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概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.2-3.3(部分)参考答案


习题 3.2
1. 设二维离散随机变量(X, Y ) 的可能值为 (0, 0),(?1, 1),(?1, 2),(1, 0), 且取这些值的概率依次为 1/6, 1/3, 1/12, 5/12,试求 X 与 Y 各自的边际分布列. 解:因 X 的全部可能值为?1, 0, 1,且

P{ X = ?1} =
故 X 的边际分布列为


1 1 5 1 5 , + = , P{ X = 0} = , P{ X = 1} = 3 12 12 6 12

X P

?1 0 5 1 12 6

1 5 12
1 5 7 1 1 , + = , P{ X = 1} = , P{ X = 2} = 6 12 12 3 12

因 Y 的全部可能值为 0, 1, 2,且

P{ X = 0} =
故 Y 的边际分布列为

Y

0 7 P 12

1 2 1 1 3 12

2. 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

?1 ? e ? λ1x ? e ? λ2 y ? e ? λ1x ?λ2 y ? λ12 max{x , y} , x > 0, y > 0, F ( x, y ) = ? 其他. ?0,
试求 X 与 Y 各自的边际分布函数. 解:当 x ≤ 0 时,F (x, y) = 0,有 FX (x) = F (x, + ∞) = 0,

?1 ? e ? λ1x ? e ? λ2 y ? e ? λ1x ? λ2 y ?λ12 max{x , y} , 当 x > 0 时, F ( x, y ) = ? ?0,
y → +∞

y > 0, 有 y ≤ 0.

FX ( x) = F ( x, + ∞) = lim [1 ? e ? λ1x ? e ? λ2 y ? e ? λ1x ? λ2 y ? λ12 max{x , y} ] = 1 ? e ? λ1x , ?1 ? e ? λ1x , 故 FX ( x) = ? ?0, x > 0, x ≤ 0.

当 y ≤ 0 时,F (x, y) = 0,有 FY ( y) = F (+ ∞, y) = 0,

?1 ? e ? λ1x ? e ? λ2 y ? e ? λ1x ? λ2 y ?λ12 max{x , y} , 当 y > 0 时, F ( x, y ) = ? ?0,
x → +∞

x > 0, 有 x ≤ 0.

FY ( y ) = F (+∞, y ) = lim [1 ? e ? λ1x ? e ? λ2 y ? e ? λ1x ? λ2 y ?λ12 max{x , y} ] = 1 ? e ? λ2 y ,
?1 ? e ? λ2 y , 故 FY ( y ) = ? ?0, y > 0, y ≤ 0.

3. 试求以下二维均匀分布的边际分布:

?1 ? , x 2 + y 2 ≤ 1, p ( x, y ) = ? π ? ?0, 其他.
1

解:当 x < ?1 或 x > 1 时,pX (x) = 0, 当?1 ≤ x ≤ 1 时, p X ( x) = ∫
+∞ ?∞

y
1? x 2
2

p ( x, y ) dy = ∫

? 1? x

1 2 dy = 1? x2 , π π
?1 0 ?1

1 x

?2 ? 1 ? x 2 , ? 1 ≤ x ≤ 1, 故 p X ( x) = ? π ? 其他. ?0, 当 y < ?1 或 y > 1 时,pY ( y) = 0,
当?1 ≤ y ≤ 1 时, pY ( y ) = ∫ p ( x, y )dx = ∫
?∞ +∞
1? y 2

1

? 1? y 2

1 2 dx = 1? y2 , π π

?2 ? 1 ? y 2 , ? 1 ≤ y ≤ 1, 故 pY ( y ) = ? π ? 其他. ?0,
4. 设平面区域 D 由曲线 y = 1/ x 及直线 y = 0,x = 1,x = e 2 所围成,二维随机变量(X, Y ) 在区域 D 上服 从均匀分布,试求 X 的边际密度函数. 解:因平面区域 D 的面积为 S D = ∫ 则(X, Y ) 的联合密度函数为
e2 1

1 e2 dx = ln x 1 = 2 , x

y

?1 ? , ( x, y ) ∈ D , p ( x, y ) = ? 2 ? ?0, ( x, y ) ? D. 2 当 x < 1 或 x > e 时,pX (x) = 0,
当 1 ≤ x ≤ e 时, p X ( x) = ∫
2
+∞ ?∞

D 0 1

e2

x

p( x, y )dy = ∫

1 x 0

1 1 , dy = 2 2x

? 其他. ?0, 5. 求以下给出的(X, Y ) 的联合密度函数的边际密度函数 px (x) 和 py ( y):
(1) p1 ( x, y ) = ?

