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二次函数与幂函数


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数学(理)

第二章 函数、导数及其应用

第1页

第二章

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第四节

二次函数与幂函数

查清· 基础知识

/>
探究· 命题热点

第2页

第二章

第四节

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最新考纲 1.了解幂函数的概念。2.结合函数y=x,y=x2,y=x3, 1 y= x ,y=x 2 的图象,了解它们的变化情况。3.理解并掌握二次函数的 定义、图象及性质。4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简 单问题。
1

第3页

第二章

第四节

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C 查清· 基础知识

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知 识 梳 理
1.幂函数 y=xα (1) 定 义 : 形 如 _________( α∈R) 的 函 数 叫 幂 函 数 , 其 中 x 是 自变量 ,α是常数。 _________
(2)幂函数的性质 函数 特征 性质 定义域 R R R y=x y=x
2

y=x

3

1 y=x2

y=x-1

(-∞,0)∪ ____________ [0,+∞) (0,+∞) ____________

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第二章

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函数 特征 性质 值域 奇偶性 R y=x y=x2 y=x3

1 y=x2

y=x-1

[0,+∞) _________
偶 在 (0,+∞) _________ 上增 在(-∞, 0)上减

R 奇

(-∞,0)∪ ____________ [0,+∞) (0,+∞) ____________
/ 奇

奇 ____

(0,+∞) 在__________ 增 ____ 增 ____
上减 在(-∞,0)上 减 (1,1)
第二章 第四节

单调性



定点

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2.二次函数

(1)二次函数的三种形式 ax2+bx+c 一般式:f(x)=_____________( a≠0);
(h,k) ; 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为________

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点。

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(2)二次函数的性质
函数 图象 定义域 值域 单调性 R y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

?4ac-b ? ? ,+∞? __________________ 4 a ? ?

2

b? 减 在 -∞,-2a? ?___ ? ? ? b ? 增 在?-2a,+∞? ?___ ? ?

? ? ? ?

对称性

b? 增 在 -∞,-2a? ?___ ? ? ? b ? 减 在?-2a,+∞? ?___ ? ? b 函数的图象关于x=-2a对称

? 4ac-b2? ?-∞, ? __________________ 4 a ? ?
? ? ? ?

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[想一想]

基 础 自 测

判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=(x+1)3,y=x3+1,y= x都是幂函数。( × ) (2)二次函数y=ax +bx+c,x∈[m,n]的最值一定是 ( × ) (3)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数。( × ) (4)幂函数的图象都 经过点(1,1)和点(0,0)。( × ) (5)当n>0时,幂函数y=xn是(0,+∞)上的增函数。( √ )
?a>0, (6)关于x的不等式ax +bx+c>0恒成立的充要条件是 ? 2 ?b -4ac<0。
2 2

4ac-b2 4a



( ×)
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解析

(1)错误。根据幂函数的定义可知,y= x 是幂函数,而y=(x

+1)3和y=x3+1都不是幂函数。 (2)错误。当二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴在区间[m,n] 4ac-b2 时,最值一定是 4a ;否则,不是。 (3)错误。当b=0时,二次函数为偶函数。 1 (4)错误。y=x是幂函数,但图象不过点(0,0)。 (5)正确。由幂函数的图象可知。 (6)错误。当a=0,b=0,c>0时也恒成立。

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[练一练]
? ? 1? 1? ? 1.幂函数y=f(x)的图象经过点 4,2?,则f? ? ?的值为( ? ?4? ? ? ? ?

)

A.1 C.3
α α

B.2 D.4

1 1 解析 设f(x)=x ,则4 =2,∴α=-2,
?1? 1? 1 ? ? ? ∴f 4?=?4?-2=2。 ? ? ? ? ? ? ?

