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高中数学必修二 柱、锥、台、球的表面积和体积


1.3 柱、锥、台、球的表面积和体积

考纲要求:了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式);会求一些 简单几何体的表面积和体积,体会积分思想在计算表面积和体积的运用. 重难点:了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式,会求一些简单几何体的表面积和 体积,体会积分思想在计算表面积和体积的运用. 经典例题:在三棱柱 ABC—DEF 中,已知 AD 到面 BCFE 的距离为 h,平行四边形 BCFE 的面积为 S. 求:三棱柱的体积 V.

当堂练习: 1.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 AB=3,AD=2,CC1=1,一条绳子从 A 沿着表面拉到点 C1, 绳子的最短长度是( ) A. +1 B. C. D.

2.若球的半径为 R,则这个球的内接正方体的全面积等于( ) A.8R2 B. 9R2 C.10R2 D.12R2 3. 边长为 5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面, 则从 E 点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最 短距离是( )

A. 10cm

B. 5

cm

C. 5

cm

D.

cm

4.球的大圆面积扩大为原大圆面积的 4 倍,则球的表面积扩大成原球面积的( ) A.2 倍 B. 4 倍 C. 8 倍 D.16 倍 5.三个球的半径之比为 1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( A.1 倍 B.2 倍 C.1 倍 D.1 倍 )



6.正方体的全面积是 a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是(

A. B. C. D. 7.两个球的表面积之差为 48 ,它们的大圆周长之和为 12 ,这两个球的半径之差为( ) A.4 B. 3 C. 2 D. 1 8.已知正方体的棱长为 a,过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去 8 个角,则剩余 部分的体积是( ) A. a3 B. a3 C. a3 D. a3

9.正方形 ABCD 的边长为 1,E、F 分别为 BC、CD 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个三棱 锥,使 B,C,D 三点重合,那么这个三棱锥的体积为( )

A.

B.

C.

D.

10.棱锥 V-ABC 的中截面是

A1B1C1,则三棱锥 V-A1B1C1 与三棱锥 A-A1BC 的体积

之比是( ) A.1:2 B. 1:4 C.1:6 D.1:8 11. 两个球的表面积之比是 1:16,这两个球的体积之比为( ) A.1:32 B.1:24 C.1:64 D. 1:256 12.两个球的体积之比为 8:27,那么,这两个球的表面积之比为( A.2:3 B.4:9 C. D.



13.棱长为 a 的正方体内有一个球,与这个正方体的 12 条棱都相切,则这个球的体积应为 ( )

A. 4

3

B.

C.

D.

14.半径为 R 的球的外切圆柱的表面积是______________. 15. 是边长为 2 的正方形 ABCD 边 AD 的中点, E 将图形沿 EB、 折成三棱锥 A-BCE EC (A, D 重合), 则此三棱锥的体积为____________. 16.直三棱柱 的体积是 V,D、E 分别在 、 上,线段 DE 经过矩形

的中心,则四棱锥 C-ABED 的体积是________________. 17. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm 和 4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋 转一周,所得旋转体的体积是________________. 18.圆锥的底面半径为 5cm, 高为 12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接 圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?

19.A、B、C 是球面上三点,已知弦 AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,平面 ABC 与球心 O 的距离恰好为球半径的一半,求球的面积.

20. 圆锥轴截面为顶角等于 1200 的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为 8, 求这圆锥的 全面积 S 和体积 V.

21.已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, E、F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求 四棱锥 A1-EBFD1 的体积.

参考答案: 经典例题: 解法一:把三棱柱补成一平行六面体 EFDG—BCAH,可看成以 s 为底,以 h 为高,则体积为 sh. VABC-DEF= 这就是用补的方法求体积. s

解法二:连 DB、DC、BF,把三棱柱分割成三个等体积的三棱锥,如 D—BEF 就是以

为底,高为 h 的三棱锥,则 VD-BEF= 当堂练习:

则 VABC-DEF=3 VD-BEF=



1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6 R2; 15.

; 16.

; 17.

;

18. 如图 ,SAB 是圆锥的轴截面, 其中 SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为 O1C=x ,





相似, 则 , 则 圆 柱 的 全 面 积 侧 +2S 底

OO1=SO-SO1=12-

S=S

=2

则当

时,S 取到最大值



19. 解: r=15cm,

AB2+BC2=AC2,

ABC 为直角三角形,

ABC 的外接圆 O1 的半径

因圆 O1 即为平面 ABC 截球 O 所得的圆面,因此有 R2=(

)2+152,

R2=300, S 球=4 R2=1200 (cm2). 20. 解 : 设 母 线 长 为 , 当 截 面 的 两 条 母 线 互 相 垂 直 时 , 有 最 大 的 截 面 面 积 . 此 时 ,

底面半径

,高

则 S 全=

21. 解: 接 EF,则 三 棱 锥 a, S , F-EBA1 的 高 是 CC1

四棱锥 A1-EBFD1 的底面是菱形,连 平面 ABB1A1, 到 平 面 AB1 的 距 离 , 即 棱 长


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