故 p X ( x) = ? 2 x

?1 ? , 1≤ x ≤ e2 ,

?e ? y , 0 < x < y; 其他. ?0, ?5 2 ? ( x + y ), 0 < y < 1 ? x 2 ; ? ?0,
其他.

(2) p2 ( x, y ) = ? 4

? ?0, 其他. 解: (1)当 x ≤ 0 时,pX (x) = 0,
当 x > 0 时, p X ( x) = ∫
+∞ ?∞

(3) p3 ( x, y ) = ? x

?1 ? , 0 < y < x < 1;

p1 ( x, y )dy = ∫ e ? y dy = ?e ? y
x

+∞

+∞ x

= e ?x ,

y

?e ? x , 故 p X ( x) = ? ?0,

x > 0; x ≤ 0.
0 x

当 y ≤ 0 时,pY ( y) = 0, 当 y > 0 时, pY ( y ) = ∫
+∞ ?∞

p1 ( x, y )dx = ∫ e ? y dx = y e ? y ,
0

y

2

? y e? y , 故 pY ( y ) = ? ?0,

y > 0; y ≤ 0.
1? x 2 1? x 2 5 2 5 1 5 ( x + y )dy = ( x 2 y + y 2 ) = (1 ? x 4 ) , 0 4 4 2 8 y 1

(2)当 x ≤ ?1 或 x ≥ 1 时,pX (x) = 0, 当?1 < x < 1 时, p X ( x) = ∫
+∞ ?∞

p 2 ( x, y )dy = ∫

0

?5 ? (1 ? x 4 ), ? 1 < x < 1; 故 p X ( x) = ? 8 ? 其他. ?0, 当 y ≤ 0 或 y ≥ 1 时,pY ( y) = 0,
当 0 < y < 1 时,pY ( y ) = ∫
+∞ ?∞

p ( x, y )dx = ∫

1? y

? 1? y

1? y 5 2 5 1 ( x + y )dx = ( x 3 + xy ) ? 1? y 4 4 3

x ?1 0 1 5 = (1 + 2 y ) 1 ? y , 6

?5 ? (1 + 2 y ) 1 ? y , 0 < y < 1; 故 pY ( y ) = ? 6 ? 其他. ?0,
(3)当 x ≤ 0 或 x ≥ 1 时,pX (x) = 0, 当 0 < x < 1 时, p X ( x) = ∫ p3 ( x, y )dy = ∫
?∞ +∞

x

0

1 1 dy = x ? = 1 , x x

y

故 p X ( x) = ?

?1, 0 < x < 1; ?0, 其他.
+∞

0
1

1

x

当 y ≤ 0 或 y ≥ 1 时,pY ( y) = 0, 当 0 < y < 1 时, pY ( y ) = ∫ p ( x, y )dx = ∫
?∞

y

1 1 dx = ln x y = ln 1 ? ln y = ? ln y , x

故 pY ( y ) = ?

?? ln y, 0 < y < 1; 其他. ?0,

6. 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

?6, 0 < x 2 < y < x < 1, p ( x, y ) = ? ?0, 其他.
试求边际密度函数 px (x) 和 py ( y). 解:当 x ≤ 0 或 x ≥ 1 时,pX (x) = 0, 当 0 < x < 1 时, p X ( x) = ∫ 故 p X ( x) = ?
+∞ ?∞

p ( x, y )dy = ∫ 2 6dy = 6( x ? x ) ,
2 x

x

y 1

?6( x ? x 2 ), 0 < x < 1, 其他. ?0,
+∞

当 y ≤ 0 或 y ≥ 1 时,pY ( y) = 0, 当 0 < y < 1 时, pY ( y ) = ∫
?∞

0
y

1

x

p( x, y )dx = ∫

y

6dx = 6( y ? y ) ,

? ?6( y ? y ), 0 < y < 1, 故 pY ( y ) = ? ? 其他. ?0,
7. 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数,它们有相同的边际密度函数.