答案 B

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2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上
( ) A.先减后增 B.先增后减

C.单调递减
解析

D.单调递增

因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,所以2m=0,即m=

0。所以f(x)=-x2+3。 由二次函数的单调性可知, f(x) =- x2 + 3 在 ( - 5 ,- 3) 上为增函 数。 答案 D

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3.如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象。 1 已知n取± 2,±2 四个值,则相应于曲线C1,C2,C3, C4的n值依次为( ) 1 1 B.2,2,-2,-2 1 1 D.2,2,-2,-2 1 1 A.-2,-2,2,2 1 1 C.-2,-2,2,2

解析 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知,曲线C1,C2, 1 1 C3,C4所对应的n依次为2,2,-2,-2。 答案 B

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4.设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a的 值为( )

-1 - 5 A. 2 C.1

-1+ 5 B. 2 D.-1

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解析

因为b>0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴

在y轴右侧,故a<0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,

故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1,故选D。
答案 D

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5.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则 [1,2] 。 m的取值范围为________
解析 y=x2-2x+3的对称轴为x=1。

当m<1时,y=f(x)在[0,m]上为减函数。
∴ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2。 ∴m=1与m<1矛盾,舍去。

当1≤m≤2时,ymin=f(1)=12-2×1+3=2,
ymax=f(0)=3。 当m>2时,ymax=f(m)=m2-2m+3=3。

∴m=0或m=2,与m>2矛盾,舍去。
综上所述,1≤m≤2。

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T 探究· 命题热点

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考点一

幂函数的图象与性质
(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图

【例1】 象是( C )

3? (2)设a= 5? ? ? a>c>b 。 ________

? ? ? ?

2 5

2? ,b= 5? ? ?

? ? ? ?

3 5

2? ,c= 5? ? ?

? ? ? ?

2 5

,则a,b,c的大小关系是

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【解析】 (1)令f(x)=xα,则4α=2, 1 ∴α=2。∴f(x)=x2 。故图象为C的图象。
2 (2)∵y=x5
? ? ? ?

1

(x>0)为增函数,∴a>c。

2? x ∵y= 5? ? (x∈R)为减函数,∴c>b。∴a>c>b。 ?

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【规律·方法】

(1)幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复

杂,一般从两个方面考查:
① α 的正负: α>0 时,图象过原点和 (1,1) ,在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降。

②曲线的第一象限的凹凸性: α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上
凸;α<0时,曲线下凸。 (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数。借 助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键。

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对应训练1 (1)当0<x<1时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小 h(x)>g(x)>f(x) 。 关系是_______________
1 (2)已知函数f(x)=x2

,给出下列命题:

①若x>1,则f(x)>1; ②若0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)>x2-x1; ③若0<x1<x2,则x2f(x1)<x1f(x2); f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ?。 ④若0<x1<x2,则 <f? 2 2 ? ? ①④ 。 其中,所有正确命题的序号是________

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解析

(1)如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)

上的图象,由此可知h(x)>g(x)>f(x)。 (2)由题意知f(1)=1且函数是增函数,所以当 x>1时,f(x)>1,①正确;当0<x1<x2时,f(x2)- f(x1)>x2-x1? f?x2?-f?x1? >1,所以过图象上每一点的 x2-x1
1 2

切线的斜率都大于1,由幂函数f(x)=x 所以②错;

的图象知,该结论是错误的,

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f?x1? f?x2? 当0<x1<x2时,x2f(x1)<x1f(x2)? x < x ,表明图象上任意一点与原点连 1 2 线的斜率随x的变大而变大,由幂函数f(x)=x
1 2

的图象知,该结论是错

f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ? ,说明函数是凸函 误的,所以③错;当0<x1<x2时, <f ? 2 ? 2 ?
1 数,f(x)=x2

符合,所以④正确。

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考点二

求二次函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大

【例2】

值是8,试确定此二次函数的解析式。
【解】 方法一:(利用一般式): 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。

?4a+2b+c=-1, ?a-b+c=-1, 由题意得? 2 4 ac - b ? ? 4a =8,

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7。

∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7。

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方法二:(利用顶点式):设f(x)=a(x-m)2+n。 ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线的对称轴为x= =2。 2 1 ∴m=2。又根据题意函数有最大值8,∴n=8。 1? 2 ∴y=f(x)=a x-2? ? +8。 ? 1? 2 ∵f(2)=-1,∴a 2-2? ? +8=-1,解得a=-4, ? 1? 2 2 ∴f(x)=-4 x-2? ? +8=-4x +4x+7。 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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方法三:(利用零点式): 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1。 又函数有最大值ymax=8, 4a?-2a-1?-a2 即 =8。 4a 解得a=-4或a=0(舍)。 ∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7。

