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1.3.1函数的单调性(2)


1.3.1 函数的单调性(2)
【学习导航】

3 4 3.函数 y ?| x ? 1| 的单调递增区间为_________,单
-a+1)与 f ( ) 的大小关系是 调递减区间 _______________

学习要求

1.熟练掌握证明函数单调性的方法; 例 4: 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 2.会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调 的 正 数 d , 都 有 f ( x ? d ) ? f ( x) , 求 满 足 性; f (1? a )? f ( 2a? 的 1) a 的取值范围. 3.能利用函数的单调性解决一些简单的问题.

【精典范例】
例 1:判断函数 f ( x ) ? x ?
2

1 ( x ? (0, ?? )) 的单调 x

性,并用单调性的定义证明你的结论.

追踪训练
b 在 (0, ??) 上都 x 2 是减函数,则 h( x) ? ax ? bx ? c 在 (??, 0) 上
1.已知函数 f ( x) ? ax 和 g ( x ) ? 例 2:求证:函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 在 R 上是单调 减函数. ( ) A.是增函数 B.是减函数 C.既不是增函数也不是减函数 D. h( x) 的单调性不能确定

2. 若函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 . 例3:
2

3.若 f ( x ) 在 R 上是增函数,且 a ? b ? 0 ,则

f (?a) ? f (?b) .(注: 从?、 (1)若函数 f ( x) ? 4x ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上是增函 f (a) ? f (b) 数,在 (??, ?2] 上是减函数,则实数 m 的值为 ; ? 、 ? 中选择一个填在横线上)
⑵若函数 f ( x) ? 4x2 ? mx ? 5 ? m 在 [?2, ??) 上 是增函数,则实数 m 的取值范围为 间为 [?2, ??) ,则实数 m 的值为 ; ⑶若函数 f ( x) ? 4x2 ? mx ? 5 ? m 的单调递增区 . 4. 函数 f ( x) ? 4x 2 ? mx ? 1 在 (??, ?3] 上递减, 在 [?2,??) 上递增, 则实数 m 的取值范围 . 5. 用函数单调性的定义证明: 函数 f ( x) ? x ? x 在
3

? ??, ??? 上是增函数.

追踪训练一
1.函数 f ( x ) 是定义域上单调递减函数,且过点

(?3, 2) 和 (1, ?2) ,则 | f ( x )| ? 2 的自变量 x 的取值范
围是( ) A. (?3, ??) B. (?3,1) C. (??,1] D. (??, ??) 2. 已知函数 f(x)是区间(0, +∞)上的减函数, 那么 f(a2

1.3.1 函数的单调性(2)

1

1.3.1 函数的单调性(2) 1.函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 ) x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 那么( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 2.已知 f ( x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,
则下列正确的是( ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 3.函数 y ? ? x 2 在区间 (??, ??) 上是( ) A.增函数 B.既不是增函数又不是减函数 C.减函数 D.既是增函数又是减函数 4.如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间 (??, 4] 上 是减函数,那么实数 a 的取值范围是( ) A.a≥-3 B.a≤-3 C.a≤5 D.a≥3 5.函数 y ? x ? 6x ? 7( x ?[?1,7]) 的值域 。 2 6.若函数 f(x)=(-k +3k+4)x+2 是增函数,求 k 的范围.
2

9.函数 f ( x), g ( x) 在区间 [ a, b] 上都有意义,且在 此区间上 ① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ②g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.

2 7. 已知 f ( x) ? ( x ? 2) , x ? [?1,3] , 求函数 f ( x ? 1) 得单调递减区间.

8.讨论函数 f ( x) =

ax (-1< x <1)的单调性. x ?1
2

1.3.1 函数的单调性(2)

2



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