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2005 年卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及试题参考答案


2005 年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及试题参考答案
一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分.以下每小题均给出了代号为 A , B , C , D 的 四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填 或错填均得零分) 1、如图,有一块矩形纸片 ABCD , AB ? 8 , AD ? 6 .将纸片折叠,使得 AD 边落在 AB 边折痕 为 AE ,再将 ?AED 沿 DE 向右翻折, AE 与 BC 的交点为 F ,则 ?CEF 的面积为( ) 。 (A) 2 (B)4 (C)6 (D)8

答: A 。 解:由折叠过程知, DE ? AD ? 6 , ?DAE ? ?CEF ? 45? ,所以 ?CEF 是等腰直角三角形,且 EC ? 8 ? 6 ? 2 ,所以, S ?CEF ? 2 。 故选 A 。 2、若 M ? 3x 2 ? 8xy ? 9 y 2 ? 4x ? 6 y ? 13 ( x , y 是实数) ,则 M 的值一定是 ( ( A )正数 ( B )负数 ( C )零 ( D )整数 答: A 。 ) 。

解: 因为 M ? 3x 2 ? 8xy ? 9 y 2 ? 4x ? 6 y ? 13 ? 2( x ? 2 y) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 0 , 且 x ? 2 y , x ? 2 , y ? 3 这三个数不能同时为 0 ,所以 M ? 0 。 故选 A 。 3、 已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心,A1 ,B1 ,C1 分别是点 I 关于边 BC ,CA ,AB 的对称点. 若 点 B 在 ?A1 B1C1 的外接圆上,则 ?ABC 等于( ) 。 30 ? 45 ? 60 ? 90 ? (A) (B) (C) (D) 答: C 。 解: 因为 IA1 ? IB1 ? IC1 ? 2r( r 为 ?ABC 的内切圆半径) , 所以点 I 同 时 是 ?A1 B1C1 的 外 接 圆 的 圆 心 。 设 IA1 与 BC 的 交 点 为 D , 则

IB ? IA1 ? 2ID , 所 以 ?IBD ? 30? 。 同 理 , ?IBA ? 30? 。 于 是 , ?ABC ? 60? 。 故选 C 。 1 1 1 ? 2 ??? ) ,则与 A 最接近的正整数是 ( 4、设 A ? 48 ? ( 2 3 ?4 4 ?4 100 2 ? 4 ( A ) 18 ( B ) 20 ( C ) 24 (D)25 答: D 1 1 1 1 ? ( ? ) ,所以, 解:对于正整数 n ? 3 ,有 2 4 n ? 2 n ? 2 n ?4 1 1 1 A ? 48 ? ( 2 ? 2 ??? ) 3 ?4 4 ?4 1002 ? 4 1 1 1 1 1 1 ? 48 ? [(1 ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? )] 4 2 98 5 6 102

)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ) 2 3 4 99 100 101 102 1 1 1 1 ? 25 ? 12 ? ( ? ? ? ) 99 100 101 102 1 1 1 1 4 1 因为 12 ? ( ? ? ? ) ? 12 ? ? ,所以,与 A 最接近的正整数为 25 。 99 100 101 102 99 2 故选 D 。 a 5、设 a , b 是正整数,且满足 56 ? a ? b ? 59 , 0.9 ? ? 0.91 ,则 b 2 ? a 2 等于( ) b ? 12 ? (1 ?
( A ) 171 ( B ) 177 ( C ) 180 ( D ) 182 答: B 。 0.91b ? b ? 56 解:由题设得: 0.9b ? b ? 59, 29 ? b ? 32 所以 因此 b ? 30, 31 。 当 b ? 30 时,由 0.9b ? a ? 0.91b ,得 27 ? a ? 28 ,这样的正整数 a 不存在。 当 b ? 31 时,由 0.9b ? a ? 0.91b ,得 27 ? a ? 29 ,所以 a =28。 所以, b 2 ? a 2 ? 177 。 故选 B。 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6、在一个圆形时钟的表面, OA 表示秒针, OB 表示分针(O 为两针的旋转中心) 。若现在时间恰 好是 12 点整,则经过________秒钟后, △OAB 的面积第一次达到最大。 答: 15

解:设 OA 边上的高为 h ,则 h ? OB ,所以

15 59

当 OA ? OB 时,等号成立。此时 ?OAB 的面积最大。 设经过 t 秒时, OA 与 OB 第一次垂直。又因为秒针 1 秒钟旋转 6 度,分针 1 秒钟旋转 0.1 度, 于是 (6 ? 0.1)t ? 90 ,解得 t ? 15

1 1 S ?OAB ? OA ? h ? OA ? OB , 2 2

15 。 59

7、在直角坐标系中,抛物线 y ? x 2 ? mx ?

