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3.3.2简单的线性规划


简单的线性规划(2)

复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结 论 : 形 如2 x ? y ? t ( t ? 0) 的直线与 2 x ? y ? 0平 行.

o

x

2016/9/27<

br />
2.作出下列不等式组的所表示的平面区域

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

2016/9/27

Y

A:(5,2) B:(1,1) C:(1,4.4)

C
A

X-4y+3=0

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

B

O
X=1

3x+5y-25=0

X

问题1:x 有无最大(小)值? 问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?
2016/9/27

二.提出问题 把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,z的最大值和最小值.

2016/9/27

Y

A:(5,2) B:(1,1) C:(1,4.4)

Z=2x+y

C
A

X-4y+3=0

B

O
X=1

3x+5y-25=0

X Zmax=12

此时Z=12 此时Z=3 2x+y=1 2x+y=0

Zmin=3
2016/9/27

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x-4y+3=0

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先 作 出 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域 .

C
5

2.作直线 l0 : 2 x ? y ? 0
3.作一组与直线 l 0 平行的 直线l : 2 x ? y ? t , t ? R

A B
O
1 5 x=1

2x ? y ? 0

直线L越往右平 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小. 2016/9/27 Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3

线性规划
问题:
目标函数 (线性目标函数)

线性约 束条件

设z=2x+y,式中变量满足 下列条件: 最优解

x ? 4 y ? ? 3 ? ? ?3x ? 5 y ? 25 ? ?x ? 1

任何一个满足 不等式组的 (x,y)
所有的 可行解

求z的最大值与最小值。 可行域 线性规 划问题

线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解 :满足线性约束条 件的解(x,y)叫可行解;
2x+y=12

2x+y=3

可行域 :由所有可行解组 成的集合叫做可行域;
最优解 :使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(5,2)
(1,1)

线性规划
练习1: 解下列线性规划问题: 求z=2x+y的最大值和最小值,使式中x、y满足下 列条件: 2x+y=0 y 解线性规划问题的一般步骤:
2x+y=-3 y ? x ? 1 1 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; C( , ) ? 2 2 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; ?x ? y ? 1 O x ? y ? ?1 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数 B(2,-1) ? 2x+y=3

的最大值或最小值。

A(-1,-1)

答案:当x=-1,y=-1时,z=2x+y有最小值-3. 当x=2,y=-1时,z=2x+y有最大值3.
探索结论

线性规划
例2 解下列线性规划问题: 求z=300x+900y的最大值和最小值, 使式中x、y满足下列条件:

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? ? x+3y=0 x ? 0 ? ? ?y ? 0 300x+900y=0

y
2x+y=300 A
300x+900y=112500

125

C x+2y=250 150 B 250

O

答案:当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0. 当x=0,y=125时,z=300x+900y有最大值112500.
探索结论

练习2、已知 ?y ? x ? 1 ? ?x - 5y ? 3 ?5x ? 3y ? 15 ? 求z=3x+5y的最大值和最小值。

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3 x

O
-1

1 5

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11





解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;
(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

几个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。

线性规划

作业

练习3(2004高考全国卷4理科数学试题(必修+选
修Ⅱ甘肃青海宁夏贵州新疆等地区)第16题)

解下列线性规划问题:求z=2x+y的最大值, 使式中x、y满足下列条件: ? x ? y ? 1, ? ? y ? x, ? y ? 0, ? 答案:当x=1,y=0时,z=2x+y有最大值2。
探索结论

线性规划
?2x ? 3 y ? 24 ?x ? y ? 7 ? ? ?y ? 6 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

作业
x-y=7 C(3,6) y=6
3x+y=29

练习4 解下列线性规划问题: 求z=3x+y的最大值,使式中 y 8 x、y满足下列条件:

(0,6)

2x+3y=24

B(9,2) O A (7,0)
3x+y=0

12

x

答案:当x=9,y=2时,z=3x+y有最大值29.
探索结论


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