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新疆生产建设兵团第二中学2015-2016学年高二数学上学期第四次月考(期末)试题


兵团二中 2015—2016 学年(第一学期)第四次月考 高二数学试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 设集合 A ? ?4,5,6,9? , 全集

U ? A ? B , 则集合 ? ( B ? ?3,4,6,8,9? , U ? A ? B ? 的元素个数共有 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 )

(奥赛班做此题)在复平面内,复数 z ? A.第一象限 B.第二象限

i 对应的点位于( ) 1? i C.第三象限 D.第四象限
频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 96 98 100 102 104 106 克

2. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样 检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直 方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分 组为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102,104), [104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的 个数是( )A.90 B.75
2.5

C.60

D.45 )

?1? 3. 设 a ? 22.5 , b ? 2.50 , c ? ? ? 则 a , b, c 的大小关系是( ?2?
A. a ? c ? b B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c

? ? ? ? ?? ? o s ? ?? ? ? 4. 已知 a ? ?1, ?3? , 若a ?b, 则c ( b ? ?3,2sin ? ? , ?2 ?
A. ?



1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2


5. 将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥, 得到如图 2 所示的几何体, 则该几何体的侧视图为 (

6. 已知双曲线

x2 y2 3 ? 2 ? 1 的一条渐近线是 y ? ? x ,则双曲线的离心率为( 2 3 a b



-1-

A.2

B.

3

C.

2 3 3

D.

2 6 3

7. 下列说法错误 的是( ..



A.如果命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题.
2 B. 命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0

C.命题“已知 x , y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题 ”是“ y ? cos ? 2x ? ? ? 为奇函数”的充要条件 2 8. 如果执行右图的程序框图,那么输出的 S ? ( ) 2450 2500 2550 A. B. C. D. 2652 D. “? ? 9.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确 定的常数,则下列各数中也可以确定的是( A. S 6 B. S11 C. S12
2 2

开始

?

k ?1

k ?1
S ?0

) D. S13

k ≤ 50?



? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

10. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ? x ? 2? ? ? y ? 3? ? 9 交于 E 、 F 两 点,则 ? EOF ( O 是原点)的面积为( A. 2 5 B. )

k ? k ?1

6 5 3 3 C. D. 5 4 2 11.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2 ,则这个四棱锥的外接球的表面积为(
A. 12? B. 36? C. 72? D. 108? )



??? ? ??? ? ? ??? ? 12.已知 A 、 B 为抛物线 C : y 2 ? 4 x 上的不同的两点,且 FA ? 4FB ? 0 , 则 AB ? (

A.

25 3

B.

25 8

C.

100 9

D.

25 4

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡对应的横线上.答错位 置,书写不清,模棱两可均不得分.) 13.若“ ?x ? ?0, ? , a ? tan x ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ? 4?

? ??



.

14. 在? ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 MP ?

????

? 1 ??? PA ,则 2
-2-

??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? PC ?

?

?



. ▲ . ▲ .

15.若函数 f ? x ? ? 4 x ? x 2 ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? 16.已知直线 l :

x y ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 过点 A?1,2? ,则 a ? 8b 的最小值为 a b

三、解答题(本大题共 7 小题,共 85 分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤) 17.已知函数 f ? x ? ? lg ? 2 ? x ? ? lg ? 2 ? x ? . (1)求函数 y ? f ? x ? 的定义域; (2) f ? m ? 2? ? f ? m? ,求 m 的取值范围.
2 (奥赛班做此题)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? a ? R ?

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在点 P ?1,1? 处的切线方程;(2)若 f ? x ? 在 ? 0, e? 是单调递增函数, 试求 a 的取值范围. 18. 在? ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 3cos ? B ? C ? ?1 ? 6cos Bcos C . (1)求 cos A ; (2)若 a ? 3 ,? ABC 的面积为 2 2 ,求 b , c .

