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2011-2012学年上海市闵行区高三(上)期末暨高考一模数学试卷(文科)


2011-2012 学年上海市闵行区高三(上)期末暨高 考一模数学试卷(文科)

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2011-2012 学年上海市闵行区高三(上)期末暨高 考一模数学试卷(文科)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果每个空格填 对得 4

分,否则一律得零分. 1. 分) (4 U={﹣3, ﹣2, ﹣1, 1, 3}, 0, 2, A={x|x ﹣1≤0, x∈Z}, B={x|﹣1≤x≤3, x∈Z}, (?UA) B= 则 ∩ 2. 分)已知扇形的面积为 (4 ,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是 _________ .
2

_________



3. 分)已知 a、b∈R,命题“若 a+b=2,则 a +b ≥2”的否命题是 _________ (4 4. 分)若 α 为第二象限角,且 sin( (4 )+

2

2



cos2α=0,则 sinα+cosα 的值为

_________



5. 分)椭圆 (4

上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为 1,则 t=

_________



6. 分)设向量 (4

满足



,且 与 的方向相反,则 的坐标为

_________



7. 分)已知直线 l:y=kx+1 与两点 A(﹣1,5) (4 、B(4,﹣2) ,若直线 l 与线段 AB 相交,则实数 k 的取值范围 是 _________ . (n∈N* ) ,则对于 k∈N* ,f(k+1)=f(k)+

8. 分)若 f(n)=1+ + +…+ (4

_________



9. 分)在△ (4 ABC 中,若 a≠b,且

=

,则∠ 的大小为 _________ C



10. 分)执行如图所示的程序框图,若输入 x=2,则输出 y 的值为 (4

_________



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www.jyeoo.com 11. 分)已知数列{an }的前 n 项和 (4 ,则 = _________ .

12. 分)若函数 y=f(x) (4 (x∈R)满足 f(x)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2 ,则函数 g(x)=f(x) ﹣|lgx|的零点个数为 _________ 个. 13. 分)如图,矩形 OABC 中,AB=1,OA=2,以 BC 中点 E 为圆心、以 1 为半径在矩形内部作四分之一圆弧 (4 CD(其中 D 为 OA 中点) ,点 P 是弧 CD 上一动点,PM⊥ BC,垂足为 M,PN⊥ AB,垂足为 N,则四边形 PMBN 的 周长的最大值为 _________ .

14. 分)在一圆周上给定 1000 个点. (4 (如图)取其中一点标记上数 1,从这点开始按顺时针方向数到第二个点标 记上数 2,从标记上 2 的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数 3,继续这个过程直到 1,2,3,…,2012 都被 标记到点上,圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数,在标记上 2012 的那一点上的所有标记的数中最小的 是 _________ .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答 案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 分)抛物线 y=2x2 的准线方程是( (5 A. B. ) C. D.

16. 分)若函数 y=f(x)的图象与函数 y=2x+1 的图象关于 y=x+1 对称,则 f(x)=( (5 ) A. log2 x B. log2 (x﹣1) C. log2 (x+1) D.log2 x﹣1

17. 分)已知关于 x,y 的二元一次线性方程组的增广矩阵为 (5

,记

,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 ( A. ) B. 两两平行 C. D. 方向都相同

18. 分)设 x1 、x2 是关于 x 的方程 (5 的直线与圆 x2 +y2 =1 的位置关系是(

的两个不相等的实数根,那么过两点 )



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www.jyeoo.com A. 相离 B. 相切 C. 相交 D.随 m 的变化而变化

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤. 19. (12 分)对于 =(x1 ,y1 ) =(x2 ,y2 ) , ,规定向量的“*”运算为: * =(x1 x2 ,y1 y2 ) .若 =(x,1) =(﹣ , 1,x) , =(1,0) , =(0,1) .解不等式 .

20. (14 分)设双曲线 C:

的虚轴长为 2

,渐近线方程是 y=

,O 为坐标原点,

直线 y=kx+m(k,m∈R)与双曲线 C 相交于 A、B 两点,且 (1)求双曲 C 的方程; (2)求点 P(k,m)的轨迹方程.



