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2-13 定积分与微积分基本定理


定积分与微积分基本定理 一、选择题
新 课 标 第 一 网

[A 组 基础演练· 能力提升]

1 1 1 1 1 3 1.设 a=? ?0x-3dx,b=1-? ?0x2dx,c=? ?0x dx,则 a,b,c 的大小关系为(

)

w

w w .x k b 1

.c o m

A.a>b>c 2.函数 y= A.是奇函数

B.b>a>c

C.a>c>b )

D.b>c>a

(cos t+t2+2)dt(x>0)(

B.是偶函数 D.以上都不正确

C.非奇非偶函数

3.(2014 年大同模拟)若函数 f(x)= A.1 B.2 4 C. 3 5 D. 3

,则 f(2 012)=(

)

1? 2 ? 1 ?5 4.已知 a=∫1? ?-x2?dx,则?x+x+2a? 的展开式中的常数项为( A.21 B.-21 C.-51 D.51

)

5.由曲线 y= x与直线 x=1,x=4 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为( A. 14 3 5 B. 3 10 C. 3 16 D. 3 )

)

2 ?x2,x∈[0,1], ? 6.(2014 年潍坊高三模拟)设 f(x)=? 则? ?0f(x)dx=( ?2-x,x∈?1,2], ?

3 A. 4 二、填空题

4 B. 5

5 C. 6

D.不存在

1 7.曲线 y= +2x+2e2x,直线 x=1,x=e 和 x 轴所围成的区域的面积是________. x
一*网

新*课*标*第*

8.图中阴影部分 的面积等于________.

9.如图,矩形 ABCD 内的阴影部分是由曲线 f(x)=2x2-2x 与直线 y=2x 围成的, 现向矩 形 ABCD 内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为________. 三、解答题 1 10.求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

1 11.如图求由两条曲线 y=-x2,y=- x2 及直线 y=-1 所围成的图形的面积. 4

12.(能力提升)如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的 两部分,求 k 的值.

[B 组 因材施教· 备选练习] 1.如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y=x2 图象下方的点构成的 区域,若在 D 内随机取一点,则该点在 E 中的概率为( 1 A. 5 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2 )

2.由曲线 y=3-x2 与直线 2x+y=0 所围成的图形的面积为________. 3. 设 a=?π(sin x+cos x)dx, 则二项式?a x-

?0

?

1 ?6 的展开式中含 x2 项的系数是________. x?

定积分与微积分基本定理 1-6AACCAC

答案

解析:由题意可得 a=? ? x 3dx=


1 0

1

3 1 3 |1 0 = x3|0 = ;b=1-? ?0x2dx=1- 2 2

2

1 1

|1 0 = 1-

x 1 1 3 ?2-0?= 1;c=? ?0x dx= 4 |0 =4,综上 a>b>c,故选 A. ?3 ? 3
1

4

t ? 2 解析:y=? ?sin t+ 3 +2t?

3

2x3 =2sin x+ +4x,为奇函数. 3 1 =2x+ , 故 f(2 012)=f(4×503)=f(0) 3

1 3 解析: 依题意得, 当 x≤0 时, f(x)=2x+ sin 3t 3 1 4 =20+ = ,选 C. 3 3

1? 1 2 ?1? 2 ? 1 ?5 ? 1 ?5 ?? 1? ?5 4 解析:∵a=∫1? ?-x2?dx=?x?|1 =-2,∴?x+x+2a? =?x+x-1? =??x+x?-1? ,
5 ? 1?5-r(-1)r(0≤r≤5,r∈N).当 r=5 时,T6=C5 故其展开式的通项为 Tr+1=Cr ×1×(- 5 x+x ? ?

1?5-r k 5-r-k?1?k k 5-r - 1)5=-1.当 0≤r<5 时,? ?x+x? 的展开式的通项为 T′k+1=C5-r x ?x? =C5-r x
2k

5-r (0≤k≤5-r,k∈N).令 5-r-2k=0,得 k= .∵0≤r<5,r∈N,0≤k≤5-r,k∈N, 2

? ? ?r=1, ?r=3, ∴r 只能取 1 或 3,相应的 k 的值为 2 或 1,即? 或? ∴所求展开式的常数项 ?k=2 ?k=1. ? ?
2 1 3 1 3 为 C1 5C4(-1) +C5C2(-1) +(-1)=-51.