3 2 m (m ? 0) 与 x 轴交于 A,B 两点,若 A,B 两点到原点 4 1 1 2 的距离分别为 OA, OB ,且满足 ? ? ,则 m 的值等于_________。 OB OA 3
答:2

3 2 m ? 0 的两根分别为 x1, x2, 且x1 ? x2 , 则有 4 3 x1 ? x2 ? ?m ? 0, x1 x2 ? ? m 2 ? 0. 4 1 1 2 所以 x1 ? 0, x 2 ? 0, 由 ? ? ,可知 OA ? OB , 又 m ? 0, 所以,抛物线的对称轴在 y 轴的左 OB OA 3 1 1 2 x1 ? x 2 2 ?m 2 ? ? , ? ,故 侧,于是 OA ? x1 ? ? x1 , OB ? x2 . 所以 ? . 解得 m ? 2 。 3 x 2 x1 3 x1 x 2 3 3 ? m2 4
解:设方程 x 2 ? mx ? 8、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、 梅花四种花色排列,每种花色的牌又按 A , 2 , 3 ,? ,J , Q , K 的顺序排列,某人把按上述排列

的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张 丢掉, 把第四张放在最底层, ?? 如此下去, 直至最后只剩下一张牌, 则所剩的这张牌是________ 答:第二副牌中的方块 6 解:根据题意,如果扑克牌的张数为 2,2 2 ,2 3 ,? ,2 n ,那么依照上述操作方法,只剩下 的一张牌就是这些牌的最后一张.例如,手中只有 64 张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第 64 张牌.现在,手中有 108 张牌,多出 108 ? 64 ? 44 (张) ,如果依照上述操作方法,先丢掉 44 张 牌,那么此时手中恰有 64 张牌,而原来顺序的第 88 张牌恰好放在手中牌的最底层。这样,再继续 进行丢、留的操作,最后剩下的就是原顺序的第 88 张牌.按照两副扑克牌的花色排列顺序, 88 ? 54 ? 2 ? 26 ? 6 ,所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块 6。 9、已知 D , E 分别是 △ABC 的边 BC , CA 上的点,且 BD = 4,DC = l,AE = 5,EC = 2.连结 AD 和 BE ,它们相交于点 P.过点 P 分别作 PQ∥CA,PR∥CB,为它们分别与边 AB 交于点 Q ,R , 则 △PQR 的面积与△ABC 的面积之比为__________。 答:

400 1089

CF CE 2 ? ? , 所以 FD EA 5 PQ BP BD 4 28 5 5 , ? ? ? ? FD ? ? CD ? 。因为 PQ∥CA,所以 5 33 EA BE BF 5?2 7 4? 7 140 于是 PQ ? 。 因为 PQ∥CA, PR∥CB, 所以 ?QPR ? ?ACB , 因此△PQR 33 S ?PQR ? PQ ? 2 ? 20 ? 2 400 ∽△CAB,故 。 ?? ? ?? ? ? S ?CAB ? CA ? ? 33 ? 1089
解:过点 E 作 EF∥AD,且交边 BC 于点 F,则 10、已知 x1 , x2 , ? x40 都是正整数,且 x1 , x2 , ? x40 =58,若 x1 ? x2 ? ? ? x40 的最大值为 A,最小 值为 B,则 A+B 的值等于__________ 答:494 解:因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种,故 x1 ? x2 ? ? ? x40 的最小值和最 大 值 是 存 在 的 。 不 妨 设 x1 ? x2 ? ? ? x40 , 若 x1 ? 1 , 则 x1 ? x 2 ? ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) , 且
2 2 2 2 ( x1 ? 1) 2 ? ( x2 ? 1) 2 ? x1 ? x2 + 2( x2 ? x1 ) ? 2 ? x1 ? x2 。所以,当 x1 ? 1 时,可以把 x1 逐步调 2 2 2 2 2 2