21. (14 分)某地政府为改善居民的住房条件,集中建设一批经适楼房.用了 1400 万元购买了一块空地,规划建设 8 幢楼,要求每幢楼的面积和层数等都一致,已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为 250 平方米,第一层建筑费用 是每平方米 3000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 80 元. (1)若该经适楼房每幢楼共 x 层,总开发费用为 y=f(x)万元,求函数 y=f(x)的表达式(总开发费用=总建筑 费用+购地费用) ; (2)要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低,每幢楼应建多少层? 22. (16 分)将边长分别为 1、2、3、…、n、n+1、…(n∈N* )的正方形叠放在一起,形成如图所示的图形,由小到 大,依次记各阴影部分所在的图形为第 1 个、第 2 个、…、第 n 个阴影部分图形.容易知道第 1 个阴影部分图形的 周长为 8.设前 n 个阴影部分图形的周长的平均值为 f(n) ,记数列{an }满足 (1)求 f(n)的表达式; (2)写出 a1 ,a2 ,a3 的值,并求数列{an }的通项公式; (3)记 bn =an +s(s∈R) ,若不等式 有解,求 s 的取值范围. .

23. (18 分)记函数 f(x)在区间 D 上的最大值与最小值分别为 max{f(x)|x∈D}与 min{f(x)|x∈D}.设函数 f (x)= (1<b<3) ,g(x)=f(x)+ax,x∈[1,3],令 h(a)=max{g(x)|x∈[1,3]}﹣

min{g(x)|x∈[1,3]},记 d(b)=min{h(a)|a∈R}.
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www.jyeoo.com (1)若函数 g(x)在[1,3]上单调递减,求 a 的取值范围; (2)当 a= 时,求 h(a)关于 a 的表达式;

(3)试写出 h(a)的表达式,并求 max{d(b)|b∈(1,3)}.

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参考答案与试题解析
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果每个空格填 对得 4 分,否则一律得零分. 1. 分)U={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},A={x|x2 ﹣1≤0,x∈Z},B={x|﹣1≤x≤3,x∈Z},则(?U A)∩ (4 B= 3} . 考点: 交、并、补集的混合运算. {2,

223 10 71

专题: 计算题. 分析: 用列举法求出集合 A 和 B,再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出(?U A)∩ B. 2 解答: 解:∵ A={x|x ﹣1≤0,x∈Z}={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x≤3,x∈Z}={﹣1,0,1,2,3}, ∴UA={x|x≤﹣2,或 x≥2,x∈Z}, ? ∴ UA)∩ (? B={2,3}, 故答案为 {2,3}. 点评: 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.

2. 分)已知扇形的面积为 (4

,半径为 1,则该扇形的圆心角的弧度数是



考点: 扇形面积公式.

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专题: 计算题. 分析: 半径为 r 的扇形,若圆心角为 θ 弧度,则它的面积为 S= θr2 .由此公式,不难结合已知条件求出圆心角的 弧度数. 解答: 解:设该扇形的圆心角为 θ 弧度,则 扇形的面积 S= θ?1 = ∴ θ= 故答案为: 点评: 本题给出扇形的面积和半径,求扇形的圆心角的大小,着重考查了扇形面积公的知识,属于基础题. 3. 分)已知 a、b∈R,命题“若 a+b=2,则 a2 +b2 ≥2”的否命题是 若 a+b≠2,则 a2 +b2 <2 (4 考点: 四种命题. .
2

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专题: 计算题. 分析: 若 P 则 Q 的否命题是若¬P,则¬Q,由此可得“若 a+b=2,则 a2 +b2 ≥2”的否命题. 2 2 解答: 解:∵ 原命题为“若 a+b=2,则 a +b ≥2”, ∴ 其否命题为:“若 a+b≠2,则 a2 +b2 <2”, 故答案为:若 a+b≠2,则 a2 +b2 <2. 点评: 本题考查否命题的概念,掌握“=”的否定为“≠”,“≥”的否定是“<”是关键,属于基础题.
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www.jyeoo.com 4. 分)若 α 为第二象限角,且 sin( (4 )+ cos2α=0,则 sinα+cosα 的值为 .

