箱中装有标号分别为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从 箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖.现有 4 人参与摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是( ) 16 96 A. B. 625 625 624 4 C. D. 625 625 10.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停靠.若该电梯在底层载 1 有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 ξ 表示这 5 位乘客在第 3 20 层下电梯的人数,则 P(ξ=4)=________. 11.[2013· 西安一模] 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能 连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率 都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的 概率等于________. 12.[2013· 淄博一中模拟] 研究性学习小组要从 6 名成员(其中男生 4 人,女生 2 人)中 任意选派 3 人去参加某次社会调查.在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率是 ________. 13.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑 球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号). 2 5 ①P(B)= ;②P(B|A1)= ; 5 11 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. 14.(10 分)[2013· 粤西北九校联考] 某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每 个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知 3 1 1 某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 , , ,且各阶段通过 与否相互独立. 4 2 4 (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 X,求 X 的分布列.

15.(13 分)[2013· 商丘三模] 河南省某示范性高中为了推进新课程改革,满足不同层次 学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数 学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加 任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定:各科达到预先设定

的人数时称为满座,否则称为不满座).统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表: 信息技术 生物 化学 物理 数学 1 1 1 1 1 周一 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 周三 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 周五 3 3 3 3 3 (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 X,求随机变量 X 的分布列.
[来源:学&科&网] [来源:学科网]

难点突破 16.(12 分)[2013· 安徽卷] 某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调 用的是 A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类型试题和一道 B 类型试题入库, 此次调题工作结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试 题库中现共有 n+m 道试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题.以 X 表示两次调 题工作完成后,试题库中 A 类型试题的数量. (1)求 X=n+2 的概率; (2)设 m=n,求 X 的分布列和均值(数学期望).

课时作业(六十三) 【基础热身】 1 P(AB) 4 1 1.A [解析] 方法一:利用条件概率公式 P(B|A)= = = ,故选 A; P(A) 1 2 2 方法二:A 包括的基本事 件为{正,正},{正,反},AB 包括的基本事件为{正,正}, 1 因此 P(B|A)= ,故选 A. 2 2 2.B [解析] 设两个实习生每人加工一个零件为一等品分别为事件 A,B,则 P(A)= , 3 3 2 P(B) = ,于是这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(AB + AB) = P(AB) + P(AB) = × 4 3 3 2 3 5 ?1- ?+?1- ?× = . ? 4? ? 3? 4 12 1 k n-k 3.D [解析] 已知 ξ~B6, ,P(ξ=k)=Ck , np q 3 1 12 16-2 1224 80 当 ξ=2,n=6,p= 时,有 P(ξ=2)=C2 =C2 = ,故选 D. 6 1- 6 3 3 3 3 3 243 15 4. [解析] 每次投篮命中的概率相同,且相互独立,则恰好投进 3 个球的概率为 P 128 13 17 15 =C3 . 10 1- = 2 2 128 【能力提升】 81 2 3 5.A [解析] 可看作是 3 次独立重复试验,则 P=C2 ,故选 A. 3×0.6 ×0.4+0.6 = 125 6.A [解析] 甲市为雨天记为事件 A,乙市为雨天记为事件 B,则 P(A)=0.2,P(B)= P(AB) 0.12 0.18,P(AB)=0.12,∴P(B|A)= = =0.6,故选 A. 0.2 P(A) 3 2 2 2 7.A [解析] 根据题意,C1 4p(1-p) ≤C4p (1-p) ,解得 p≥0.4.又 0<p<1,∴0.4≤p<1. 8.D [解析] 依题意得,质点 P 移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中必有某两 12 23 80 次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率为 C2 ,故选 D. 5· · = 3 3 243 9.B [解析] 当摸的两个球中有标号为 4 的球时,此时两球的号码之积是 4 的倍数, 有 5 种情况; 当摸的两个球中有标号均不是 4 的球时, 此时要使两球的号码之积是 4 的倍数, 6 2 23 2 96 只有 1 种情况,故某人能够获奖的概率为 2= ,因此所求概率等于 C3 , 4· ·1- = C6 5 5 5 625 故选 B. 10 10. [解析] 考查一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复试 243 1 验,故 ξ~B5, , 3 1k 25-k 即有 P(ξ=k)=Ck ,k=0,1,2,3,4,5. 5 × 3 3 14 21 10 ∴P(ξ=4)=C4 . 5 × = 3 3 243 11.0.128 [解析] 依题意得,事件“该选 手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮”即意 味着“该选手在回答前面 4 个问题的过程中, 要么第一个问题答对且第二个问题答错, 第三、 四个问题都答对了;要么第一、二个问题都答错,第三、四个问题都答对了” ,因此所求事 件的概率等于[0.8×(1-0.8)+(1-0.8)2 ]×0.82=0.128. 2 12. [ 解析 ] 设男生甲被选中记为事件 A ,女生乙被选中记为事件 B ,∴P(B|A) = 5
[来源:Z#xx#k.Com]

