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2016年高考全国2卷文数试题及答案


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的。

2,, 3} B ? {x | x2 ? 9} ,则 A ? B ? (1)已知集合 A ? {1,
? 1,, 0 1, 2} ? 1,, 0 1,, 2 3} (B) { ? 2, (A) { ? 2,

2 3} (D) {1, 2} (C) {1,,

(2)设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z = (A) ?1? 2i (B) 1 ? 2i (C) 3 ? 2i (D) 3 ? 2i (3) 函数 y =A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3
(4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 (A) 12 ? (B)

32 ? (C) ?? (D) ?? 3

(5) 设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (A)

k (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k= x

1 3 (B)1 (C) (D)2 2 2 4 3 (B)? (C) 3 (D)2 3 4

(6) 圆 x2+y2?2x?8y+13=0 的圆心到直线 ax+y?1=0 的距离为 1,则 a= (A)?

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到 该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 (A)

7 5 3 3 (B) (C) (D) 10 8 8 10

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程 序框图,若输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34 (10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 (A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D) y ? (11) 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4(B)5

1 x

π ? x) 的最大值为 2

(C)6 (D)7

(12) 已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2-x),若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为(x1,y1) , (x2,y2),?, (xm,ym) ,则 (A)0

?x =
i ?1 i

m

(B)m

(C) 2m

(D) 4m

二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分. (13) 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=___________.

?x ? y ?1 ? 0 ? (14) 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=x-2y 的最小值为__________ ?x ? 3 ? 0 ?
(15)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? b=____________.

4 5 , cos C ? ,a=1,则 5 13

(16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看 了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡 片上相同的数字不是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数字是 ________________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }中, a3 ? a 4 ? 4, a5 ? a 7 ? 6 (I)求{ an }的通项公式; (II) 设

bn =[ an ] ,求数列 { bn } 的前 10 项和,其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如

[0.9]=0,[2.6]=2 (18)(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的 保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(I)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求 P(A)的估计值; (II)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P(B)的估计值; (III)求续保人本年度的平均保费估计值.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H,将 ? DEF 沿 EF 折到 ? D ' EF 的位置. (I)证明: AC ? HD ' ; (II)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D '? ABCEF 体积. 4

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) . (I)当 a ? 4 时,求曲线 y ? f ( x) 在 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (II)若当 x ? ?1, ?? ? 时, f ( x)>0 ,求 a 的取值范围. (21) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点,斜率为 k ? k>0? 的直线交 E 与 A,M 两点,点 N 在 已知 A 是椭圆 E: 4 3
E 上, MA ? NA . (I)当 AM ? AN 时,求 ? AMN 的面积 (II)当 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 . 请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD 中,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x + 6)2 + y 2 = 25 .

(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
ì ? ? x = t cos α, t l 与 C 交于 A, B 两点, AB = 10 , (Ⅱ) 直线 l 的参数方程是 í ( 为参数) , ? ? ? y = t sin α,

求 l 的斜率. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)证明:当 a,b ? M 时, a + b < 1 + ab .
1 1 + x + ,M 为不等式 f ( x) < 2 的解集. 2 2

D C A A D A C B C D B B

?6 ?5
21 13
1和 3
17. 【试题分析】 (I)先设 ?an ? 的首项和公差,再利用已知条件可得 a1 和 d ,进而可得 ?an ? 的通 项公式; (II)根据 ?bn ? 的通项公式的特点,采用分组求和法,即可得数列 ?bn ? 的前 10 项和.

18. 【试题分析】 (I)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数,进而可得 ? ? ?? 的 估计值; (II) 由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%的频数, 进而可得 ? ? ? ? 的估计值; (III)计算出险次数的频率,进而可得续保人本年度的平均保费估 计值.

19. 【试题分析】 (I)先证 ?C ? ?? , ?C ? ?D? ,再证 ?C ? 平面 ?? D? ,即可证

?C ? ? D? ;(II)先证 ?D? ? ?? ,进而可证 ?D? ? 平面 ?? CD ,再计算菱形 ?? CD 和
??FD 的面积,进而可得五棱锥 D '? ABCEF 的体积.

20.

21. 【试题分析】 (I)设点 ? 的坐标,由已知条件可得点 ? 的坐标,进而可得 ???? 的面积.

请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.

【试题分析】 (I)先证 ?DFC∽??DC ,再证 ?FDG∽?FC? ,进而可证 ? , C , G , F 四 点共圆; (II)先证 ?GF? ? ?GC? ,再计算 ?GC? 的面积,进而可得四边形 BCGF 的面积. 解析: (I)在正方形 ?? CD 中, ??DF ? ?DCF ,所以 ??DC ? ?FC? 因为 DF ? C? ,所以 ?DFC ? ??DC ? 90? ,所以 ?DFC∽??DC

1 1 1 1 C? ? CG ? ?1? ? 2 2 2 4 1 所以 S四边形?CGF ? 2 S ?GC? ? 2
所以 S ?GC? ? 23. 【试题分析】 (I)利用 ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? 可得 C 的极坐标方程; (II)先将直线 l 的参 数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得 l 的斜率.
2 2 2 解析: (I)由 ? x ? 6 ? ? y ? 25 得 x ? y ? 12 x ? 11 ? 0 2

? ? 2 ? x2 ? y 2 , x ? ? cos?

? ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0
故 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 (II)由 ?

? x ? t cos ? ( t 为参数)得 y ? tan ? x ,即 tan ? x ? y ? 0 ? y ? t sin ?

圆心 C ? ?6,0? ,半径 r ? 5

? 10 ? ? ?? ? 3 10 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d ? r ? ? ? ? ? ? 5 ?? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?
2

2

2



?6 tan ? tan 2 ? ? 1

?

15 15 3 10 ,解得 tan ? ? ? ,所以 l 的斜率为 ? . 3 3 2

24. (

1 1 1 1 ? x ? 时, f ? x ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ? x ? 2 2 2 2 1 1 当 x ? 时, f ? x ? ? 2 x ? 2 ,解得 x ? 1 ,所以 ? x ? 1 2 2
当? 所以 ? ? ? ?1,1? ( II
2 2



? a ? b ? ? ?1 ? ab ?

? a 2 ? 2ab ? b 2 ? ?1 ? 2ab ? a 2b 2 ? ? a 2 ? 1 ? b 2 ?1 ? a 2 ? ? ? a 2 ? 1??1 ? b 2 ?

? ?1 ? a ? 1 , ?1 ? b ? 1

? 0 ? a 2 ? 1 , 0 ? b2 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 0 , 1 ? b2 ? 0 ? ? a ? b ? ? ?1 ? ab ?
2 2

即 a ? b ? 1 ? ab



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