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【规律·方法】 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:

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对应训练 2

已知y=f(x) 为二次函数,且f(0) =-5,f( -1) =-4,f(2)

=-5,求此二次函数的解析式。
解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5, c=-5, ? ? 所以?a-b+c=-4, ? ?4a+2b+c=-5, 1 2 解得a=3,b=-3,c=-5, 1 2 2 故f(x)=3x -3x-5。

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考点三

二次函数的图象及应用
如图是二次函数y=ax2+bx+c图象

【例3】

的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1。 给出下面四个结论: ①b2>4ac;②2a-b=1; ③a-b+c=0;④5a<b。 其中正确的是( A.②④ C.②③ ) B.①④ D.①③

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【解析】 因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac, ①正确; b 对称轴为x=-1,即-2a=-1,2a-b=0,②错误; 结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误; 由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所 以5a<2a,即5a<b,④正确。 【答案】 B

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【规律 ·方法】

(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、

特殊点对应的函数值这几个方面入手。 (2)而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时,要尽量规范作 图,尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚,

这样在解题时才不易出错。

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对应训练3 设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )

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解析 由A,C,D知,f(0)=c<0。 b ∵abc>0,∴ab<0。∴对称轴x=-2a>0, 知A,C错误,D符合要求。 b 由B知f(0)=c>0,∴ab>0。∴x=-2a<0,B错误。 答案 D

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考点四

二次函数的性质及应用

高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低。常与一元二 次方程、一元二次不等式知识交汇命题是高考的热点,以选择题、填空 题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用。 发散1:二次函数的最值问题 a 1 已知函数y=-x2+ax- 4 + 2 在区间[0,1]上的最大值是 10 -6或 3 。 2,实数a的值为________ 【例4】

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a? 1 2 a ?2 【解析】 y=- x-2? +4(a -a+2),其图象的对称轴为x=2, ? a ①当0≤2≤1,即0≤a≤2时, 1 2 1 2 ymax=4(a -a+2),由4(a -a+2)=2, 得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾,舍去; a ②当2<0,即a<0时,y在[0,1]上单调递减, a 1 有ymax=f(0),由f(0)=2得-4+2=2,解得a=-6。

? ? ? ?

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a ③当2>1,即a>2时,y在[0,1]上单调递增, a 1 有ymax=f(1),由f(1)=2得-1+a-4+2=2, 10 解得a= 3 。 10 综上,得a=-6或a= 3 。

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对应训练4 设函数f(x)=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求g(a)。
解 ∵函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, ∴函数f(x)的对称轴方程为x=1。 当-2<a≤1时,函数f(x)在区间[-2,a]上单调递减,故当x=a时, f(x)取得最小值a2-2a; 当a>1时,函数f(x)在区间[-2,1]上单调递减,在区间[1,a]上单调 递增,故当x=1时,f(x)取得最小值-1。
?a2-2a,-2<a≤1, 综上,g(a)=? ?-1,a>1。

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发散2:二次函数的零点问题 【例5】 已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t, (1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;
? 1? 1 3 ? (2)若 2 <t< 4 ,求证:函数f(x)在区间(-1,0)及 ?0,2? ? 内各有一个零 ? ?

点。
【证明】 (1)∵f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t, ∴f(x)=1?(x+2t)(x-1)=0,(*) ∴x=1是方程(*)的根,即f(1)=1。 因此f(x)=1必有实根。

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1 3 (2)当2<t<4时,f(-1)=3-4t>0, 1 ? f(0)=1-2t=2 2-t? ?<0, ? 1? 1 1 3 f 2? = + (2 t - 1) + 1 - 2 t = ? 4 2 4-t>0。 ? 又函数f(x)的图象连续不间断。 1? 因此f(x)在区间(-1,0)及 0,2? ?内各有一个零点。 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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对应训练5

若二次函数f(x)=x2-2ax+4在区间(1,+∞)内有两个零

点,求实数a的取值范围。
解 解法一:据二次函数图象应满足:

?Δ>0, ? -2a ?- 2 >1, ? ?f?1?>0,

?4a -16>0, ?a>1, 即? ?a<5, ? 2

2

5? 解得 2,2? ?。 ?

