湖北省黄冈中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学理试题

湖北省黄冈中学 2012-2013 学年高一下学期 期中考试数学理科试题
编辑人：丁济亮 祝考试顺利！ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．

第 I 卷（选择题 共 50 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置． ） 1、数列 ? , , ? , , ? A． (?1)
n

1 1 2 4

1 1 6 8

1 2n

1 ? 的一个通项公式可能是 （ 10 n 1 n ?1 1 B． (?1) C． ( ?1) n 2n 2

） D． ( ?1)
n ?1

2、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,已知 a ? 2, c ? 3, B ? 的面积为（ A． 3 ） B．3 C．

?
6

1 2n

，则△ABC

3 2
）

D．

3 2

3、等差数列{an}中，已知 a2 ? 3, an ? 21, d ? 2 ，则 n=（ A．9 B．10 C．11 ）

D．12

4、 sin 34? sin 26? ? cos 34? cos 26? ? （

A．

1 2

B． ?

1 2

C．

3 2

D． ? ）

3 2

5、已知{an}是等比数列，则下列数列中也一定是等比数列的是（ A． ?an ? C? （其中 C 为常数） C． ?anbn ? （其中 ?bn ? 为常数数列） B． ?

?1? ? ? an ?

D．

?2 ?
an

6、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,若 状是（ ）

a b ? ，则△ABC 的形 cos B cos A

A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 7、若 sin 74? ? m ，则 cos8? ? （ ）

B．直角三角形 D．等腰或直角三角形

A．

1? m 2

B． ?

1? m 2
B. T 2 ? S R

C．

1? m 2

D． ?

1? m 2
）

8、等比数列的前 10 项和，前 20 项和，前 30 项的和分别为 S，T，R，则（

A. S 2 ? T 2 ? S ?T ? R ?

2 C. ? S ? T? ? R ? T

D. S ? T ? R

9 、 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2 ， P 、 Q 分 别 为 边 AB 、 DA 上 的 点 。 设

?BCP ? ? , ?DCQ ? ? , 若 ?APQ 的周长为 4，则 ? ? ? ? （
D C

）

Q

A

P

B

A． 15? C． 45?

B． 30? D． 60? ）

10、下列命题中正确的是： （

① 若 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 ， 且 am ? an ? as ? at (m、n、s、t ? N*) ， 则

m? n ? s ?t；
②若 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项的和，则 S n，S 2n ? S n，S3n ? S 2n 成等差数列； ③若 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项的和，则 S n，S 2n ? S n，S3n ? S 2n 成等比数列； ④若 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项的和，且 S n ? Aqn ? B ； （其中 A、B 是非零常数，

n? N *） ，则 A ? B 为零 A. ①② B.
②③

C.

②④

D. ③④

第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11、若三个数 5 ? 2 6, m,5 ? 2 6 成等差数列，则 m=________. 12、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,已知 a ? 5 2, c ? 10, A ?

?
6

,则

C=______________. 13.、函数 y ? sin 2x ? 2sin 2 x 的对称轴方程为 x=______________. 14、如图，一艘轮船 B 在海上以 40 n mile / h 的速度沿着方位角（从指北 方向顺时针转到目标方向线的水平角）为 165? 的方向航行，此时轮船 B 的正南方有一座灯塔 A。已知 AB ? 800 n mile ，则轮船 B 航行 时距离灯塔 A 最近。 B

h

A 15.、观察以下各等式：

3 sin 2 30? ? cos 2 60? ? sin 30? cos 60? ? ， 4 sin 2 20? ? cos 2 50? ? sin 20? cos 50? ? 3 ， 4 3 。 4

sin 2 45? ? cos 2 105? ? sin 45? cos105? ?

分析上述各式的共同特点，请写出一个能反映一般规律的等式______________.

三、解答题：(本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16、 （12 分）已知 cos ?

7? sin 2 x ? 2sin 2 x ?? ? 4 17? ?x? ，求 的值。 ? x? ? ， 12 4 1 ? tan x ?4 ? 5

5, 0 ? 17、 分） （12 如图四边形 ABCD 中，AB ? 2, BC ? 2 2, CD ? 7 ； ?B ? 4 ? ?C15 且
求边 AD 的长。

?，

D A

B

C

4 4 18、 （12 分）已知函数 f ? x ? ? cos x ? 2sin x cos x ? sin x 。

⑴求 f ? x ? 的最小正周期； ⑵当 x ? ? ?

? ? ? , 0 时，求 f ? x ? 的最小值以及取得最小值时 x 的集合。 ? 2 ? ?
a?c sin B ? . b ? c sin A ? sin C

19、 （12 分）△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,若 ⑴ 求角 A；

⑵ 若 f ( x) ? cos2 ( x ? A) ? sin2 ( x ? A) ，求 f ( x ) 的单调递增区间.

