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高二数学练习题


[A 基础达标] 1 1 1. (2015· 高考重庆卷)若 tan α=3, tan(α+β)=2, 则 tan β=( 1 A.7 5 C.7 1 B.6 5 D.6 )

解析:选 A.tan β=tan[(α+β)-α] = tan(α+β)-tan α 1+tan(α+β)· tan α

1 1 2 -3 1 = = 1 1 7. 1+2×3
?π ? ?π ? 4 2.已知 cos α=-5且 α∈?2,π?,则 tan?4-α?等于( ? ? ? ?

)

1 A.-7 1 C.7

B.-7 D.7

?π ? 4 解析:选 D.因为 cos α=-5,且 α∈?2,π?, ? ?

3 所以 sin α=5,
?π ? 1-tan α sin α 3 所以 tan α=cos α=-4,所以 tan?4-α?= =7. ? ? 1+tan α

3.tan 15° +tan 105° 等于(

)

A.-2 3 C. 4

B.2+ 3 4 3 D. 3

解析:选 A.tan 15° +tan 105° =tan(45° -30° )+tan(45° +60° )= tan 45° -tan 30° tan 45° +tan 60° + =-2 3,故选 A. 1+tan 45° tan 30° 1-tan 45° tan 60° sin α+cos α 1 π? ? 4.若 =2,则 tan?α+4?=( ? ? sin α-cos α A.-2 1 C.-2 B.2 1 D.2 )

sin α+cos α 1 tan α+1 1 解析:选 C.因为 =2,所以 = , sin α-cos α tan α-1 2 π tan α+tan 4 tan α+1 π? 1 ? ?α+ ?= , 因为 = =- tan 4? 2 π ? tan α-1 tan αtan 4-1 π? ? 1 所以 tan?α+4?=-2.
? ?

5.在△ABC 中,若 A 为钝角,则 tan Btan C 的值为( A.大于 0 且小于 1 C.大于 1 B.等于 1 D.不能确定

)

解析:选 A.因为 A 为钝角,所以 B+C 为锐角,所以 B、C 均为 tan B+tan C 锐角,所以 tan B>0,tan C>0,tan(B+C)>0,即 >0, 1-tan Btan C 故 0<tan Btan C<1,故选 A.

1 6.(2015· 高考江苏卷)已知 tan α=-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值为________. tan(α+β)-tan α 解析:tan β=tan[(α+β)-α]= 1+tan(α+β)tan α 1 7-(-2) = =3. 1 1+7×(-2) 答案:3 π? ? 7.已知 tan(α+β)=3,tan?α+4?=2,那么 tan β=________.
? ?

π? 1+tan α ? 1 解析:tan?α+4?= =2, 则 tan α = 3 , 又 tan(α + β) = ? ? 1-tan α tan β+tan α 4 =3,所以 tan β=3. 1-tan αtan β 4 答案:3 8. 已知 tan α+tan β=2, tan(α+β)=4, 则 tan α· tan β=________. 解析:因为 tan(α+β)= tan α+tan β , 1-tan αtan β

tan α+tan β 2 1 所以 1-tan αtan β= = = , tan(α+β) 4 2 1 1 所以 tan α·tanβ=1-2=2. 1 答案:2 9.已知直线 l1:x-2y+1=0,倾斜角为 α,直线 l2:x+3y-1

=0,倾斜角为 β,求 β-α. 1 1 解:由题意可知,tan α=2,tan β=-3, π π 所以 0<α<2,2<β<π.所以 0<β-α<π, tan β-tan α 所以 tan(β-α)= = 1+tan β tan α 3π 所以 β-α= 4 . sin α+2cos α 1 10.已知 tan(π+α)=-3,tan(α+β)= . 5cos α-sin α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值. 1 解:(1)因为 tan(π+α)=-3, 1 所以 tanα=-3, sin α+2cos α tan α+2 因为 tan(α+β)= = , 5cos α-sin α 5-tan α 1 -3+2 5 所以 tan(α+β)= = 1 16. 5+3 (2)因为 tan β=tan[(α+β)-α]= tan(α+β)-tan α , 1+tan(α+β)tan α 1 1 -3-2

1 1=-1, 1-3×2

5 1 16+3 31 所以 tan β= = 5 1 43. 1-16×3 [B 能力提升] 1.(1+tan 21° )(1+tan 22° )(1+tan 23° )(1+tan 24° )的值为( A.16 C.4 B.8 D.2 )

解析:选 C.由于 21° +24° =45° ,23° +22° =45° ,利用两角和的 正切公式及其变形可得(1+tan 21° )(1+tan 24° )=2,(1+tan 22° )(1+ tan 23° )=2, 故(1+tan 21° )(1+tan 22° )(1+tan 23° )(1+tan 24° )=4. tan 18° +tan 42° +tan 120° 2. tan 18° tan 42° tan 60° =________. 解析:因为 tan 18° +tan 42° +tan 120° =tan 60° (1-tan 18° tan 42° )+tan 120° =-tan 60° tan 18° tan 42° , 所以原式=-1. 答案:-1 sin(α+β)-2sin αcos β ?π ? 1 3.已知 tan?4+α?=2,tan β=2,求 的 ? ? 2sin αsin β+cos(α+β) 值. π? 1+tan α ? 解:由 tan?α+4?= =2, ? ? 1-tan α

1 解得 tan α=3. sin(α+β)-2sin αcos β 所以 2sin αsin β+cos(α+β) = = sin αcos β+cos αsin β-2sin αcos β 2sin αsin β+cos αcos β-sin αsin β cos αsin β-sin αcos β sin(β-α) = cos αcos β+sin αsin β cos(β-α) tan β-tan α 1+tan βtan α

=tan(β-α)=

1 1 2 -3 1 = = 1 1 7. 1+2×3 4.(选做题)

如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边的两个锐 角为 α,β,它们的终边分别交单位圆于 A,B 两点,已知 A,B 两点 2 2 5 的横坐标分别是 10 和 5 . (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值. 2 2 5 解: (1)由单位圆中三角函数的定义, 可得 cos α= 10 , cos β= 5 .

7 2 由于 α, β 为锐角, 所以 sin α= 1-cos2α= 10 , sin β= 1-cos2 β 1 7+2 tan α+tan β 5 1 = 5 .从而 tan α=7, tan β=2, 所以 tan(α+β)= = 7= 1-tan αtan β 1-2 -3. (2) 因 为 tan(α + 2β) = tan[(α + β) + β] = tan(α+β)+tan β = 1-tan(α+β)tan β

1 -3+2 π π 3π =- 1 , 又 0 < α < , 0 < β < , 所以 0 < α + 2 β < 3 2 2 2 ,从而 α+ 1+2 3π 2β= 4 .



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