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 将 sin( 得到 2 解答: cos(

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)+

cos2α=0 变形可得到

sin(

﹣2α)=sin(

﹣α) ,再利用二倍角公式约分后可

﹣α)=1,从而可得答案. )+ cos2α=0, )=sin( ﹣α) , ﹣α) ,

解:∵ sin( ∴ cos2α= ∴ ?2sin(

sin(

﹣2α)=﹣sin( ﹣α)=sin(

﹣α)cos(

又 α 为第二象限角, ∴ sin( ∴ 2 ﹣α)≠0, ﹣α)=1, ﹣α)= .

cos(

∴ cos(

展开得,sinα+cosα= . 故答案为: . 点评: 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,熟练应用诱导公式与二倍角公式得到 2 键,属于中档题. cos( ﹣α)=1 是关

5. 分)椭圆 (4

上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为 1,则 t=

2



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由椭圆的方程 解答:

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+y2 =1(t>1)可知,b=1,又 ×2b×c=1,可求得 c,从而可得 t 的值. +y =1(t>1) ,
2

解:∵ 椭圆的方程为

∴ 其焦点在 x 轴,且短半轴 b=1,设半焦距为 c, ∵ 一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为 1, ∴ ×2b×c=1,而 b=1, 又 ∴ c=1. ∴ 2 +c 2 =1+1=2. t=b 故答案为:2. 点评: 本题考查椭圆的简单性质,由题意求得 b=c=1 是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.
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www.jyeoo.com 6. 分)设向量 (4 满足 , ,且 与 的方向相反,则 的坐标为 (﹣4,﹣2) .

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: 由向量模的公式,计算出 坐标. 解答: 解:∵ 又∵ =2 ,∴ = =

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=

,再根据 与 的方向相反且 模是与 模的 2 倍,所以 =﹣2 ,可得 的

,且 与 的方向相反,

∴ =﹣2 =﹣2(2,1)=(﹣4,﹣2) 故答案为: (﹣4,﹣2) 点评: 本题给出向量 的坐标, 与 的方向相反且长度是 的 2 倍,求向量 的坐标,着重考查了平面向量的模的 公式和坐标的线性运算的知识,属于基础题. 7. 分)已知直线 l:y=kx+1 与两点 A(﹣1,5) (4 、B(4,﹣2) ,若直线 l 与线段 AB 相交,则实数 k 的取值范围 是 .

考点: 两条直线的交点坐标;直线的斜率. 专题: 计算题;数形结合.

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分析: 由直线 y=kx+1 的方程,判断恒过 P(0,1) ,求出 KPA 与 KPB,判断过 P 点的直线与 AB 两点的关系,结 合图形求出满足条件的直线斜率的取值范围. 解答: 解:由直线 l:y=kx+1 的方程,判断恒过 P(0,1) , 如下图示: ∵ PA=﹣4,KPB=﹣ , K 则实数 a 的取值范围是: 故答案为: . .

点评: 求恒过 P 点且与线段 AB 相交的直线的斜率的取值范围,有两种情况:
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www.jyeoo.com 当 A、B 在 P 竖直方向上的同侧时,计算 KPA 与 KPB,若 KPA<KPB,则直线的斜率 k∈[KPA,KPB] 当 A、B 在 P 竖直方向上的异侧时, (如本题)计算 KPA 与 KPB,若 KPA<KPB,则直线的斜率 k∈(﹣∞, KPA]∪ PB,+∞) [K 就是过 P 点的垂直 x 轴的直线与线段有交点时,斜率范围写两段区间,无交点时写一段区间. 8. 分)若 f(n)=1+ + +…+ (4 (n∈N* ) ,则对于 k∈N* ,f(k+1)=f(k)+ .

+

+

考点: 数学归纳法. 专题: 综合题.

223 10 71

分析: 利用所给等式,确定 f(k+1)与 f(k)中的项,即可得到结论. 解答: 解:∵ f(n)=1+ + +…+ ∴ f(k+1)=1+ + +…+ ∵ f(k)=1+ + +…+ ∴ f(k+1)=f(k)+ 故答案为: + + + + + + +

点评: 本题考查数学归纳法,解题的关键是明确等式的意义,从而确定变化的项.

