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高中数学椭圆及其标准方程PPT教学教案


新课导入
[导入一] 问题情景 引导学生一起探究教材第32页上的问题. 1.四人一小组,先将细绳的两端固定在纸板的同一个定点 处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出一个图形。它是什 么图形。 2.再把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在纸板的两点 处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,再观察所画出的曲线是 什么图形。

“嫦娥二号”于2010年10月1

日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

那么,什么是椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离 等于定长 的点的集合或轨迹叫圆.
│思考:在画出这一椭圆的过程中,
你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何 条件是什么吗?

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思考4:类比圆的定义,想一想怎样的轨迹是椭圆。

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

? 知识点一 椭圆的定义 和 1.平面内与两个定点 F 1、F 2 的距离的________ 等于常数 (__________) 大于|F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点 F 1、 F 2 叫做 ________ 椭圆的焦距 . 焦点 ,两定点间的距离叫做____________ 2.定义中提到的“常数”常用 ________ 表示,焦距常用 2a ________ 表 示 . 椭 圆 定 义 的 数 学 表 达 式 : 2c ____________________. |PF 1|+|PF2|=2a(2a>2c) (1) 当 __________ 2a=|F1F2| 时 , 点 P 的 轨 迹 是 线 段 ______________________ ; F1F2 (2)当__________ 2a<|F1F2| 时,点 P 的轨迹不存在.

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怎么推导椭圆的标准方程呢?
? 求动点轨迹方程的一般步骤:
回忆圆标 准方程推 导步骤

坐标法

1、建立适当的坐标系,用有序实数对 (x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 P(M) ;

3、用坐标表示条件P(M),列出方程 ;
4、化方程为最简形式。

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y

y F2
M xx x
O

M
O F2

x F1

x

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)

y

设M(x, y)是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0),

M(x , y) x F1 0 F2

则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得,限制条件: | MF 1 | ? | MF 2 |? 2a 由于 得方程
| MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a 2 ? cx ? a
两边再平方,得

( x ? c) 2 ? y 2

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a b 得
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

2

2

椭圆的标 准方程

刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程, 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢?
由椭圆的定义得,M满足的几何条件是: | MF 1 | ? | MF 2 |? 2a

由于
得方程

| MF1 |? x 2 ? ( y ? c) 2 , | MF2 |? x 2 ? ( y ? c) 2

x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?) 焦点在 x轴  ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

?椭圆的标准方程的特点:
Y M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c) O F1(0,-c) X

O

F2 (c,0)

X
2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2 ,且 a ? b ? 0, a ? c ? 0.

(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在那一个 轴上。

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点





F1

O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

典型例题:

?

例1 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点 的距离为3,则P到另一个焦点的距离为( ) ? A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 例2 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆 交于A、B两点,则A、B与椭圆的另一个 焦点构成,那么的周长是 。

例3 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1 (0,-4),F2(0,4),椭圆上一点P到两焦点 的距离之和等于10,求它的标准方程.

例4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1 (-2,0)和 F( 2 2, 0),过点,求它的标准方 程

思考:求椭圆的标准方程首先要考虑什 么问题?求椭圆标准方程的步骤有哪些?

先定位,后定量。

练习:
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=3,焦点在x轴; (2)a=5,c=2, 焦点在 y 轴上. x2 y2 2. 椭圆 16 ? 9 ? 1 的焦距是 ,焦点坐 标为 ;若CD为过左焦点的弦, 则 ?F2CD 的周长为 .

小结:
1.椭圆的定义(注意几何特征和三个条件). 2.椭圆的标准方程(注意焦点的位置与方程形式的 关系). 3.求椭圆方程的方法(待定系数法求方程).

作业:见练案。


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