C1 4 3 P(AB) C6 2 = 2= . P(A) C5 5 C3 6 13.②④ 确的; 5 5 2 4 3 A1,A2,A3 为两两互斥事件,P(B)=P(B|A1)+P(B|A2)+P(B|A3)= × + × + × 10 11 10 11 10 4 9 = ,则①是错误的; 11 22 5 5 × P(A1B) 10 11 5 P(B|A1)= = = ,则②是正确的; 5 11 P(A1) 10 同理可以判断出③和⑤是错误的. 14.解:(1)记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,“该选手 通过决赛”为事件 C, 3 1 1 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . 4 2 4 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是 3 1 3 P=P(AB)=P(A)P(B)= ×1- = . 4 2 8 (2)ξ 可能取值为 1,2,3. 3 1 P(ξ=1)=P(A)=1- = , 4 4 3 1 3 P(ξ=2)=P(AB)=P(A)P(B) = ×1- = , 4 2 8 3 1 3 P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)= × = . 4 2 8 ξ 的分布列为 ξ P 1 1 4 2 3 8 3 3 8 [解析] 根据题意可得 P(A1)= 5 2 3 ,P(A2)= ,P(A3)= ,可以判断④是正 10 10 10

1 1 15.解:(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A,则 P(A)=1- 1- 1 2 2 2 1 - = . 3 12 1 (2)ξ 可能取值为 0,1,2,3,4,5,且 ξ~B5, . 2 1 1 5 P(ξ=0)=C0 51- = , 2 32 1 14 5 P(ξ=1)=C1 , 5· 1- = 2 2 32 12 13 5 P(ξ=2)=C2 , 5· 1- = 2 2 16 13 12 5 P(ξ=3)=C3 , 5· 1- = 2 2 16 14 1 5 P(ξ=4)=C4 5 1- = , 2 2 32 1 515 P(ξ=5)=C5 = . 2 32 所以,随机变量 ξ 的分布列如下表

0 1 2 3 4 5 1 5 5 5 5 1 P 32 32 16 16 32 32 【难点突破】 16.解:以 Ai 表示第 i 次调题调用到 A 类型试题,i=1,2. n+1 n(n+1) n (1)P(X=n+2)=P(A1A2)= · = . m+n m+n+2 (m+n)(m+n+2) (2)X 的可能取值为 n,n+1,n +2. n n 1 P(X=n)=P(A1 A2)= · = , n+n n+n 4 n+1 n n n 1 P(X=n+1)=P(A1A2)+P(A1A2)= · + · = , n+n n+n+2 n+n n+n 2 n+1 n 1 P(X=n+2)=P(A1A2)= · = , n+n n+n+2 4 从而 X 的分布列是 n+1 1 P 2 1 1 1 E(X)=n× +(n+1)× +(n+2)× =n+1. 4 2 4
[来源:学。科。网]

ξ

X

n 1 4

n+2 1 4

[来源:学*科*网]



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