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三角函数y=Asin(ωx+φ)中的对称轴问题研究


三角函数 y=Asin(ω x+φ )中的对称轴
正弦函数 y=sinx 的对称轴是 x=k ? +

? (k∈Z) ,它的对称轴总是经过它图象的最高点 2

或者最低点。由于三角函数 y= A sin(? ? x ? ? ) 是由正弦函数 y=sinx 复合而成的,所以令

? k? ? ? ? ? 2 (k∈Z) 。通 ?x ? ? =k ? + ,就能得到 y= A sin(? ? x ? ? ) 的对称轴方程 x= ? 2 k? ? ? ? ? 过类比可以得到三角函数 y= A cos(? ? x ? ? ) 的对称轴方程 x= (k∈Z) 。下面通 ?
过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。 1.解析式问题 例 1.设函数 f (x) = sin(2 x ? ? ) ( ? ? ? ? ? 0 ) f (x) 图像的一条对称轴是直线 ,

x?

?
8

,求 ? 的值。

分析: 正弦函数 y=sinx 的对称轴是 x=k ? + 求解。 解析:∵ x ? ∴

? ? , 2x+ ? =k ? + , 令 结合条件 ? ? ? ? ? 0 2 2
?
8 ? ? ) ? ?1 ,

?
8

是函数 y= f (x) 的图像的对称轴,∴ sin(2 ?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

,k∈Z,而 ? ? ? ? ? 0 ,则 ? ? ?

3? 。 4

点评: 由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线, 所以把对称轴的方程 代入到函数解析式, 函数此时可能取得最大值或最小值。 易错点就在于很多同学误认为由于 正弦函数 y=sinx 的周期是 2k ? ,所以会错误的令 ? ? x ? ? =2k ? + 2.参数问题 例 2.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- A. 2 B.- 2 C.1

? 。 2


? 对称,则 a 的值为( 8
D.-1

分析:由于本题是选择题,所以解法多种多样,可以带入验证;也可以根据对称轴的通 式求解,还可以根据最值求解。 解 法 一 : y = sin2x + acos2x=

1 ? a 2 sin ( 2x + ? ) 其 中 cos ? = ,

1 1 ? a2



sin ? =

a 1 ? a2



由函数的图象关于 x=- 小值,

? ? 对称知, 函数 y=sin2x+acos2x 在 x=- 处取得最大值或最 8 8

∴sin(-

? ? 2 )+acos(- )=± 1 ? a , 4 4



2 2 (1-a)=± 1 ? a ,解得 a=-1,所以应选择答案:D。 2

点评:过函数 y=Asin( ? ? x ? ? )图象最值点与 y 轴平行(或重合)的直线都是函数图 象的对称轴。 解法二:显然 a≠0,如若不然,x=- 能的, 当 a≠0 时,y=sin2x+acos2x = 1? a (
2

? 就是函数 y=sin2x 的一条对称轴,这是不可 8

a 1? a
2

cos 2 x ?

1 1? a
2

sin 2 x) ? 1 ? a 2 cos(2 x ? ? ) ,

其中 cos? ?

a 1? a
2

2

, sin? ?

1 1? a
2

,即 tan ? =

sin? 1 ? , cos? a

函数 y= 1 ? a cos(2x- ? )的图象的对称轴方程的通式为 2xk=k ? + ? (k∈Z) ,

? ? k? ? ? k? ,令 xk=- ,则 ? =- ,∴ ? =-k ? - , 2 2 2 2 8 8 4 ? ∴tan ? =tan(-k ? - )=-1, 4 1 即 =-1,∴a=-1 为所求,所以应选择答案:D。 a
∴xk=

?

?

点评:根据余弦型函数的对称轴问题,结合对应的正切值的值加以分析求解,也是一种 特殊的方法。 解法三:∵f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- ∴ f ??

? 对称, 8

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? x ? ? f ? ? ? x ? ,令 x=- ,得 f ? ? ? ? f ?0? , 8 ? 8 ? ? 8 ? ? 4?
? ?? ? ?? ? +acos ? ? ? =sin0+acos0,得 a=-1,所以应选择答案:D。 ? 2? ? 2?

∴sin ? ?

点评:这种解法比较巧妙,紧扣住对称性的定义,采用特殊值法代入。是不可多得的一种快 捷方便的解答方法。 3.单调区间问题 例 3.在下列区间中函数 y=sin(x+ A. [

分析:像这类题型,常规解法都是运用 y=Asin( ? x+ ? )的单调增区间的一般结论, 由一般到特殊求解,既快又准确,本题倘若运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意

? ,? ] 2

B. [0,

? ] 4

? )的单调增区间是( ) 4
C. [- ? ,0] D. [

? ? , ] 4 2

的简明而又准确、可靠的方法。

5? ] ,对照选择支思考即知应选择答案:B。 4

? ? ? ? )的对称轴方程是:xk=k ? + - =k ? + (k∈Z) , 4 2 4 4 ? 3? ? 照选择支,分别取 k=-1、0、1,得一个递增或递减区间分别是[- , ]或[ , 4 4 4
解析:函数 y=sin(x+

点评:一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间,可先运用对称轴方程求其一 个单调区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得。 4.函数性质问题 例 4.设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称 轴上的距离的最小值 A.2π

? ,则 f (x) 的最小正周期是( ) 4 ? B.π C. 2

D.

? 4
1 4

分析: 根据正弦 (或余弦) 函数的图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于 周期的性质加以转化三角函数的相关性质,从而得到正确解答。

解析: 设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心, 若点 P 到图象 C 的对称 轴上的距离的最小值 最小正周期为 T=

1 ? ,而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于 周期,∴ 4 4

? ×4=π,即选择答案:B。 4 点评: 三角函数的对称性与其他相应的性质是紧密相关, 特别和三角函数的周期性问题、 单调性问题、最值问题能息息相关,要注意加以相互转化。
函数 y= A sin(? ? x ? ? ) 的对称轴是函数的一条重要性质,要准确的理解函数图像实质 上有无数条对称轴,它们也是有周期性的,它们的周期不是 T=

2 k?

?

,而是 T=

k?

?

,可以理

解为对称轴的周期是函数周期的一半。 只有准确的理解对称轴的特点, 才能灵活的应用对称 轴解题。



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