整到 1,这时 x1 ? x2 ? ? ? x40 将增大;同样地,可以把 x 2 , x3 , ?, x39 逐步调整到 1 ,这时
2 2 2 2 2 2 x1 ? x2 ? ? ? x40 将增大。于是,当 x1 , x2 , ? x39 均为 1, x40 ? 19 时, x1 ? x2 ? ? ? x40 取

2

2

2

2 2 得最大值, 即 A ?1 若存在两个数 xi , x j , 使得 x j ? xi ? 2(1 ? i ? j ? 40), ?1 ?? ?? 12 ? 19 2 ? 400 。 ?? ? ? ??

则 ( xi ? 1) ? ( x j ? 1)
2
2

2

39个 2 ? xi

2 2 2 ? x j ? 2( x j ? xi ? 1) ? xi ? x j ,这说明在 x1 , x2 , ? x39 , x 40 中,如果
2 2 2

有两个数的差大于 1,则把较小的数加 1,较大的数减 1,这时, x1 ? x2 ? ? ? x40 将减小。 所以,当 x1 ? x2 ? ? ? x40 取到最小时, x1 , x2 , ? x40 中任意两个数的差都不大于 1。于是当
2 2

x1 ? x2 ? ? ? x22 ? 1, x23 ? x24 ? ? ? x40 ? 2 , 时 , x12 ? x2 2 ? ? ? x40 2 取 得 最 小 值 , 即
2 2 2 2 2 B ?1 ?1 ?? ?? 12 ? 2 ?? 2 ?? ?? ?? 2 ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 94 。故 A+B=494。 22个 18个

三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 11、8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘 4 人(不包括司机) 。其中一辆小汽 车在距离火车站 15km 的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有 42 分钟。这时唯一可利用的 交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘 5 人,且这辆车的平均速度是 60 km/h, 人步行的平均速度是 5 km/h。试设计两种方案,通过计算说明这 8 个人能够在停止检票前赶到火车

站。 解: 【方案一】当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人下车步行,另一辆车将车内的 4 个人送 到火车站,立即返回接步行的 4 个人到火车站。 设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为 x km,根据题意,有

x 15 ? 15 ? x , ? 5 60
解得 x ?

30 .因此这 8 个人全部到火车站所需时间为 13 30 30 35 5 。 ? 5+(15 ? ) ? 60 ? (小时)= 40 (分钟) ? 42 (分钟) 13 13 52 13

故此方案可行。 ??????????????10 分 【方案二】当小汽车出现故障时,乘这辆车的 4 个人先下车步行,另一辆车将车内的 4 个人送 到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外 4 个人,使得两批人员最后 同时到达车站。 分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示, D 为无故障汽车人员下车地点, C 为 有故障汽车人员再次上车地点。因此,设 AC=DB=y ,根据题意,有

解得 y ? 2 。因此这 8 个人同时到火车站所需时间为

y 15 ? y+ 15-2y , ? 5 60

2 15 ? 2 37 ? ? (小时)=37 (分钟) ? (42分钟) 5 60 60
故此方案可行。 ??????????????15 分 12、某校举行春季运动会时,由若干个同学组成一个 8 列的长方形队列。如果原队列中增加 120 人, 就能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人. 解:设原长方形队列有同学 8 x 人,由已知条件知 8 x+120 和 8 x ? 120 均为完全平方数。于是可 设 2 ? ?8 x ? 120 ? m , 1 ○ ? 2 2 ? ○ ?8 x ? 120 ? n . 其中 m, n 均为正整数,且 m ? n 。 ????????????5 分
2 2 1 -○ 2 ,得 m ? n ? 240 ,即 ○

(m ? n)(m ? n) ? 240 ? 2 4 ? 3 ? 5 .
1 、○ 2 可知, m , n 都是 8 的倍数,所以 m, n 均能被 4 整除。于是 m ? n , m ? n 均能被 4 由○ 整除。所以 ?m ? n ? 60, ?m ? n ? 20, 或? ? ?m ? n ? 4; ?m ? n ? 12. ?m ? 32, ?m ? 16, 解得 ????????10 分 或? ? ?n ? 28; ?n ? 4.

