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甘肃省兰州市2015年高三3月诊断考试数学理试题(扫描版)


2015 兰州市高三一模数学理科试卷

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2015 年

高三诊断考试 数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 D 6 D 7 B 8 A 9 C 10 A 11 A 12 B

7. 解 析 : 由 题 意 , S 表 示 从 12 开 始 的 逐 渐 减 小 的 若 干 个 整 数 的 乘 积 , 由 于 12×11=132 , 故 此 循 环 体 需 要 执 行 两 次 所 以 每 次 执 行 后 i 的 值 依 次 为 11 , 10,由 于 i 的 值 为 10 时 , 就 应 该 退 出 循 环 , 再 考 察 四 个 选 项 , B 符 合 题 意
2 , ), ∴ 圆 C2 的 圆 心 坐 标 为 11. 解析 :依 题 意 , 抛 物 线 C1 : x ? 2 y 的 焦 点 为 F ( 0

1 2

1 1 F( 0 , )∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , 且 BD 为 直 径 , AC 为 直 径 , F (0, ) 为 圆 C2 的 2 2
圆心 ∴点 F 为该矩形的两条对角线的交点, ∴ 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 与 点 F 到 AB 的 距 离 相 等 , 又 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 为

p ? 1 ∴ 直 线 AB 的 方 程 为 : y ?
∴ 圆 C2 的 半 径 r ? AF ?

3 2

∴ A( 3, )

3 2

3 1 ( 3 ? 0)2 ? ( ? )2 ? 2 2 2
1 2

∴ 圆 C2 的 方 程 为 : x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 12. 解析 :∵ f ( x ? 2) 为偶函数,∴ f ( x ? 2) 的图象关于 x ? 0 对称,∴ f ( x ) 的图象关于

x ? 2 对称∴ f (4) ? f (0) ? 1
设 g ( x) ?

f ?( x)e x ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) f ( x) ? x ? R g ( x ) ? ? ( ) , 则 ex (e x ) 2 ex

又∵ f ?( x) ? f ( x) ,∴ g ?( x ) ? 0 ( x ? R ) ,∴函数 g ( x ) 在定义域上单调递减
x ∵ f ( x) ? e ? g ( x) ?

f ( x) f (0) ? 1 ,而 g (0) ? 0 ? 1 x e e
∴ x ? 0 故选 B.

∴ f ( x) ? e ? g ( x) ? g (0)
x

二、填空题

2015 兰州市高三一模数学理科试卷

13.

3 5

14.

x2 y2 ? ?1 16 12

15. (0, )

1 2

16. 2015

1 15.解析 :函 数 f ( x) ? x ? ln x ? ax ? , 则 f ?( x ) ? l n x ? a x? x( ? a) ? l n x? 2a x? ,
令 f ?( x ) ? ln x ? 2ax ? 1 得 ln x = 2ax - 1 , 因 为 函 数 f ( x) ? x ? ln x ? ax ? 有 两 个 极 值 点 ,所 以 f ?( x ) ? ln x ? 2ax ? 1 有 两 个 零 点 ,等 价 于 函 数 y ? ln x 与 y ? 2ax ? 1 的 图 象 有 两 个 交 点 , 在 同 一 个 坐 标 系 中 作 出 它 们 的 图 象 , 过点(0,-1)作 y ? ln x 的 切线,设切点为(x0,y0) ,则切线的斜率 k ?

1 x

1 1 ,切线方程为 y ? x ? 1 . 切点在切线上, x0 x0

则 y0 ?

x0 ? 1 ? 0 ,又切点在曲线 y ? ln x 上,则 ln x0 ? 0 ? x0 ? 1 ,即切点为(1,0). x0

切 线 方 程 为 y ? x ? 1 . 再 由 直 线 y ? 2ax ? 1 与 曲 线 y ? ln x 有 两 个 交 点 , 知 直 线

y ? 2ax ? 1 位于两直线 y ? 0 和 y ? x ? 1 之间,其斜率 2a 满足:0<2a<1,解得实 数 a
的 取 值 范 围 是 ( 0,

1 ). 2

16.解析 :由 bn ?

an ?1 , 且 a1 = 1 , 得 an

b1 =

a a2 a = a2 . b2 = 3 , a3 = a2b2 = b1b2 . b3 = 4 , a4 = a3b3 = b1b2b3 . … a2 a3 a1

an = b1b ... 2 bn- . 1 ∴ a2 1 = b b 1 ... 2 b 2. 0 ∵ 数 列 {bn } 为 等 比 数 列 ,
∴ a21 ? ? b1b20 ?? b2b19 ? ... ? b10b11 ? ? ? b10b11 ? ? (201510 )10 ? 2015
10 1

三、解答题 17. 解: (Ⅰ)∵

a c a ? ? , 3 cos A sin C sin A
∴ tan A ? 3

∴ 3 cos A ? sin A ∵0 ? A ? ? ∴ A?