9. 分)在△ (4 ABC 中,若 a≠b,且

=

,则∠ 的大小为 90° . C

考点: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题.

223 10 71

分析: 利用正弦定理化简已知的等式,由同角三角函数间的基本关系化简后,再利用二倍角的正弦函数公式得到 sin2A=s in2B,由正弦函数的图象与性质得到 2A 与 2B 互补或相等,进而得到 A 与 B 互余或相等,又 a 不 等于 b,利用三角形的边角关系得到 A 不等于 B,可得出 A 与 B 互余,由三角形的内角和定理即可求出 C 的度数. 解答: 解:由正弦定理得: 又 tanA= ,tanB= = , 化简已知的等式得: = ,

∴ sinAcosA=sinBcosB,即 2sinAcosA=2sinBcosB, ∴ sin2A=sin2B, ∴ A+2∠ 2∠ B=180°或 2∠ A=2∠ B,即∠ B=90°或∠ B, A+∠ A=∠ 又 a≠b,∴A≠∠ ∠ B, ∴A+∠ ∠ B=90°, 则∠ C=90°. 故答案为:90° 点评: 此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正弦函数公式,以及正弦函数的图象与性质, 熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 10. 分)执行如图所示的程序框图,若输入 x=2,则输出 y 的值为 (4 23 .

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考点: 循环结构. 分析: 首先分析程序框图,循环体为“直到型”循环结构,按照循环结构进行运算,求出满足题意时的 y.
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解答: 解:根据题意,本程序框图为求 y 的和 循环体为“直到型”循环结构,输入 x=2, 第一次循环:y=2×2+1=5,x=5; 第二次循环:y=2×5+1=11,x=11; 第三次循环:y=2×11+1=23, ∵ |x﹣y|=12>6, ∴ 结束循环,输出 y=23. 故答案为:23.

点评: 本题为程序框图题,考查对循环结构的理解和认识,按照循环结构运算后得出结果.属于基础题

11. 分)已知数列{an }的前 n 项和 (4

,则

=



考点: 数列的极限.

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专题: 综合题. 分析: 根据数列{an }的前 n 项和,确定数列的通项,从而可求



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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ 数列{an }的前 n 项和 ∴ 时,an =Sn ﹣Sn ﹣1 =2 n≥2
n ﹣1

, ,

n=1 时,a1 =S1 =1,也满足上式 ﹣ 故 an =2n 1 , ∴ = =

故答案为: 点评: 本题考查数列通项,考查数列的极限,解题的关键是根据前 n 项和求通项. 12. 分)若函数 y=f(x) (4 (x∈R)满足 f(x)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x ,则函数 g(x)=f(x) ﹣|lgx|的零点个数为 10 个. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题. 分析: 确定函数 y=f(x)的周期,构造函数 y=f(x) ,h(x)=|lgx|,则函数 g(x)=f(x)﹣|lgx|的零点问题转化 为图象的交点问题,结合图象,即可得到结论. 解答: 解:∵ 函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x)=f(x+2) , ∴ 函数 y=f(x)的周期为 2 构造函数 y=f(x) ,h(x)=|lgx|,则函数 g(x)=f(x)﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题, 由于 f(x)的最大值为 1,所以 x>10 时,图象没有交点,在(0,1)上有一个交点, (1,3)(3,5)(5, , , 7)(7,9)上各有两个交点,在(9,10)上有一个交点,故共有 10 个交点,即函数零点的个数为 10 , 故答案为:10
2

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点评: 本题的考点是函数零点与方程根的关系,主要考查函数零点的定义,关键是正确作出函数图象,注意掌握 周期函数的一些常见结论:若 f(x+a)=f(x) ,则周期为 a;若 f(x+a)=﹣f(x) ,则周期为 2a 等. 13. 分)如图,矩形 OABC 中,AB=1,OA=2,以 BC 中点 E 为圆心、以 1 为半径在矩形内部作四分之一圆弧 (4 CD(其中 D 为 OA 中点) ,点 P 是弧 CD 上一动点,PM⊥ BC,垂足为 M,PN⊥ AB,垂足为 N,则四边形 PMBN 的 周长的最大值为 .