2

2

所以, 8x ? m 2 ? 120 ? 322 ? 120 ? 904; 或8x ? m 2 ? 120 ? 162 ? 120 ? 136 。 故原长方形队列有同学 136 人或 904 人。 ????????15 分 13、已知关于 x 的一元二次方程

(6 ? k )(9 ? k ) x 2 ? (117 ? 15k ) x ? 54 ? 0 的两个根均为整数,求所有满足条件的实数 k 的值。 解:原方程可化为 [(6 ? k ) x ? 9][(9 ? k ) x ? 6] ? 0 ,因为此方程是关于 x 的一元二次方程,所以

k ? 6, k ? 9 .于是

9 6 , x2 ? . 6?k 9?k 从上面两式中消去 k ,得 x1 ?
于是 因为 x1 , x2 均为整数,所以

???????5 分

x1 x2 ? 2 x1 ? 3x 2 ? 0 , ( x1 ? 3)( x2 ? 2) ? ?6.

? x1 ? 3 ? ?6,?3,?2,?1, 1, 2, 3, 6 ???10 分 ? ? x2 ? 2 ? 1, 2, 3, 6,?6,?3,?2,?1 故 x1 ? ?9,?6,?5,?4,?2,?1, 0, 3. 显然 x1 ? 0 ,又 6x ? 9 9 k? 1 ? 6? , x1 x1 将 x1 ? ?9,?6,?5,?4,?2,?1, 3 分别代入上式得 15 39 33 21 ????15 分 k ? 7, , , , ,15,3. 2 5 4 2 14 、 如 图 , 分 别 以 △ ABC ( △ ABC 为 锐 角 三 角 形 ) 的 边 AB, BC, CA 为 斜 边 向 外 作 等 腰 三 角 形 DAB , E B C, F A C。求证: (1) AE ? DF ;(2) AE ? DF 。 证明: (1)延长 BD 至点 P ,使 DP ? BD ,连结 AP, CP 。 因为 △ DAB 是等腰直角三角形, AB 所以 ?ADB ? 90? , AD ? BD , ? 2。 BD AB 2 ? 又因为 DP ? BD ,所以 。 BP 2 在等腰直角三角形 EBC 中, BE 2 ? ?BEC ? 90? , BE ? CE , 。 BC 2 AB BE 所以 . ? BP BC ?PBC ? ?PBA ? ?ABC ? 45? ? ?ABC , 因为 ?ABE ? ?CBE ? ?ABC ? 45? ? ?ABC , 所以 ?PBC ? ?ABE .于是 △ ABE ∽ △ PBC , AE AB 2 ? ? , PC BP 2 2 PC . 即 AE ? ???????????5 分 2 同理,在 △ ADF 和 △ APC 中,有 AF AD 2 ? ? , AC AP 2 ?DAF ? ?PAC ? 45? ? ?DAC. △ ADF ∽ △ APC . 所以 DF AD 2 2 ? ? PC . ,即 DF ? PC AP 2 2 所以, AE ? DF . ????????10 分

(2)因为 △ ADF ∽ △ APC ,所以 ?ADF ? ?APC .又由 △ ABE ∽ △ PBC ,得 ?BAE ? ?CPB , 于是
?DAE ? ?ADF ? 45? ? ?BAE ? ?ADF ? 45? ? ?CPB ? ?APC ? 90? . 所以, AE ? DF 。 15、如图,

半径不等的两圆相交于 A、B 两点,线段 CD 经过点 A,且分别交两圆于 C、D 两点。联结 BC、BD, 设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 的中点,M、N 分别是
BC



CD

的中点。求证: (1)