?
3

…………6 分

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(Ⅱ)由正弦定理得:

a b c 6 ? ? ? ?4 3, ? sin A sin B sin C 3 cos 3

∴ b ? 4 3sin B , c ? 4 3sin C ∴ b ? c ? 4 3sin B ? 4 3sin C

? 4 3? s iB n?
?1 2 s iB n( ?

s? in ? (A? B? ? )
)

? ? ? 4 3B ?s i n ? s i B n( ? ? 3 ? ?

)

?

6 ? ? 5? ? B? ? ∵ 6 6 6
即: b ? c ? ? 6,12?

∴ 6 ? 12sin( B ?

?
6

) ? 12
…………12 分

18. 解:(Ⅰ)证明:连接 D1C ,则 D1C ? 平面 ABCD , ∴ D1C ? BC 在等腰梯形 ABCD 中,连接 AC ∵ AB ? 2 , BC ? CD ? 1 AB ∥ CD ∴ BC ? AC ∴ BC ? 平面 AD1C ∴ AD1 ? BC (Ⅱ)解法一: ∵ AB ∥ CD ∵ CD ? 1 ∴ ?D1 DC ? …………6 分

?
3

∴ D1C ? 3

在 底 面 ABCD 中 作 C M ? A B, 连 接 D1M , 则 D1M ? AB , 所 以 ?D1 MC 为 平 面

ABC1D1 与平面 ABCD 所成角的一个平面角
在 Rt?D1CM 中, CM ?

3 , D1C ? 3 2 15 2
∴ cos ?D1CM ?

∴ D1M ? CM 2 ? D1C 2 ?

5 5

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即平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦函数值为 解法二: 由(Ⅰ)知 AC 、 BC 、 D1C 两俩垂直, ∵ AB ∥ CD ∴ ?D1 DC ?

5 5

…………12 分

?
3

∴ D1C ? 3 z D1 A1 C1 B1

在等腰梯形 ABCD 中,连接 AC 因 AB ? 2 , BC ? CD ? 1 AB ∥ CD , 所以 AC ? 3 ,建立如图空间直角坐标系, 则 A( 3,0,0) , B(0,1,0) , D1 (0,0, 3)

r 设平面 ABC1D1 的一个法向量 n ? ( x, y, z)
u r r uu ? ?n ? AB ? 0 ? ? y ? 3x ? 0 由 ? r uuur 得? ?z ? x ? 0 ? ?n ? AD1 ? 0 ?
r 可得平面 ABC1D1 的一个法向量 n ? (1, 3,1) . x
又 CD1 ? (0,0, 3) 为平面 ABCD 的一个法向量. D A C B y

uuu r

uuu r r uuu r r CD1 ? n 5 r r ? 因此 cos ? CD1 , n ?? uuu | CD1 || n | 5
所以平面 ABC1D1 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为

5 . 5

19. 解 (Ⅰ) 设印有“绿色金城行”的球有 n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件 A , 则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是 P( A) ?
2 Cn , 2 C6 2 Cn 1 ? , 2 C6 5

由对立事件的概率: P ( A) = 1 ? P ( A) ? 解得 n ? 3.

4 . 5

即 P( A) ?

…………6 分

(Ⅱ)由已知,两种球各三个,? 可能取值分别为 1, 2,3 ,

P(? ? 1 )?

2 C3 1 ? 2 C6 5

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P(? ? 2 ) ?

2 2 1 1 2 C3 C3 CC 3 3C 3 4 , ? ? ? ? 2 2 2 2 C6 C6 C 6 C 6 25

P (? ? 3) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?

16 25

2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C 16 (或 P(? ? 3) ? 2 ? 2 ? 2 ? ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 23 ? 2 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 25

则? 的分布列为:

?
P

1

2

3
16 25
…………12 分

1 5

4 25

所以 E? ? 1 ?

1 4 16 61 ? 2 ? ? 3? ? . 5 25 25 25

20. 解: (Ⅰ)依题意有 ∵ a 2 ? b2 ? c 2 ∴ c ? 2a ∴a ? 1,c ? 2 ∴ b2 ? 3

a2 3 b ? 3 ,c ? ? a c 2

∴曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ?1 3

……………6 分

(Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 则 B( x1, x1 ? m) ,D( x2 , x2 ? m) ,BD 的中点为 M

?y ? x ? m ? 由 ? 2 y2 得 x ? ?1 ? 3 ?
∴ x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? ?

2 x 2 ? 2mx ? m2 ? 3 ? 0

m2 ? 3 2

∵ DF ? BF ? 1 ,即 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 1 ∴ m ? 0 (舍)或 m ? 2 ∴ x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? ?

uuu r uuu r

∵ DA ? BA ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

uuu r uur

7 2

M 点的横坐标为

x1 ? x2 ?1 2

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? 5 ? 2 x1x2 ? x1 ? x2 ? 5 ? 7 ? 2 ? 0
∴ AD ? AB ∴过 A 、 B 、 D 三点的圆以点 M 为圆心, BD 为直径 ∵ M 点的横坐标为 1 ∴ MA ? x ∵ MA ?