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www.jyeoo.com 考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 综合题. 分析: 设∠ MBP=α, 利用 α 的三角函数表示出四边形 PMBN 的周长, 再利用辅助角公式化简, 即可求得四边形 PMBN 的周长的最大值. 解答: 解:设∠ MBP=α,则 ∴ BM=cosα,PM=sinα ∴ 四边形 PMBN 的周长为 2+2(cosα+sinα)=2+2 ∵ ∴ ∴ sin(α+ ∴ 2+2 )max =1 )的最大值为 sin(α+ )
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sin(α+

故答案 点评: 本题考查圆的方程综合应用,解题的关键是引进角参数,利用三角函数进行求解. 14. 分)在一圆周上给定 1000 个点. (4 (如图)取其中一点标记上数 1,从这点开始按顺时针方向数到第二个点标 记上数 2,从标记上 2 的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数 3,继续这个过程直到 1,2,3,…,2012 都被 标记到点上,圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数,在标记上 2012 的那一点上的所有标记的数中最小的 是 12 .

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 探究型.

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分析: 确定标有 2012 的是 1+2+3+…+2012=2025078 号,2025078 除以 1000 的余数为 78,即圆周上的第 78 个点标 为 2012,从而可得 78+1000n=1+2+3+…+k= ,即 156+2000n=k(k+1) ,由此可得结论.

解答: 解:记标有 1 为第 1 号,序号顺时针的依次增大.当超过一圈时,编号仍然依次增加,如 1 号也是 1001 号, 2001 号,… 则标有 2 的是 1+2 号, 标有 3 的是 1+2+3 号, 标有 4 的是 1+2+3+4, 标有 2012 的是 1+2+3+…+2012=2025078 …, 号. 2025078 除以 1000 的余数为 78, 即圆周上的第 78 个点标为 2012, 那么 78+1000n=1+2+3+…+k= 即 156+2000n=k(k+1) . 当 n=0 时,k(k+1)=156,k=12 满足题意,随着 n 的增大,k 也增大. 所以,标有 2012 的那个点上标出的最小数为 12. 故答案为:12 点评: 本题考查合情推理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. ,

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www.jyeoo.com 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答 案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 分)抛物线 y=2x 的准线方程是( (5 A. B.
2

) C. D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题.

223 10 71

分析: 将抛物线方程化为标准方程,确定焦点的位置,从而可求抛物线 y=2x2 的准线方程. 解答: 2 解:抛物线 y=2x 可化为 ,焦点在 y 轴上,2p= , ∴ ∴ 抛物线 y=2x 的准线方程是 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的标准方程与几何性质,解题的关键是将方程化为标准方程,属于基础题. 16. 分)若函数 y=f(x)的图象与函数 y=2x+1 的图象关于 y=x+1 对称,则 f(x)=( (5 ) A. log2 x B. log2 (x﹣1) C. log2 (x+1) D.log2 x﹣1 考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 数形结合. 分析: 先根据:“y=f(x)的图象与函数 y=2x+1 的图象关于 y=x+1 对称”进行图象变换得到 f(x﹣1)与 y=2x 关于 y=x 对称,再结合反函数的知识求得 f(x﹣1) ,最后即可得 f(x) . 解答: 解:有题意知:f(x﹣1)与 y=2x 关于 y=x 对称, 所以 f(x﹣1)=log2 x, ?f(x)=log2 (x+1) , 故选 C. 点评: 本小题主要考查奇偶函数图象的对称性、函数的图象变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合 思想、化归与转化思想.属于基础题.
2

223 10 71

17. 分)已知关于 x,y 的二元一次线性方程组的增广矩阵为 (5

,记

,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 ( A. ) B. 两两平行 C. D. 方向都相同

考点: 二元一次方程组的矩阵形式;充要条件.

223 10 71

专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例,由此即可得到结论. 解答: 解:由题意,二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例 ∵ ,

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www.jyeoo.com ∴ 故选 B. 点评: 本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,考查向量知识,属于基础题. 两两平行

18. 分)设 x1 、x2 是关于 x 的方程 (5 的直线与圆 x +y =1 的位置关系是( A. 相离 B. 相切
2 2

的两个不相等的实数根,那么过两点 ) C. 相交 D.随 m 的变化而变化



考点: 直线与圆的位置关系;根与系数的关系. 专题: 计算题.

