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2015-2016学年高三摸底考试数学试卷(理科)


2015-2016 学年高三摸底考试数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,A={x|x≤1},B={x|x≥2},则集合?U(A∪B)=( A {x|1<x<2} . 2.已知 A ﹣1 . B 1 .
2



B {x|1≤x≤2} .

C {x|x≤2} .

D {x|x≥1} . )

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=( C 2 . D 3 .

3.若 A:a∈R,|a|<1,B:x 的二次方程 x +(a+1)x+a﹣2=0 的一个根大于零,另一根小 于零,则 A 是 B 的( A. C. ) B. D. 必要不充分条件 既不充分也不必要条件

充分不必要条件 充要条件

4.如图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是(



A .

B .

C .

D 1 .

第1页

5.若 x∈(e ,1) ,a=lnx,b= A c>b>a . B b>c>a .

﹣1

,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为( C a>b>c . D b>a>c .

lnx



6.从正六边形六个顶点及其中心这 7 个点中,任取两个点,则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为 ( A . ) B . C . D .

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A .

B 10 .

C 30 .

D 24+2 .

8.已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,若抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点到双曲线 ) D x2=16y .

2

C1 的涟近线的距离是 2,则抛物线 C2 的方程是( A . B x2= . y C x2=8y .

9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π) ,其导函数 f′(x)的部分图象如图所示,则函 数 f(x)的解析式为( )

第2页

A.

f(x)=2sin( x+



B .

f(x)=4sin( x+



C.

f(x)=2sin(x+



D .

f(x)=4sin( x+



10.已知正项数列{an}的前 n 项的乘积等于 Tn= Sn 中最大值是( A S6 . ) B S5 . C S4 .

(n∈N ) ,bn=log2an,则数列{bn}的前 n 项和

*

D S3 .

11.设 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(其中 a>0,b>0)的最大值为 3,则

的最小值为( A 4 .

) B 3 . C 2 . D 1 .

12.已知函数 f(x)=x +ln(x+m)与函数 g(x)=x +e ﹣ (x<0)的图象上存在关于 y 轴对称的点(e 为 自然对数的底数) ,则 m 的取值范围是( A (﹣∞, . ) B (﹣∞, . ) ) C (﹣ . ) , D (﹣ . ) ,

2

2

x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. dx= .
第3页

14. (x﹣ ) 展开式的常数项为

6

. 在向量 方向上的投影

15.在直角三角形 ABC 中,AB=4,AC=2,M 是斜边 BC 的中点,则向量 是 .
2

16.设函数 f(x)=1+sin2x,g(x)=2cos x+m,若存在 x0∈[0, 围是 .

],f(x0)≥g(x0) ,则实数 m 的取值范

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)若等差数列{an}的公差 d<0,且 a2?a4=12,a2+a4=8. (1)求数列{an}的首项 a1 和公差 d; (2)求数列{an}的前 10 项和 S10 的值.

18. (12 分)经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含量比其 它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小 数点前的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如图. 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超 过 1.0ppm. (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中,随机抽出 3 条,求 3 条中恰有 1 条汞含量超标的概率; (Ⅱ)若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记 ξ 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此 15 条鱼的样本数 据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ.

19. (12 分) 四棱锥 S﹣ABCD, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC⊥底面 ABCD. 已知∠DAB=135° , BC=2 SB=SC=AB=2,F 为线段 SB 的中点.
第4页



(1)求证:SD∥平面 CFA; (2)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的平面角的余弦值大小.

20. (12 分)已知两点 F1(﹣1,0)及 F2(1,0) ,点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2| 构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 如图, 动直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 点 M, N 是直线 l 上的两点, 且 F1M⊥l, F2N⊥l. 求 四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

21. (12 分)设函数 f(x)=lnx+ x ﹣(m+2)x,在 x=a 和 x=b 处有两个极值点,其中 a<b,m∈R. (Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 ≥e(e 为自然对数的底数) ,求 f(b)﹣f(a)的最大值.

2

四、选做题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M.
第5页

(1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (10 分)选修 4﹣4:坐标系与参数方程

已知:直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) .

(1)若在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 点 P 的极坐标为(4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差.