5 解析:所求的封闭图形的面积为 S=? ?

4 1

2 3 4 14 xdx= x2|1 = . 3 3

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2 1 2 1 2? 2 1? 5 1 31 1 ? 2 6 解析:? ?0f(x)dx=? ?0x dx+? ?1(2-x)dx =3x |0 +? ?2x-2x ?|1 .=3+?4-2-2+2?=6.
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e e 1 e1 e e +2x+2e2x?dx=∫1 7 解析: 由题意得, 所求面积为∫1? dx+∫12xdx+∫12e2xdx=ln x|1 x ? ? x

+x2|1 +e2x|1 =(1-0)+(e2-1)+(e2e-e2)=e2e.
2 3 8 解析:所求面积为? ? 3x dx= x |0 =1.答案:1 1 0 1

e

e

9 解析:曲线 f(x)=2x2-2x 与直线 y=2x 的交点为(0,0)和(2,4),曲线 f(x)=2x2-2x 与 x 1 1? ? 1? 轴的交点为(0,0)和(1,0),其顶点为? ?2,-2?,所以矩形 ABCD 的面积为?4+2?×2=9,阴影 8 3 8 2 8 2 3? 2 2 部分的面积为? ?0(2x-2x +2x)dx=? ?2x -3x ?|0 =3,所以该点落在阴影 部分的概率为9=27.
2

y=2-x, ? ? ?y= x, 10 解析:由? 得交点 A(1,1);由? 得交点 B(3,-1). 1 ?y=2-x, ? ?y=-3x, 1 1 x+ x?dx+?3?2-x+ x?dx= 故所求面积 S=? ? 3 3 ? ? ? ? ? ?
1 0 1

? +?2x-1x2?? ? 3 ?? ?0 ? ?1

1

3

2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6

? ?y=-x2, ?y=-4x2, ? 11 解析:? 得交点 A(-1,-1),B(1,-1).由? ?y=-1, ? ? ?y=-1,
1 2 ? ? 4 ? 1 1 2 2 2? 得交点 C(-2,-1),D(2,-1).∴所求面积 S=2?∫0?-4x +x ?dx+? ?-4x +1?dx?= . ?1 ? ? 3 12 解析:抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1,所以,抛物线与 x
?y=x-x , x 1 3? 1 1 ? 2 - x |0 = .又? 轴所围图形的面积 S=? 由此可得,抛物线 y=x ?0(x-x )dx=? ?2 3 ? 6
1 2 2

1

? ?y=kx,

1-k 2 1 3? S 1-k -x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0, x4=1-k, 所以,=∫0 (x-x2-kx)dx=? 2 ? 2 x -3x ?

|

1-k 0

3 3 1 1 1 1 4 3 3 = (1-k) .又知 S= ,所以(1-k) = ,于是 k=1- =1- . 6 6 2 2 2 2 2 2 16 2 1 由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 S 阴=2∫0x2d x= x3|0 = ×23-0= , 又 3 3 3

16 3 1 S 阴 正方形的面积 S 正=42=16,所以由几何概型可得该点在 E 中的概率为 = = . 答案:C S正 16 3
2 ? ?y=3-x ? 2 解析:由 ,消去 y 得:x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3.所以曲线 y=3 ? ?2x+y=0

-x 2 与直线 2x+y=0 的交点为 A(3,-6),B(-1,2).故围成的图形即为图中的阴影 部分, 其面积为 [(3 - x2) - ( - 2x)]dx = 1 3 ( - x2 + 2x + 3)dx = ( - x3 + x2 + 3x) |-1 = 3

?-1×33+32+3×3?-?-1×?-1?3+?-1?2+3×?-1??=9+5=32. ? 3 ? ? 3 ? 3 3 ? 3 解析:依题意得 a=?π(sin x+cos x)dx=(sin x-cos x)? =2.注意到二项式?a x- ?0 ?0 ?
6 π

1? x?

1 - 6-r? 6-r - ?r=Cr 的展开式的通项是 Tr+1=Cr (-1)rx3 r.令 3-r=2 得 r=1,因此二 6(a x) 6a x? ?

项式?a x-

?

1 ?6 6-1 的展开式中含 x2 项的系数等于 C1 (- 1)1=-6a5=-6×25=-192. 6a x?


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