223 10 71

分析: 由 x1 、x2 是关于 x 的方程的两个不相等的实数根,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,再由 A 和 B 的坐标,利用直线斜率的公式求出直线 AB 的斜率,利用平方差公式化简约分后得到结果,将两根之和代 入表示出斜率, A 和斜率写出直线 AB 的方程, 由 利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 AB 的距离 d, 将表示出的两根之和与两根之积代入,整理后得到 d=r,可得出直线 AB 与圆相切. 解答: 解:∵1 、x2 是关于 x 的方程 x ∴1 +x2 =﹣m,x1 x2 = x 又 , >0, , 的两个不相等的实数根,

∴ 直线 AB 的斜率为
2

=x1 +x2 =﹣m,
2

∴ 直线 AB 的方程为 y﹣x1 =﹣m(x﹣x1 ) ,即 mx+y﹣mx1 ﹣x1 =0, 2 2 由圆 x +y =1,得到圆心(0,0) ,半径 r=1, ∵ 圆心到直线 AB 的距离 d= = =1=r,

∴ 直线 AB 与圆的位置关系是相切. 故选 B 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,韦达定理,涉及的知识有:直线的两点式方程,点到直线的距离公式, 直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小来判断,当 d>r 时,直线与圆相离;当 d=r 时,直线与圆相切;当 d <r 时,直线与圆相交(d 为圆心到直线的距离,r 为圆的半径) . 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤. 19. (12 分)对于 =(x1 ,y1 ) =(x2 ,y2 ) , ,规定向量的“*”运算为: * =(x1 x2 ,y1 y2 ) .若 =(x,1) =(﹣ , 1,x) , =(1,0) , =(0,1) .解不等式 .

考点: 平面向量数量积的运算.

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专题: 新定义. 分析: 利用已知定义先把所求的不等式进行转化,然后根据分式不等式的解法即可求解
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www.jyeoo.com 解答: 解:由题意可得, (6 分)

∴ ∴ ﹣1<x<0 (12 分)

点评: 本题以新定义为载体,主要考查了向量的数量积的运算,分式不等式的求解,属于知识的简单应用

20. (14 分)设双曲线 C:

的虚轴长为 2

,渐近线方程是 y=

,O 为坐标原点,

直线 y=kx+m(k,m∈R)与双曲线 C 相交于 A、B 两点,且 (1)求双曲 C 的方程; (2)求点 P(k,m)的轨迹方程.



考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题. 分析: (1)根据双曲线虚轴长为 2 ,渐近线方程是 y=

2210 73

,可得几何量的值,即可求得双曲线 C 的方程;
2 2 2

(2)直线 AB:y=kx+m 与双曲线

联立消去 y 得(3﹣k )x ﹣2kmx﹣m ﹣3=0,利用韦达定理



⊥ 知 x1 x2 +y1 y2 =0,即可求得点 P 的轨迹方程. ,渐近线方程是 y= ,

解答: 解: (1)由题意,双曲线虚轴长为 2 ∴ b= ,b= a, ∴ a=1 (3 分) 故双曲线 C 的方程为

. 分) (6

(2)设 A 1 ,y1 ) (x2 ,y2 ) (x ,B ,直线 AB:y=kx+m 与双曲线 ﹣m ﹣3=0
2

联立消去 y 得(3﹣k )x ﹣2kmx

2

2

由题意 3﹣k ≠0,且

2

(4 分)

又由

⊥ 知 x1 x2 +y1 y2 =0
2 2

而 x1 x2 +y1 y2 =x1 x2 +k x1 x2 +km(x1 +x2 )+m 所以 +k ×
2

+km×

+m =0

2

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www.jyeoo.com 化简得 2m2 ﹣3k2 =3① 2 2 由△ >0 可得 k <m +3② 由①可得 2m ﹣3k =3 ②
2 2 2 2

(6 分)