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (10 分)已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

第6页

2015-2016 学年高三摸底考试数学试卷(理科) 参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 B 6 C 7 B 8 D 9 B 10 D 11 B 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. π . 14. ﹣20 . 15. ﹣ . 16. m≤ .

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解: (1)设 an=a1+(n﹣1)d,
则 , 解得 a1=8,d=﹣2.

(2)S10=10a1+

=10×8+

(﹣2)=﹣10.

18.解: (Ⅰ)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A,则 .…(4 分) ,…(5 分) …(6 分) , , ∴ξ 的分布列如下: ξ P …(11 分) 0 1 2 3 , .…(10 分)



∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为 (Ⅱ)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 ξ 可能取 0,1,2,3. 则

第7页



.…(12 分)

19. (12 分) (1)证明:连结 BD 交 AC 于点 E,连结 EF, ∵底面 ABCD 为平行四边形,∴E 为 BD 的中点. 在△ BSD 中,F 为 SB 的中点,∴EF∥SD, 又∵EF?面 CFA,SD?面 CFA, ∴SD∥平面 CFA. (2)解:以 BC 的中点 O 为坐标原点,分别以 OA,OC,OS 为 x,y,z 轴, 建立如图所示的坐标系. 则有 ∴ , 设平面 SAB 的一个法向量为 , , , , , (7 分) , ,







令 z=1 得:x=1,y=﹣1∴ 同理设平面 SCD 的一个法向量为



,得



令 b=1 得:a=﹣1,c=1,∴ 设面 SCD 与面 SAB 所成二面角为 θ, 则 = ,

∴面 SCD 与面 SAB 所成二面角的平面角的余弦值为 .

20.解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为



∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列,∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,a=2.

第8页

又∵c=1,∴b =3.∴椭圆 C 的方程为

2


2 2 2 2 2

(2)将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x +4y =12 中,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0. 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△ =64k m ﹣4(4k +3) (4m ﹣12)=0, 化简得:m =4k +3. 设 , ,
2 2 2 2 2 2

法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ, 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|, ∴ , = ,

∵m =4k +3,∴当 k≠0 时, 当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形,

2

2

, . .





所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 法二:∵







=



四边形 F1MNF2 的面积

=



=



当且仅当 k=0 时,

,故 .



所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为

第9页

21.解: (Ⅰ)
2



则由题意得方程 x ﹣(m+2)x+1=0 有两个正根, 故 ,

解得 m>0.故实数 m 的取值范围是 m>0. (Ⅱ) 又 m+2=a+b, ab=1∴ 设 ,故,构造函数 = = , ,



所以 g(t)在[e,+∞)上是减函数, f(b)﹣f(a)的最大值为 .



四、选做题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)证明: (1)连接 OC,∵OA=OC ∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC ∴OC∥AD.…(3 分) ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.…(5 分)
2

∴∠OAC=∠OCA, ∴∠FAC=∠OCA,

(2)连接 BC,在 Rt△ ACB 中,CM⊥AB,∴CM =AM?MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC =DF?DA. ∵∠MAC=∠DAC,∠D=∠AMC,AC=AC ∴△AMC≌△ADC, ∴DC=CM, ∴AM?MB=DF?DA…(10 分)
2

第 10 页

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (10 分)解: (1)把点 P 的极坐标为(4, )化为直角坐标为(2,2 ) ,

把直线 l 的参数方程

(t 为参数) ,化为直角坐标方程为 y=

x+1,

由于点 P 的坐标不满足直线 l 的方程,故点 P 不在直线 l 上. (2)∵点 Q 是曲线 C 上的一个动点,曲线 C 的参数方程为
2 2

(θ 为参数) .

把曲线 C 的方程化为直角坐标方程为 (x﹣2) +y =1,表示以 C(2,0)为圆心、半径等于 1 的圆. 圆心到直线的距离 d= = + , ﹣ ,最大值为 d+r= + ,

故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 d﹣r=

∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差为 2

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (10 分)解: (1)由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3, 解得 a﹣3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 所以 解得 a=2. (6 分)

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|.

设 g(x)=f(x)+f(x+5) ,于是

所以当 x<﹣3 时,g(x)>5; 当﹣3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(﹣∞,5]. (12 分)

第 11 页


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