20、 （13 分） 某地正处于地震带上，预计 20 年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新 城区， 同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m ， 每年拆除的数量相 同；新城区计划第一年建设住房面积 a m ，开始几年每年以 100%的增长率建设新住 房，从第五年开始，每年新建的住房面积都比上一年新建的住房面积增加 a m .设第
2 2 2

n (n ? 1, 且n ?N)年新城区的住房总面积为 an m2 ，该地的住房总面积为 bn m2 .
⑴求 an； ⑵若每年拆除 4a m ，比较 an+1 与 bn 的大小. 21、 （14 分） 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn，点 ? n,
*

2

? ?

Sn ? ? 在直线 y ? x ? 4 上．数列 ?bn ? n ?

满足 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N ) ，且 b4 ? 8 ，前 11 项和为 154 .

⑴求数列{an}、{bn}的通项公式； ⑵设 cn ?

k 3 ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn ，求使不等式 Tn ? 对一切 75 2(an ? 2)(2bn ? 5)

n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值；
⑶ 设 f ( n) ? ?

?a n , (n ? 2l ? 1, l ? N * ), ? * 是 否 存 在 m ? N ， 使 得 f (m ? 9) ? 3 f (m) 成 * ?bn , (n ? 2l , l ? N ). ?

立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．

数学（理）答案及解析：
1、A 考察数列的特点可知选 A. 2、C 考察三角形的面积公式 S ? ?

1 ac sin B ，选 C。 2

3、C 考察等差数列的通项公式,可知 a1 ? 1，由 an ? a1 ? ? n ?1? d 解得 n=11，选 C。 4、B 考察和角的余弦公式，原式 ? ? cos ? 34? ? 26? ? ? ?

1 ，选 B。 2

5、B 考察等比数列定义的理解，C 中若 bn ? 0 则非等比，选 B。 6、D 考察正弦定理，由 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B 得 2sin A cos A ? 2sin B cos B ，即

sin 2 A ? sin 2 B ，所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ，即 A=B 或 A ? B ?
2

?
2

。选 D。

7、C 考察诱导公式及倍角公式， sin 74? ? cos16? ? 2cos 8? ?1 ? m ，选 C。 8、A 考察等比数列的前 n 项和公式，设 Sn ? k ? kq n （其中 k ?

a1 ） ，则 S ? k ? kq10 ， 1? q

T ? k ? kq20 ， R ? k ? kq30 ，检验知选 A。
9、C 考察和角的正切公式， PB ? tan ? , DQ ? tan ? ， PQ ? PB ? DQ ，由勾股定理

PQ2 ? AP2 ? AQ2 ，即 ? tan ? ? tan ? ? ? ?1 ? tan ? ? ? ?1 ? tan ? ? ，即
2 2 2

tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ，故 ? ? ? ?

?
4

。选 C。

10、 考察等差、 C 等比数列的有关性质， ①的反例： n}为常数列， {a ③的反例： n}的 q ? ?1, n {a 为偶数。选 C。

11、5 考察等差中项， m ?

?5 ? 2 6 ? ? ?5 ? 2 6 ? ? 5 。
2

12、考察正弦定理，由

? 3? a c 2 ? 得 sin C ? ，所以 C ? 或 。 4 4 sin A sin C 2

13、考察三角恒等变换及三角函数的性质，

? ? ?? ? y ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ，由 2 x ? ? k? ? 得 4 2 4? ?
对称轴为 x ?

k? 3? ? ?k ? Z ? 2 8

14 、 考 察 解 三 角 形 的 实 际 应 用 ， 过 A 作 垂 线 ， 垂 足 为 C ， 则 AC 为 最 近 距 离 ，

BC ? AB cos15? ? 200

?

6 ? 2 ，由

?

BC ?5 40

?

6 ? 2 知答案填 5

?

?

6? 2 。

?

15、考察观察、分析、归纳的能力，

sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ?
16、考察三角恒等变换， 原式 ?

3 ，其中 ? ? ? ? 30? 。 4

2sin x ? cos x ? sin x ? ? 2sin x cos x ? sin 2 x sin x 1? cos x
（10 分）

（6 分）

?? ? ?? ? ? ? cos ? ? 2 x ? ? ? cos 2 ? ? x ? ?2 ? ?4 ?
2??

7 ? ?4? ? 1 ? 2 cos ? ? x ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 25 ?4 ? ?5?

2

（12 分）

17、考察解三角形的知识，连接 AC，则可知 ?BAC ? 90?, ?ACB ? 45?, AC=2，（4 分） ，
2 2 2 在 ?ACD 中 ， 由 余 弦 定 理 AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD ? cos ?ACD （ 8 分 ） 得

（12 分） AD2 ? 4 ? 49 ? 2 ? 2 ? 7 ? cos60? ? 39 ，故 AD ? 39 。 18、考察三角恒等变换及三角函数的性质，

f ? x ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ?? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2sin x cos x

?? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
⑴周期 T ?