故点 P 的轨迹方程是 2y ﹣3x =3(x≠± ) (8 分) 点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查向量知识的运 用,解题的关键是直线与双曲线方程联立,利用韦达定理进行求解. 21. (14 分)某地政府为改善居民的住房条件,集中建设一批经适楼房.用了 1400 万元购买了一块空地,规划建设 8 幢楼,要求每幢楼的面积和层数等都一致,已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为 250 平方米,第一层建筑费用 是每平方米 3000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 80 元. (1)若该经适楼房每幢楼共 x 层,总开发费用为 y=f(x)万元,求函数 y=f(x)的表达式(总开发费用=总建筑 费用+购地费用) ; (2)要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低,每幢楼应建多少层? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 综合题. 费用=总建筑费用+购地费用,可得函数表达式; (2)由(1)知经适楼房每平方米平均开发费用为:g(x)= 基本不等式即可得到结论. 解答: 解: (1)由已知,每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为:3000×250=750000 元=75(万元) , 从第二层开始,每幢每层的建筑总费用比其下面一层多:80×250=20000 元=2(万元) , 每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以 75 为首项,2 为公差的等差数列, 分) (2 根据总开发费用=总建筑费用+购地费用,可得函数表达式为:y=f(x) =8[75x+ ]+1400=8x2 +592x+1400; (6 分) =40(x+ ≥40 =40(x+ ,利用

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分析: (1)确定每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以 75 为首项,2 为公差的等差数列,利用总开发

(2)由(1)知经适楼房每平方米平均开发费用为:g(x)= (2 +74)≈4018(元) (12 分)

当且仅当 x=

,即 x≈13.2 时等号成立,

但由于 x∈N+,验算:当 x=13 时,g(x)≈4018,当 x=14 时,g(x)≈4020. 答:该经适楼建为 13 层时,每平方米平均开发费用最低. (14 分) 点评: 本题考查函数模型的构建,考查等差数列,考查基本不等式的运用,解题的关键是确定函数的模型,属于 中档题. 22. (16 分)将边长分别为 1、2、3、…、n、n+1、…(n∈N )的正方形叠放在一起,形成如图所示的图形,由小到 大,依次记各阴影部分所在的图形为第 1 个、第 2 个、…、第 n 个阴影部分图形.容易知道第 1 个阴影部分图形的 周长为 8.设前 n 个阴影部分图形的周长的平均值为 f(n) ,记数列{an }满足 (1)求 f(n)的表达式; (2)写出 a1 ,a2 ,a3 的值,并求数列{an }的通项公式; (3)记 bn =an +s(s∈R) ,若不等式 有解,求 s 的取值范围. .
*

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考点: 二阶矩阵;数列递推式. 专题: 计算题.

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分析: (1) 由图形观察, 得第 n 个阴影部分图形的周长为 8n, 利用等差数列的求和公式即可得到 f(n) 的表达式; (2)根据题中 an 的表达式,不难写出它 3 项,再分 n 为奇数和 n 为偶数两种情况加以讨论,结合等差数列 的通项公式,可得 an 关于 n 的分段函数的表达式; (3)利用行列式乘法法则,得原不等式有解即 bn+1(bn ﹣bn+2 )>0 有解,再分 n 为奇数和 n 为偶数两种情 况加以讨论,最后综合可得实数 s 的取值范围. 解答: 解: (1)根据题意,第 1 个阴影部分图形的周长为 8,第 2 个阴影部分图形的周长为 16,…, 第 n 个阴影部分图形的周长为 8n, 分) (2 故 f(n)= . (4 分)

(2)a1 =f(1)=8,a2 =f(a1 )=f(8)=36,a3 =f(3)=20, ① n 为奇数时,an =f(n)=4n+4 当 (3 分) ② n 为偶数时,an =f(an ﹣1 )=4an ﹣1 +4=4[4(n﹣1)+4]+4=16n+4, 当 ∴n = a . (5 分)

(3)bn =an +s=

有解,即 bn+1 bn ﹣bn+1 bn+2 =bn+1 (bn ﹣bn+2 )>0 有解, ① n 为奇数时,bn+1 (bn ﹣bn+2 )>0 即 当 [16(n+1)+4+s][4n+4+s﹣4(n+2)﹣4﹣s]>0, 亦即 16(n+1)+4+s<0 有解,故 s<(﹣16n﹣20)max =﹣36 ② n 为偶数时,bn+1 (bn ﹣bn+2 )>0 即 当 即[4(n+1)+4+s][16n+4+s﹣16(n+2)﹣4﹣s]>0, 于是 4(n+1)+4+s<0,故 s<(﹣4n﹣8)max =﹣16. 欲使 有解,以上两种情况至少一个成立, (7 分) (5 分) (3 分)

故 s 的取值范围是 s<﹣16. 论等知识,属于基础题.