3

? x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, p ( x, y ) = ? 其他. ?0, ?(0.5 + x)(0.5 + y ), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, g ( x, y ) = ? 其他. ?0,
证:当 x < 0 或 x > 1 时,pX (x) = 0, 当 0 ≤ x ≤ 1 时, p X ( x) = ∫
+∞ ?∞

p ( x, y )dy = ∫ ( x + y )dy = ( xy +
0

1

1 2 1 y ) = x + 0.5 , 0 2

? x + 0.5, 0 ≤ x ≤ 1, 则 p X ( x) = ? 其他. ?0,
当 y < 0 或 y > 1 时,pY ( y) = 0, 当 0 ≤ y ≤ 1 时, pY ( y ) = ∫
+∞ ?∞

1 1 1 p ( x, y )dx = ∫ ( x + y )dx = ( x 2 + xy ) = y + 0.5 , 0 0 2

? y + 0.5, 0 ≤ y ≤ 1, 则 pY ( y ) = ? 其他. ?0,
并且当 x < 0 或 x > 1 时,gX (x) = 0, 当 0 ≤ x ≤ 1 时, g X ( x) = ∫ g ( x, y )dy = ∫ (0.5 + x)(0.5 + y )dy = (0.5 + x) ?
?∞ +∞

1

0

1 ( 0 .5 + y ) 2 2

1 0

= x + 0.5 ,

? x + 0.5, 0 ≤ x ≤ 1, 则 g X ( x) = ? 其他. ?0,
当 y < 0 或 y > 1 时,gY ( y) = 0, 当 0 ≤ y ≤ 1 时, g Y ( y ) = ∫ g ( x, y )dx = ∫ (0.5 + x)(0.5 + y )dx =
?∞ +∞

1

0

1 1 (0.5 + x) 2 ? (0.5 + y ) = y + 0.5 , 0 2

? y + 0.5, 0 ≤ y ≤ 1, 则 g Y ( y) = ? 其他. ?0,
故它们有相同的边际密度函数. 8. 设随机变量 X 和 Y 独立同分布,且 P{X = ?1} = P{Y = ?1} = P{X = 1} = P{Y = 1} = 1/2, 试求 P{X = Y }. 解:因 X 和 Y 独立同分布,且 P{X = ?1} = P{Y = ?1} = P{X = 1} = P{Y = 1} = 1/2, 则(X, Y ) 的联合概率分布

Y X ?1 1 p? j

?1 1 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2

pi ? 1 2 1 2

故 P{X = Y } = P{X = ?1, Y = ?1} + P{X = 1, Y = 1} = 1/2. 9. 甲、乙两人独立地各进行两次射击,假设甲的命中率为 0.2,乙的命中率为 0.5,以 X 和 Y 分别表示甲
4

和乙的命中次数,试求 P{X ≤ Y }. 解:因 X 的全部可能取值为 0, 1, 2,

? 2? 2 且 P{X = 0} = 0.8 2 = 0.64, P{ X = 1} = ? ?1? ? × 0.2 × 0.8 = 0.32 ,P{X = 2} = 0.2 = 0.04, ? ?
又因 Y 的全部可能取值为 0, 1, 2,

? 2? 2 且 P{Y = 0} = 0.5 2 = 0.25, P{Y = 1} = ? ?1? ? × 0.5 × 0.5 = 0.5 ,P{Y = 2} = 0.5 = 0.25, ? ?
则(X, Y ) 的联合概率分布

Y X 0 1 2 p? j

0

1

2

pi ?

0.16 0.32 0.16 0.64 0.08 0.16 0.08 0.32 0.01 0.02 0.01 0.04 0.25 0 .5 0.25

故 P{X ≤ Y } = 1 ? P{X > Y } = 1 ? P{X = 1, Y = 0} ? P{X = 2, Y = 0} ? P{X = 2, Y = 1} = 0.89. 10.设随机变量 X 和 Y 相互独立,其联合分布列为 Y y1 y2 y3 X x1 a 1/ 9 c

x2
解:因 p1 ? = a +

1/ 9

b

1/ 3

试求联合分布列中的 a, b, c.

