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山东省潍坊市2015届高三上学期期末考试数学试题(文,A卷)


高三数学(文)
2015.2 本试卷共 5 页,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位 置上。 2.第 I

卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

a?i 为纯虚数,则实数 a ? 2?i 1 1 A. ?2 B. ? C.2 D. 2 2
1.复数 2.设集合 M ? x ? ? x ? ? , N ? x y ? A. ? 2,5? B. ?1,5? C.

?

?

?

x ? 2 ,则M ? N ?
D. ?1,5?

?

? 2,5?

3.下列说法中正确的是 A.命题“若 x ? y,则 ? x ? ? y ”的逆否命题是“若 ? x ? ? y ,则 x ? y ” B.若命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 0,则?p : ?x ? R, x ? 1 ? 0
2 2

C.设 l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平面,若 l ? ? , l ? ?,则? / / ?
2 D.设 x, y ? R ,则“ ? x ? y ? ? x ? 0 ”是“ x ? y ”的必要而不

充分条件

4.定义在 R 上的偶函数 y ? f ? x ? 的部分图象如图所示,则在 上,下 列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x ? 1
2

? ?2,0?

B. y ? x ?1 D. y ? ?

C. y ? ?

?2 x ? 1 x ? 0
3 ?x ?1 x ? 0

?e x x ? 0 ? ?x ? ?e x ? 0

2 2 5. 若过点 P ?2 3, ?2 的直线与圆 x ? y ? 4 有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是

?

?

·1 ·

A. ? 0,

? ?

??
? 6?

B. ? 0, ? ? 3? D. ? 0,

? ??

C. ? 0, ? ? 6?

? ??

? ?

??
3? ?


6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的外接球的表面积 A. 36?

9 ? 4 C. 9? 9 ? D. 2
B. 7. 如图,向边长为 2 的正方形中随机投入一粒黄豆,若圆 C 的方程 为

? x ? 2? ? ? y ? 2?
2

2

A.

9? 64

C. 1 ?

8.运行右面的程序框图,若输入 n ? 2015 ,则输出的 a ?

? 4

9 ,则黄豆落 入阴影部 分的概率为 4 9? B. 1 ? 64 ?
D.

? 4

A.

4030 4029 2015 4029 4030 4031 2015 4031

B.

C.

D.

9.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 3 千克,B 原料 1 千克;生产乙 产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克,B 原料 3 千克.每生产一桶甲产品的利润 400 元,每生产一桶乙产品的 利润 300 元.公司在生产这两种产品的计划中,每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克,通过合理安排 生产计划,公司每天可获得的最大利润是(单位:元) A.1600 B.2100 C.2800 D.4800

·2 ·

10. 设 方 程 x ? ax ? 4 ? 0 的 各 实 根 为 x1 , x2 , ???, xk ? k ? 4? . 若 点 ? xi ,
4

? ?

4? ??? ,k? 均 在 直 线 ? ? i ? 1, 2, xi ?

y ? x 的 同侧,则实数 a 的取值范围是
A. C.

? 4, ??? ? 6, ???

B. D.

? ??, ?6? ? ? 6, ??? ? ??, ?4? ? ? 4, ???
共 100 分)

第 II 卷(非选择题

注意事项: 将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若向 量 a,b 的夹角为 150 , a ? 3, b ? 4,则 2a ? b ? ___________. 12.已知 4a ? 2,ln x ? a,则x ? __________. 13.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c .已知 a2 ? b2 ? bc,sin C ? 2sin B ,则角 A 为 __________. 14.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左,右焦点,P 为双曲线右支上的一点,且 a 2 b2

PF1 ? 2 PF2 .若 ?PF1F2 为等腰三角形,则该双曲线的离心率为_________.
15.设函数 f ? x ? 的定义域为 D,若任取 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D 满足 C 为函数 y ? f ? x ? 在 D 上的均值.给出下列五个函数:
2 x ① y ? x ;② y ? x ;③ y ? 4sin x ;④ y ? lg x ;⑤ y ? 2 .则所有满足在其定义域上的均值为 2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? C ,则称 2

的函数的序号为_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? sin x ?
2

1 1 cos 2 x ? , x ? R. 2 2

(I)求函数 f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? , 上的最值; ? 4 2? ?

(II)若将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍, 4
·3 ·

纵坐标不变,得到 g ? x ? 的图象.已知 g ?? ? ? ? , ? ? ?

6 5

? 4? 11? ? ?? ? ? , ? .求 cos ? ? ? 的值. ? 3 6 ? ?2 6?

17.(本小题满分 12 分) 某中学举行了一次“社会主义核心价值观知识竞赛”活动,为了解本次竞赛中学生成绩情况,从 全体学生中随机抽取了部分学生的分数(得分取整数且不低于 50 分,满分 100 分) , 作为样本 (样 本容量为 n)进行统计.按照 ?50,60 ?, 70 ?, 80 ?, 90 ?, ?60, ?70, ?80,

?90,100? 的分组作出频率分布直方图,并作出茎叶图(图中仅列出来 ?50,60??90,100?这两组的数
据).

(I)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x , y ; (II)在选 取的样本中,从样本中竞赛成绩 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到市政 广场参加社会主义核心价值观知识宣传志愿者活动 .求所抽取 的 2 名同 学来自不同组的概率. 18.(本 小题满分 12 分) 如图,四边形 ACDF 为正方形,平面 ACDF ? 平面 BCDE,





C? 平面 D ABC,BC=2DE,DE//BC E ,M 为 AB 的中点. (I)证明: BC ? AD ; A
(II)证明:EM//平面 ACDF. 19.(本小题满分 12 分)
? 各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知点 ? an , an ?1 ? n ? N 在函数 y ? 3x 的图象上,且

?

?

S3 ? 26.
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 在 an与an?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成公差为 dn 的等差数列, 求数列 ? 和 Tn . 20.(本小题满分 13 分)
·4 ·

?1? ? 的前 n 项 d ? n?

已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点和抛物线 y 2 ? 4 6 x 的焦点相同, 过椭圆右焦点 F 且 b2

垂直 x 轴的弦长为 2. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若与直线 l1 : x ? 2 y ? t ? 0 相垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 B、D 两点,求 ?OBD 的最大值. 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ?1? ? 2 f ? x ?. (I)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间; (II)若对任意 x ? ? 0, ? , g ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的最小值; (III)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x1 , y2 ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上任意不同两点,线段 AB 中点为 C ? x0 , y0 ? , 直线 AB 的斜率为 k.证明: k ? f ? ? x0 ? .

? ?

1? 2?

·5 ·

·6 ·

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·8 ·

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