点评: 本题以一个实际问题为例,考查了等差数列的通项与求和公式、二阶行列式的计算和不等式解集非空的讨

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www.jyeoo.com 23. (18 分)记函数 f(x)在区间 D 上的最大值与最小值分别为 max{f(x)|x∈D}与 min{f(x)|x∈D}.设函数 f (x)= (1<b<3) ,g(x)=f(x)+ax,x∈[1,3],令 h(a)=max{g(x)|x∈[1,3]}﹣

min{g(x)|x∈[1,3]},记 d(b)=min{h(a)|a∈R}. (1)若函数 g(x)在[1,3]上单调递减,求 a 的取值范围; (2)当 a= 时,求 h(a)关于 a 的表达式;

(3)试写出 h(a)的表达式,并求 max{d(b)|b∈(1,3)}. 考点: 函数最值的应用;函数单调性的性质. 专题: 综合题. 分析: (1)根据函数 f(x)= (1<b<3) ,g(x)=f(x)+ax,x∈[1,3],可得函数 g

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(x)的解析式,利用函数在[1,3]上单调递减,即可求 a 的取值范围; (2)当 b=2a+1 时,0<a<1, 函数的最值,即可求 h(a)关于 a 的表达式; (3) ,分类讨论,确定函数的最小值,利用函数的单调性,确定 ,确定函数的单调性,求得

d(b)=min{h(a)|a∈R},从而可求 max{d(b)|b∈(1,3)}. 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)= (1<b<3) ,g(x)=f(x)+ax,x∈[1,3],



(2 分)

由题意

,∴ a<0

(4 分)

(2)当 b=2a+1 时,0<a<1,



显然 g(x)在[1,2a+1]上单调递减,在[2a+1,3]上单调递增,又此时 g(1)=g(3)=5a+1 故 max{g(x)|x∈[1,3]}=g(1)=g(3)=5a+1,min{g(x)|x∈[1,3]}=g(2a+1)=2a +3a+1, 分) (4 2 从而:h(a)=﹣2a +2a,a∈(0,1) . (6 分) (3) ① a≤0 时,max{g(x)|x∈[1,3]}=g(1)=a+2b﹣1,min{g(x)|x∈[1,3]}=g(3)=3a+b 当 此时,h(a)=﹣2a+b﹣1 ② a≥1 时,max{g(x)|x∈[1,3]}=g(3)=3a+b,min{g(x)|x∈[1,3]}=g(1)=a+2b﹣1 当 此时,h(a)=2a﹣b+1 (2 分) ③ 0<a≤ 当 时,max{g(x)|x∈[1,3]}=g(1)=a+2b﹣1,min{g(x)|x∈[1,3]}=g(b)=ab+b,
2

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www.jyeoo.com 此时,h(a)=a+b﹣ab﹣1 ④ 当 时,max{g(x)|x∈[1,3]}=g(3)=3a+b,min{g(x)|x∈[1,3]}=g(b)=ab+b,

此时,h(a)=3a﹣ab

故 h(a)=

, 分) (4

因 h(a)在(﹣∞,

]上单调递减,在[ )=

,+∞)单调递增, , 分) (6 (8 分)

故 d(b)=min{h(a)|a∈R}=h(

故当 b=2 时,得 max{d(b)|b∈(1,3)}= .

点评: 本题考查函数的解析式,考查函数的最值的求解,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,确定函 数的单调性是解题的关键.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:lcb001;吕静;caoqz;sllwyn;俞文刚;wfy814;lily2011;zlzhan;yhx01248(排 名不分先后)
菁优网 2013 年 1 月 5 日

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