1 1 1 4 1 1 1 + c , p 2 ? = + b + = b + , p?1 = a + , p?2 = + b , p?3 = + c , 9 9 3 9 9 9 3

4 ?? 1 5 4 ? ? , 根据独立性,知 p 22 = b = p 2 ? ? p?2 = ? b + ?? + b ? = b 2 + b + 9 ?? 9 9 81 ? ?

2? 4 4 ? = 0 ,即 ? b ? ? = 0 , 可得 b ? b + 9 81 9? ?
2

2

故b =

2 ; 9 1 1 1 4 ?? 1? 6? 1? ? = p 2 ? ? p?1 = ? b + ?? a + ? = ? a + ? ,可得 a + = , 9 6 9 9 ?? 9? 9? 9? ?

再根据独立性,知 p 21 = 故a =

1 ; 18
2 3

由正则性,知 ∑∑ p ij = a +
i =1 j =1

4 1 1 1 5 + c + + b + = a + b + c + = 1 ,可得 a + b + c = , 9 9 9 3 9

4 3 1 ?a?b= = . 9 18 6 11.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X ~ U (0, 1),Y ~ Exp (1).试求(1)X 与 Y 的联合密度函数; (2)P{Y ≤ X }; (3)P{X + Y ≤ 1}.
故c =
5

解: (1)因 X 与 Y 相互独立,且边际密度函数分别为

?e ? y , ?1, 0 < x < 1, pY ( y ) = ? p X ( x) = ? ?0, 其他. ?0,
故 X 与 Y 的联合密度函数为

y ≥ 0, y < 0.

y

y 1

?e ? y , 0 < x < 1, y ≥ 0, p ( x, y ) = p X ( x) pY ( y ) = ? 其他. ?0,
1
x

0
1

1

x

0

1

x

(2) P{Y ≤ X } = ∫ dx ∫ e ? y dy = ∫ dx ? (? e ? y ) = ∫ (1 ? e ? x )dx = ( x + e ? x ) = 1 + e ?1 ? 1 = e ?1 ;
0 0 0 0 0 0

1

x

1

(3) P{ X + Y ≤ 1} = ∫ dx ∫
0

1

1? x

0

e ? y dy = ∫ dx ? (? e ? y )
0

1

1? x 0

= ∫ (1 ? e x ?1 )dx = ( x ? e x ?1 ) = e ?1 .
0 0

1

1

12.设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

?3 x, 0 < x < 1, 0 < y < x, p ( x, y ) = ? ?0, 其他.
试求(1)边际密度函数 px (x) 和 py ( y); (2)X 与 Y 是否独立. 解: (1)当 x ≤ 0 或 x ≥ 1 时,pX (x) = 0, 当 0 < x < 1 时, p X ( x) = ∫ p ( x, y )dy = ∫ 3 xdy = 3 x 2 ,
?∞ +∞

y 1

x

0

?3 x 2 , 0 < x < 1, 故 p X ( x) = ? 其他. ?0,
当 y ≤ 0 或 y ≥ 1 时,pY ( y) = 0, 当 0 < y < 1 时, pY ( y ) = ∫
+∞ ?∞

0

1

x

p ( x, y )dx = ∫ 3 xdx =
y

1

3 2 x 2

1
y

=

3 (1 ? y 2 ) , 2

?3 ? (1 ? y 2 ), 0 < y < 1, 故 pY ( y ) = ? 2 ? 其他. ?0, ?9 2 ? x (1 ? y 2 ), 0 < x < 1, 0 < y < 1, (2)因 p X ( x) pY ( y ) = ? 2 即 px (x) py ( y) ≠ p (x, y), ? 其他. ?0,
故 X 与 Y 不独立. 13.设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

?1, | x | < y, 0 < y < 1, p ( x, y ) = ? ?0, 其他.
试求(1)边际密度函数 px (x) 和 py ( y); (2)X 与 Y 是否独立. 解: (1)当 x ≤ ?1 或 x ≥ 1 时,pX (x) = 0, 当?1 < x < 0 时, p X ( x) = ∫ 当 0 ≤ x < 1 时, p X ( x) = ∫
+∞ ?∞

y

p( x, y ) dy = ∫ 1dy = 1 + x ,
?x

1

1

+∞

?∞

p ( x, y )dy = ∫ 1dy = 1 ? x ,
x

1

?1

0

1

x

?1 + x, ? 1 < x < 0, ? 故 p X ( x) = ?1 ? x, 0 ≤ x < 1, ?0, 其他. ?
6

当 y ≤ 0 或 y ≥ 1 时,pY ( y) = 0, 当 0 < y < 1 时, pY ( y ) = ∫ p ( x, y )dx = ∫ 1dx = 2 y ,
?∞ ?y +∞ y