? ? ? ?

解法二:运用韦达定理。 设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有 x1+x2=2a,x1x2=4。 ①

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要使原方程x2-2ax+4=0的两根x2,x2均大于1, ?x1-1?+?x2-1?>0, ? ? 则需满足??x1-1??x2-1?>0, ? ?Δ>0。 5 将①代入上述不等式中,解之得2<a<2。

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解法三:运用求根公式。 方程x2-2ax+4=0的两根为 2a± 4a2-16 2 x1,2= = a ± a - 4; 2 且Δ>0,得a>2或a<-2。 5 要使两根均大于1,只需小根a- a -4>1即可,解之得2<a<2。
2

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【规律·方法】 二次函数图象与性质问题解题策略 (1)对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题,应对参数

分类讨论,分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系。
(2)当二次函数的对称轴不确定时,应分类讨论,分类讨论的标准就是 对称轴在区间的左、中、右三种情况。

(3)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检
验结果是否符合要求。

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课 堂 总 结
1.求二次函数的解析式常用待定系数法(如例2)。 2.二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为y=a(x+m)2+ n的形式,得顶点(-m,n)和对称轴方程x=-m,可分成三个类型: (1)顶点固定,区间也固定。 (2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何 时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数。 3.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它只能在区间的 端点或二次函数的图象的顶点处取得。 4.用数形结合法求根的分布问题一般需从三个方面考虑:①判别 b 式;②区间端点函数值的正负;③对称轴x=-2a与区间端点的关系。
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二次函数恒成立问题的几种处理方法 方法 解读
?a>0, 1.f(x)=ax +bx+c>0恒成立?? ?Δ<0
2

适合题型

1

?a=b=0, 或? ?c>0。 判别

二次函数的 定义域为R

式法

?a<0, 2.f(x)=ax +bx+c<0恒成立?? ?Δ<0
2

?a=b=0, 或? ?c<0。

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方法

解读

适合题型

2

1.确定参数前系数的正负,明确参数能够顺 分离 利“分离”,转化为a≥f(x)(或a≤f(x))的形 变量 式。 法 2.若a≥f(x)恒成立,转化为a≥f(x)max; 若a≤f(x)恒成立,转化为a≤f(x)min。

参数a能够 顺利分离

3

若参数a系数无法确定,把问题转化为不等 式f(x)>A在区间D上恒成立,此时就等价于在 分类 区间D上f(x)min>A,接下来求出函数f(x)的最 参数a不易 讨论 小值;若不等式f(x)<B在区间D上恒成立,则 分离 法 等价于在区间D上f(x)max<B,求出函数f(x)的 最大值即可。

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【例】 (1)已知函数y=log

? ? 2 ? ?

1? ax -ax+a? ? 。若函数的定义域为R, ?
2

则实数a的取值范围是________。 (2)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则实数m的取值范围 是________。
【解析】 (1)∵a≠0,函数的定义域为R, 1 则ax2-ax+a>0恒成立,

? ?a>0, ∴? 解得0<a<2。 1 2 ? a<0, ?Δ=?-a? -4a·

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(2)解法一:∵不等式 x2+mx+4<0 对 x∈(1,2)恒成立,∴mx<-x2 4? 4 -4 对 x∈(1,2)恒成立,即 m<- x+x? 对 x ∈ (1,2) 恒成立,令 y = x + ? x,∵ ? 4 函数 y=x+x在 x∈(1,2)上是减函数,∴4<y<5。 4? ∴-5<- x+x? ?<-4。∴m≤-5。 ? 解法二:设 f(x)=x2+mx+4,当 x∈(1,2)时,f(x)<0 恒成立
?f?1?≤0, ?m≤-5, ?? ?? ?m≤-5。 f ? 2 ? ≤ 0 m ≤ - 4 ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?

第48页

第二章

第四节


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