19. (理科) 如图, 四边形 ABCD 为矩形, 且 AB ? 1 ,AD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , E 为 BC 上的动点. (1)当 E 为 BC 的中点时,证明: PE ? DE ; (2)设 PA ?1 ,若在线段 BC 上存在点 E ,使得二面角 P ? ED ? A 的大小为 试确定点 E 的位置.

? . 4

(文科) 如图, 四边形 ABCD 为矩形, 且 AB ? 1 ,AD ? 2 , PA ? 平面 ABCD , E 、 F 为 BC 、 AB 的中点. (1)证明: PE ? DE ; (2)若在线段 PA 上存在点 G ,使得 FG / / 平面 PDE . 试确定点 G 的位置.

20. 设有关于 x 的一元二次方程 x 2 ? ax ? b2 ? 0 . (1)若 a 是从 0 , 1 , 2 , 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0 , 1 , 2 三个数中任取的一个数,求 上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间 ?0,3? 任取的一个数,b 是从区间 ?0,2? 任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

-3-

21. 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n , an ,

1 成等差数列. 2

? 1 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若 bn ? log 2 an ? 3 ,求数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn . ? bnbn ?1 ?

22. 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ? 2,0 ? ,且椭圆 C 的离心率为 . 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 x ? ?1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,且 P 为线段 MN 的中点,再 过 P 作直线 l ? MN .求直线 l 是否恒过定点,若是,则求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

23. 附加题:(参加奥赛辅导的学生必做) 设 M 为直线 x ? y ? 1 ? 0 上的动点,过 M 作抛物线 y ? x 2 的切线,切点分别为 A, B . (1) 求证:直线 AB 过定点. (2) 求 ?ABM 面积 S 的最小值,并求此时取得最小值时 M 的坐标.

-4-

兵团二中 2015—2016 学年(第一学期)第四次月考 高二数学试卷答案 一、 选择题 题号 答案 13. a ? 1 1 A 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 B 10 D 11 B 12 D

二、填空题 14. ?

4 9

15. 4

16. 25

三、解答题(本大题共 7 小题,共 85 分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤)

?2 ? x ? 0 17.解: (1)由 ? 得: ?2 ? x ? 2 ,?函数 y ? f ? x ? 的定义域为 x ? ? ?2,2? ?2 ? x ? 0
(2) f ? x ? ? lg 4 ? x 2 ,由题有: lg 4 ? ? m ? 2 ?

?

?

?

2

? ? lg ? 4 ? m ?
2

?4 ? ? m ? 2 ?2 ? 4 ? m 2 ? ? ? ??2 ? m ? 2 ? 2 ,解得: 0 ? m ? 1 ,? m 的取值范围是 m ? ? 0,1? ??2 ? m ? 2 ? ?
(奥赛班题目) 解:函数 y ? f ? x ? 的定义域为 x ? ? 0, ?? ? , f ? ? x ? ? 2ax ?

1 x

3x ? y ? 2 ? 0 (1) 可见, 切点为 P ?1,1? , 切线的斜率 k ? f ? ?1? ? 3 , 即: ?切线方程为 y ? 1 ? 3? x ? 1? ,

1 1 ? 0 在 ? 0, e? 上恒成立,? a ? ? 2 在 ? 0, e? 上恒成立 x 2x 1 1 1 而 x ? ? 0, e? 时, ? 2 ? ? 2 ,? a ? ? 2 2x 2e 2e
(2)由题知: f ? ? x ? ? 2ax ? 18. 解: (1)由题有:3cos B cos C ? 3sin B sin C ? 1 ? 6cos B cos C ,?cos ? B ? C ? ? ? , cos A ? (2)由(1)知: sin A ? ②

1 3

1 3

b2 ? c2 ? 9 1 2 2 ? 有: b 2 ? c 2 ? 13 ,? bc ? 6 ①,又由余弦定理 cos A ? 12 3 3

?b ? 2 ?b ? 3 联立①②式,解得: ? 或? ?c ? 3 ?c ? 2
19. (理科) (1)证明:连接 AE ?四边形 ABCD 为矩形,且 AB ? 1 , AD ? 2 , E 为 BC 的中点