?2 y , 0 < y < 1, 故 pY ( y ) = ? 其他. ?0, ?2 y (1 + x), ? 1 < x < 0, 0 < y < 1, ? 即 px (x) py ( y) ≠ p (x, y), (2)因 p X ( x) pY ( y ) = ?2 y (1 ? x), 0 ≤ x < 1, 0 < y < 1, ?0, 其他. ?
故 X 与 Y 不独立. 14.设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数如下,试问 X 与 Y 是否相互独立?

? x e ? ( x + y ) , x > 0, y > 0; (1) p ( x, y ) = ? 其他. ?0,
(2) p ( x, y ) =

1 , ? ∞ < x, y < +∞ ; π (1 + x )(1 + y 2 )
2 2

?2, 0 < x < y < 1; (3) p ( x, y ) = ? ?0, 其他. ?24 xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1; (4) p ( x, y ) = ? 其他. ?0, ?12 xy (1 ? x), 0 < x < 1, 0 < y < 1; (5) p ( x, y ) = ? 其他. ?0, ? 21 2 ? x y , x 2 < y < 1; (6) p ( x, y ) = ? 4 ? 其他. ?0, ? (x + y ) ?x 解: (1)因 xe = xe ? e ?y 可分离变量,x > 0, y > 0 是广义矩形区域,故 X 与 Y 相互独立; 1 1 1 可分离变量,?∞ < x, y < +∞是广义矩形区域, (2)因 2 = ? 2 2 2 π (1 + x )(1 + y ) π(1 + x ) π(1 + y 2 ) 故 X 与 Y 相互独立; (3)因 0 < x < y < 1 不是矩形区域,故 X 与 Y 不独立; (4)因 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1 不是矩形区域,故 X 与 Y 不独立; (5)因 12xy(1 ? x) = 12x(1 ? x) ? y 可分离变量,0 < x < 1, 0 < y < 1 是矩形区域,故 X 与 Y 相互独立; (6)因 x2 < y < 1 不是矩形区域,故 X 与 Y 不独立. 15.在长为 a 的线段的中点的两边随机地各取一点,求两点间的距离小于 a / 3 的概率. 解:设 X 和 Y 分别表示这两个点与线段中点的距离,有 X 和 Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布, 则(X, Y ) 的联合密度函数为 y a /2 a a ?4 D ? , 0< x< ,0< y< , a /3 p ( x, y ) = ? a 2 2 2 ? 其他. ?0, G x 0 a /3 a /2
7

S a 故所求概率为 P{ X + Y < } = G = 3 SD
16.设二维随机变量(X, Y ) 服从区域

1 ?a? ×? ? 2 ?3? ?a? ? ? ?2?
2

2

=

2 . 9

D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} 上的均匀分布,试证 X 与 Y 相互独立. 证:因(X, Y ) 的联合密度函数为

1 ? , a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ; ? p ( x, y ) = ? (b ? a)(d ? c) ? 其他. ?0,
当 x < a 或 x > b 时,pX (x) = 0, 当 a ≤ x ≤ b 时, p X ( x) = ∫ p ( x, y )dy = ∫
?∞ +∞
d c

1 1 , dy = (b ? a)(d ? c) b?a

? 1 ? , a ≤ x ≤ b; 则 p X ( x) = ? b ? a ? 其他. ?0,
当 y < c 或 y > d 时,pY ( y) = 0, 当 c ≤ y ≤ d 时, pY ( y ) = ∫ p( x, y )dx = ∫
?∞ +∞
b a

1 1 , dx = (b ? a)(d ? c) d ?c

? 1 ? , c ≤ y ≤ d; 则 pY ( y ) = ? d ? c ? 其他. ?0,
因 px (x) py ( y) = p (x, y), 故 X 与 Y 相互独立. 17.设 X1, X2, …, Xn 是独立同分布的正值随机变量.证明

