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全国高中数学联赛模拟试题10附答案


全国高中数学联赛模拟试题(十) 第一试 一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、设集合 M={?2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M→N 使对任意的 x∈M,都 有 x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射 f 的个数是 (A)45 (B)27 (C)15 (D)11 2、已知 sin2?=a,cos2?=b,0<?< ① ? ?? ? ,给出

tan?? ? ? 值的五个答案: 4 4? ? b a 1? b 1? a ; ② ; ③ ; ④ ; 1? a 1? b a b a ? b ?1 ⑤ . a ? b ?1 其中正确的是: (A)①②⑤ (B)②③④ (C)①④⑤ (D)③④⑤ 3、若干个棱长为 2、3、5 的长方体,依相同方向拼成棱长为 90 的正方体, 则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 (A)64 (B)66 (C)68 (D)70 4、递增数列 1,3,4,9,10,12,13,?,由一些正整数组成,它们或者是 3 的幂, 或者是若干个 3 的幂之和,则此数列的第 100 项为 (A)729 (B)972 (C)243 (D)981 ? n ? 1? 5 9 4m?1 5、 C1 [x]表示不超过 x 的最大整数) n ? C n ? C n ? ? ? C n (其中 m ? ? ?, ? 4 ? 的值为 (A) 2 n cos n? 4 (B) 2 n sin n? 4 1? n? ? (C) ? 2 n ?1 ? 2 n cos ? 2? 4 ? 1? n? ? (D) ? 2 n?1 ? 2 n sin ? 2? 4 ? 6、一个五位的自然数 abcde称为“凸”数,当且仅当它满足 a<b<c,c>d >e(如 12430,13531 等) ,则在所有的五位数中“凸”数的个数是 (A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134 二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分) 1、过椭圆 x2 y2 ? ? 1 上任意一点 P, 作椭圆的右准线的垂线 PH (H 为垂足) , 3 2 1 并延长 PH 到 Q,使得 HQ=?PH(?≥1) .当点 P 在椭圆上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围是 . 2、已知异面直线 a、b 所成的角为 60°,过空间一点 P 作与 a、b 都成角? (0<?<90°)的直线 l,则这样的直线 l 的条数是 f(?)= . 3、不等式 ?1 ? 4x 2 1 ? 2x ? 2 ? 2 x ? 9 的解集为 . 4、设复数 z 满足条件|z?i|=1,且 z≠0,z≠2i,又复数?使得 实数,则复数??2 的辐角主值的取值范围是 5、设 a1,a2, ? ,a2002 均为正实数,且 ? ? 2i z ? 为 ? z ? 2i . 1 1 1 1 ? ??? ? ,则 2 ? a1 2 ? a 2 2 ? a 2002 2 a1a2?a2002 的最小值是 . 6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字 8,则称它为 “优选”数码(如 12883,787480889 等) ,否则称它为“非优选”数码 (如 2348756,958288 等) ,则长度不超过 n(n 为自然数)的所有“优 选”数码的个数之和为 . 三、 (20 分) 已知数列{an}是首项为 2,公比为 (1) 用 Sn 表示 Sn+1; (2) 是否存在自然数 c 和 k,使得 1 的等比数列,且前

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