? AE ? DE ? 2 , AE 2 ? DE 2 ? AD 2 , DE ? AE

?PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,?PA ? DE 又 AE ? PA ? A ,?DE ? 平面 PAE ,而 PE ? 平面 PAE ,?PE ? DE
-5-

(2)解:以 A 为坐标原点, AB 、 AD 、 AP 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 ??? ? ??? ? 则 P ? 0,0,1? , D ? 0, 2,0 ? , E ?1, m,0?? 0 ? m ? 2? ,? PD ? ? 0,2, ?1? , PE ? ?1, m, ?1?
??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? PD ? n1 ? 0 ? 设面 PDE 的法向量 n1 ? ? x, y, z ? ,则由 ? ??? 得: n1 ? ? 2 ? m,1,2? ? ?? ? ? ? PE ? n1 ? 0

?? ? 而面 ADE 的法向量 n2 ? ? 0,0,1? ,?

2

? 2 ? m?

2

?5

?

2 得: m ? 2 ? 3 2

(文科) (1)证明:连接 AE ?四边形 ABCD 为矩形,且 AB ? 1 , AD ? 2 , E 为 BC 的中点

? AE ? DE ? 2 , AE 2 ? DE 2 ? AD 2 , DE ? AE

?PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,?PA ? DE 又 AE ? PA ? A ,?DE ? 平面 PAE ,而 PE ? 平面 PAE ,?PE ? DE (2)点 G 在线段 PA 上满足 PG : GA ? 3 :1
在 PD 上取点 M 满足 PM : MD ? 3 :1 ,连接 MG ,则 MG / / AD 且 MG ? 作 DE 中点 N ,连接 FN 、 MN ,则易得: FN / / AD 且 FN ?
3 AD 4 3 AD 4

? MG / / FN 且 MG ? FN ,故四边形 FGMN 是平行四边形, FG / / MN 又 FG ? 平面 PDE , MN ? 平面 PDE ,? FG / / 平面 PDE

20. (1)

1 3 ; (2) 2 8

21. (1)由题知: 2an ? Sn ?

1 1 ,? 2an?1 ? Sn?1 ? ? n ? 2? 2 2 1 2

两式相减,化简得: an ? 2an?1 ? n ? 2? ,故 ?an ? 是等比数列,且公比 q ? 2 ,而 n ? 1 时 a1 ?

1 ?an ? ? 2n?1 ? 2n?2 2
(2) bn ? n ? 1 ,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,?Tn ? ? bnbn ?1 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? 1 n ? 2 2 n?2
x2 y2 ? ?1 4 3

22. (1)椭圆 C 的方程是 (2)设 P ? ?1, t ?

当直线 MN 存在斜率 k ,则 k ? 0 ,设直线 MN 的方程是 y ? k ? x ? 1? ? t

? y ? k ? x ? 1? ? t ? 由 ? x2 y 2 得: 3 ? 4k 2 x2 ? 8k 2 ? 8kt x ? 4k 2 ? 8kt ? 4t 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

?

?

?

?

-6-

设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ? 8kt ? ?2 ,? 4kt ? 3 3 ? 4k 2

?直线 l 的方程为 y ? ?

1 4t 1? ? 1 ? ? x ? 1? ? t ? ? ? ? x ? ? ,故直线 l 恒过定点 ? ? ,0 ? k 3? 4? ? 4 ?

? 1 ? 当直线 MN 不存在斜率 k ,则 P ? ?1,0? ,直线 l 的方程为 y ? 0 显然过点 ? ? ,0 ? ? 4 ? ? 1 ? 综上:故直线 l 恒过定点 ? ? ,0 ? ? 4 ?
(3)

-7-


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