1 BD 2
……………12 分

∴过 A 、 B 、 D 三点的圆与 x 轴相切 21. 解: (Ⅰ)∵ f ?( x ) ? 2 x ? 数. ∴

m 2x2 ? 2x ? m ? 又函数 f ( x ) 在定义域上是单调函 x ?1 x ?1

f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立

若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立 , 即函数 f ( x ) 是定义域上的单调地增函数 , 则

1 1 1 m ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 在 ( ?1, ??) 上恒成立,由此可得 m ? ; 2 2 2 m ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立,则 f ?( x ) ? 2 x ? x ?1 1 2 1 2 即 m ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ? ) ? 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 2 2 1 2 1 ∵ ?2( x ? ) ? 在 ( ?1, ??) 上没有最小值 2 2
∴不存在实数 m 使 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 综上所述,实数 m 的取值范围是 [ , ??) .
2 (Ⅱ)当 m ? ?1 时,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) .

1 2

……………4 分

令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ? x ? x ? ln( x ? 1)
3 3 2

则 g ?( x ) ? ?3x ? 2 x ?
2

1 3x 3 ? ( x ? 1)2 ?? x ?1 x ?1

显然,当 x ? (0, ??) 时, g ?( x ) ? 0 , 所以函数 g ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减 又 g (0) ? 0 ,所以,当 x ? (0, ??) 时,恒有 g ( x ) ? g (0) ? 0 , 即 f ( x) ? x ? 0 恒成立.
3

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故当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? x3 (Ⅲ)证法一:由(Ⅱ)可知 x 2 ? x 3 ? ln( x ? 1) ( x ? (0, ??) ) ∴ e(1? x ) x ? x ? 1 ∴ e(1?n ) n ? n ? 1
0 ?1?4 ? e ?2?9 ? ∴e ? e
2 2

……………8 分

( x ? (0, ??) ) (n? N?)

? e(1?n ) n ? 2 ? 3 ? 4 ?

2

? ( n ? 1) ?

n( n ? 3) ………12 分 2

证法二:设 Sn ?

n( n ? 3) 2

则 an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1(n ? 2) ∵ a1 ? S1 ? 2 ∴ an ? n ? 1, n ? N ?
2

0 ?1?4 ? e ? 2?9 ? ? ? e (1? n )?n ? 欲证 e ? e

n(n ? 3) 2

只需证 e

(1?n )?n2

? n ?1

只需证 (1 ? n) ? n 2 ? ln(n ? 1) 由(Ⅱ)知 x 2 ? x 3 ? ln(x ? 1), x ? (0,??) 即 (1 ? n) ? n ? ln(n ? 1) 。
2

所以原命题成立。 方法三:数学归纳法
0 证明:1、当 n ? 1 时,左边= e ? 1 ,右边=

1? 4 ? 2 ,原不等式成立。 2 k (k ? 3) 2

2、设当 n ? k 时,原不等式成立,
0 ?1?4 ? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? 即e ? e
2

则当 n ? k ? 1 时,
0 ?1?4 ? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? e (1? k ?1)?( k ?1) ? 左边= e ? e 2 k (k ? 3) (k ? 1) ? (k ? 4) ? e ? k ?( k ?1) ? 2 2
2 2 2 k (k ? 3) ? e ? k ?( k ?1) 2

只需证明

即证 e ?k?( k ?1) ? k ? 2 即证 ? k ? (k ? 1) ? ln(k ? 2)
2

2

由(Ⅱ)知 x ? x ? ln(x ? 1), x ? (0,??)
2 3

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即 x 2 (1 ? x) ? ln(x ? 1), 令 x ? k ? 1 ,即有 ? k ? (k ? 1) 2 ? ln(k ? 2) 。 所以当 n ? k ? 1 时成立 由 1、2 知,原不等式成立。 22. 证明: (Ⅰ) PE 切⊙ O 于点 E ,

??A ? ?BEP
∵ PC 平分 ?APE
?? A ? ? CPA ? ? B E P ? ?D P E ?E C D? ? A ? ?C ,P A ? E D C ? ? B E? P? ,
?? E C D ? ?E D , C? E C ? ED DPE

…………5 分

(Ⅱ)

?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE PEC ?? B P D ? ?E P , C ? ? P∽ B? D

PE PC ? PB PD 同理 ?PDE ∽ ?PCA , ? ? ? PC CA ? PD DE PE CA ? PB DE DE ? CE , ? CA PE ? CE PB

…………10 分

? x ? 3 cos? 23. 解: (Ⅰ)由曲线 C1 : ? ? y ? sin ?
x2 ? y2 ? 1 即:曲线 C1 的普通方程为: 3
由曲线 C 2 : ? sin(? ?

? x ? cos? ? 得? 3 ? ? y ? sin ?

?
4

) ? 4 2 得:

2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 2
…………5 分

即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点, 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

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所以当 sin(? ?

?
3

) ? 1 时, d 的最小值为 3 2

…………10 分

24. 解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , ∴ a ? 3 ? ?2 ∴ a ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ?

…………5 分

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? . …………10 分


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