（4 分）

2? ? ? ? k ? Z *? ； （6 分） 2

⑵当 x ? ? ?

? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ?? , 0 ? 时， 2 x ? ? ? ? , ? ， f ? x ? 在 ? ? , ? ? 上递减，在 ? ? , ? 4 ? 4 4? 2? ? 2 ? ? 4 ? 2 4?
?
4 ??

上递增，所以当 2 x ?

?
2

时， f ? x ? 取最小值 ? 2 ， （10 分）此时 x 的集合为

? 3? ? （12 分） ?? ? 。 ? 8 ?
19、解三角形与三角函数的综合， (1)由正弦定理得 a ? c ? b ，即 a2 ? b2 ? c2 ? bc ， （3 分） b?c a?c 由余弦定理得 cos A ?

1 ，∴ A ? ? ； 分） （6 2 3
2

(2) f ( x ) ? cos ( x ? ) ? sin ( x ? ) ? 3 3

2

?

?

1 ? cos(2 x ? 2

2? 2? ) 1 ? cos(2 x ? ) 3 ? 3 ? ? 1 cos 2 x ， 2 2

（10 分）

由 2k? ? 2 x ? 2k? ? ? ，得 k? ? x ? k? ? 故 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? , k? ?

?
2

，

?
2

] ， k ? Z . （12 分）
2

20、解：⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 cn m ，则 当 1 ? n ? 4 时， cn ? 2n?1 a ；当 n ? 5 时， cn ? (n ? 4)a . 所以, 当 1 ? n ? 4 时， an ? (2n ? 1)a ； 当 n ? 5 时， an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? …? (n ? 4)a ?

n 2 ? 9n ? 22 a. 2

?(2n ? 1)a(1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n 2 ? 9n ? 22 . a(n ? 5). ? ? 2

（6 分）

⑵ 1 ? n ? 3 时， an?1 ? (2n?1 ? 1)a ， bn ? (2n ? 1)a ? 64a ? 4na ，显然有 an?1 ? bn .

n ? 4 时， an?1 ? a5 ? 24a ， bn ? b4 ? 63a ，此时 an?1 ? bn .

5 ? n ? 1 6 时， an ?1 ?

n 2 ? 11n ? 12 n2 ? 9n ? 22 a ， bn ? a ? 64a ? 4na ， 2 2

an?1 ? bn ? (5n ? 59)a . 所以, 5 ? n ? 11 时， an?1 ? bn ；
12 ? n ? 16 时， an?1 ? bn . n ? 17 时，显然 an?1 ? bn .

故当 1 ? n ? 11 时， an?1 ? bn ；当 n ? 12 时， an?1 ? bn .（13 分） 21、解： （1）由题意，得

Sn ? n ? 4 ，即 S n ? n 2 ? 4n ． n

2 故当 n ? 2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 4n - (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 2n ? 3 ． 注意到 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 5 ，而当 n ? 1 时， n ? 4 ? 5 ，

所以， an ? 2n ? 3 (n ? N * ) ． 又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ，即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ) ，

11(b4 ? b8 ) ? 154． 2 20 ? 8 ? 3， 而 b4 ? 8 ，故 b8 ? 20 ， d ? 4 因此， bn ? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 ，
所以 ?bn ? 为等差数列，于是 即 bn ? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 (n ? N ) ． （5 分） 3 3 （2） cn ? ? 2[(2n ? 3) ? 2][2 ? (3n ? 4) ? 5] 2(an ? 2)(2bn ? 5)
*

3 1 1 ． ? ? 2(2n ? 1)(6n ? 3) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 所以， Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 4 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ． 4 2n ? 1 4n ? 2 n ?1 n 1 ? ? ?0 由于 Tn ?1 ? Tn ? 4n ? 6 4n ? 2 (4n ? 6)(2n ? 1) 1 因此 Tn 单调递增，故 (TN ) min ? ． 6 1 k 1 令 ? ，得 k ? 12 ，所以 k max ? 12 ． （10 分） 6 75 2 ?2n ? 3(n ? 2l ? 1, l ? N * ) ? （3） f (n) ? ? ?3n ? 4(n ? 2l , l ? N * ) ? ?
① 当 m 为奇数时， m ? 9 为偶数． 此时 f (m ? 9) ? 3(m ? 9) ? 4 ? 3m ? 23 ， 3 f (m) ? 6m ? 9 所以 3m ? 23 ? 6m ? 9 , m ?

14 ? N * (舍去) 3

② 当 m 为偶数时， m ? 9 为奇数． 此时， f (m ? 9) ? 2(m ? 9) ? 3 ? 2m ? 21， 3 f (m) ? 9m ? 12 ， 所以 2m ? 21 ? 9m ? 12 ， m ?

33 ? N * （舍去） ． 7

综上，不存在正整数 m ，使得 f (m ? 9) ? 3 f (m) 成立．

（14 分）