BP NQ ? ; (2) KPM ∽ NQK MP BQ

证明: (1)如图: 因为 M 是 ?BPM ? 90?
BC

的中点, P 是 BC 的中点,所以, MP ? BC , 。 联 结 AB , 则 有

1 1 ?PBM ? ?CAB ? (180 ? ?DAB) 2 2 1 ? 90 ? ?DAB ? 90 ? ?NBD ? ?QNB 。 所 以 , Rt BPM ∽ 2 BP NQ ? Rt NQB 。于是有 ① MP BQ 1 (2)因为 KP∥BD,且 KP= BD=BQ,所以,四边形 PBQK 是平行四边形。于是,有 BP=KQ,BQ=KP。 2 KQ NQ 由式①, 得 。 又 ?K , 所以, KPM ∽ NQK 。 P M ?? K P B ? 9 0?? K Q B ? 9 0 ?? N Q K ? MP KP 16、已知 p、q 都是质数,且使得关于 x 的一元二次方程 x2 ? (8 p ? 10q) x ? 5 pq ? 0 至少有一个正整
数根。求所有的质数对(p,q) 。 解:由方程两个根的和为 8p-10q 可知,若方程有一个根为整数,则另一个根也是整数。由方程两 个根的积为 5pq,知方程的另一个根也是正整数。 设方程的两个正整数根分别为 x1 、 x 2 ( x1 ? x2 ) 。由根与系数的关系,得

x1 + x 2 =8p-10q,① x1 x 2 =5pq ② 由式②,得 x1 、 x 2 有如下几种可能的情况:

? x1 ? 1,5, p, q,5 p,5q, ? ? x2 ? 5 pq, pq,5q,5 p, q, p 将 x1 + x 2 =1+5pq,5+pq,p+5q,q+5p 分别代入式①。 当 x1 ? x2 ? 1 ? 5 pq 时, 1 ? 5 pq = 8 p ? 10q ,而 1 ? 5 pq >10p> 8 p ? 10q ,故此时无解。 当 x1 ? x2 ? 1 ? 5 pq 时,5+pq= 8 p ? 10q ,则有 ( p ? 10)(q ? 8) ? ?85 。因为 p、q 都是质数,只

?q ? 8 ? ?5, ?1, 可能 ? 所以, (p,q)=(7,3) 。当 x1 ? x2 ? p ? 5q 时, p ? 5q ? 8 p ? 10q ,所以 7p=15q ? p ? 10 ? 17,85 不可能。 当 x1 ? x2 ? q ? 5 p 时, q ? 5 p ? 8 p ? 10q ,所以 3p=11q,于是,有(p,q)=(11,3) 。综 上所述,满足条件的质数对(p,q)=(7,3)或(11,3) 。 17、从 1,2,?,205 共 205 个正整数中,最多能取出多少个数,使得对于取出来的数中的任意 3 个数 a、b、c(a<b<c),都有 ab≠c. 解: 首先,1,14,15,?,205 这 193 个数,满足题设条件. 事实上,设 a、b、c(a<b<c)这 3 个数取自 1,14,15,?,205. 若 a=1,则 ab ? b ? c ; 若 a ? 1 ,则 ab ? 14 ? 15 ? 210 ? c . 另一方面,考虑如下 12 个数组: (2,25,2 ? 25),(3,24,3 ? 24), ? (13,14,13 ?14) .上述这 36 个数互不相等,且其中最小的数为 2,最 大的数为 13 ? 14 =182<205.所以,每一个数组中的 3 个数不能全部都取出来.于是,如果取出来的数满 足题设条件,那么,取出来的数的个数不超过 205-12=193(个). 综上所述,从 1,2,?,205 中,最多能取出 193 个数,满足题设条件. 18、如图,

ABC 是锐角三角形,以 BC 为直径作 o ,AD 是 o 切线。从 AB 上一点
E 作 AB 的垂线交 AC 的延长线于点 F。若 证明:如图, 设 o 交 AB 于点 G, 联结 CG。 因为 BC 为 o 的直径, 所以 CG ? AB 。 又 EF ? AB 则 CG∥EF,有 因 为 AD 是

AB AE ,求证:AD=AE。 ? AF AC

AG AC ,即 AC ? AE ? AG ? AF 。① ? AE AF
o 的 切 线 , 所 以 , AD 2 ? AG AB 。 由 已 知

AB AE ,得 AE AF ? AB AC ② ? AF AC ①×②,得, AE 2 ? AD 2 ,即 AD=AE。


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