? X1 + L + X k ? k E? ? X +L+ X ? ?= n, k ≤n. n ? ? 1
证:因 X1, X2, …, Xn 是独立同分布的正值随机变量, 则由对称性知

Xi X1 + L + X n

(i = 1, 2, L, n) 同分布,且满足 0 <

Xi < 1, X1 + L + X n

? ? ? ? ? ? ? ? Xi X1 X2 Xn 可得 E ? ? X +L+ X ? ? = E? ? X +L+ X ? ? = L = E? ? X +L+ X ? ? X +L+ X ? ? 存在,且 E ? ?, n ? n ? n ? n ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? X1 因 E? ? X +L+ X n ? 1 ? ? ? ? ? ? X1 + L + X n ? Xn X2 ? ? + E? ? X +L+ X ? ? + L + E? ? X +L+ X ? ? = E? ? X +L+ X ? ? =1, n ? n ? n ? ? ? 1 ? 1 ? 1

? ? ? ? ? ? 1 Xn X1 X2 则 E? ? X +L+ X ? ? = E? ? X +L+ X ? ? = L = E? ? X +L+ X ? ?= n , n ? n ? n ? ? 1 ? 1 ? 1 ? X1 + L + X k 故 E? ? X +L+ X n ? 1 ? k ? ?= n, k ≤n. ?
8

习题 3.3
1. 设二维随机变量(X, Y ) 的联合分布列为

Y X 0 1 2

1

2

3

0.05 0.15 0.20 0.07 0.11 0.22 0.04 0.07 0.09

试分布求 U = max{X, Y } 和 V = min{X, Y } 的分布列. 解:因 P{U = 1} = P{X = 0, Y = 1} + P{X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12; P{U = 2} = P{X = 0, Y = 2} + P{X = 1, Y = 2} + P{X = 2, Y = 2} + P{X = 2, Y = 1} = 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37; P{U = 3} = P{X = 0, Y = 3} + P{X = 1, Y = 3} + P{X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51; 故 U 的分布列为

U P

1 2 3 0.12 0.37 0.51

因 P{V = 0} = P{X = 0, Y = 1} + P{X = 0, Y = 2} + P{X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40; P{V = 1} = P{X = 1, Y = 1} + P{X = 1, Y = 2} + P{X = 1, Y = 3} + P{X = 2, Y = 1} = 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44; P{V = 2} = P{X = 2, Y = 2} + P{X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16; 故 V 的分布列为

V 0 1 2 P 0.40 0.44 0.16
2. 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量,且 X ~ Exp(λ ),Y ~ Exp(? ).如果定义随机变量 Z 如下

?1, 当 X ≤ Y , Z =? ?0, 当 X > Y .
求 Z 的分布列. 解:因(X, Y ) 的联合密度函数为

?λ? e ? ( λ x + ? y ) , x > 0, y > 0, p ( x, y ) = p X ( x ) p Y ( y ) = ? 其他. ?0,
则 P{Z = 1} = P{ X ≤ Y } = ∫
+∞

y X<Y
+∞

0

dx ∫ λ? e ? ( λ x + ? y ) dy = ∫ dx ? (?λ ) e ?( λ x + ? y )
x

+∞

+∞

0

x

X>Y 0 x

=∫ λe
0

+∞

?( λ + ? ) x

dx = ?

λ λ+ ?


e

?(λ + ? ) x

+∞

0

=

λ λ+ ?



P{Z = 0} = 1 ? P{Z = 1} =
故 Z 的分布列为

? λ+?

Z P

? λ+?

0

λ

1

λ+?
9

3. 设随机变量 X 和 Y 的分布列分别为

X ?1 0 1 P 1/ 4 1/ 2 1/ 4

Y 0 1 P 1/ 2 1/ 2

已知 P{XY = 0} = 1,试求 Z = max{X, Y }的分布列. 解:因 P{X1 X2 = 0} = 1,有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0, 即 P{X1 = ?1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0,可得 (X, Y ) 的联合分布列为

Y X ?1 0 1 p? j

0

1

pi ? 1/ 4 1/ 2 1/ 4

Y X ?1 0 1 p? j

0

1

pi ?

1/ 2 1/ 2

1/ 4 0 1/ 4 0 1/ 2 1/ 2 1/ 4 0 1/ 4 1/ 2 1/ 2

因 P{Z = 0} = P{ X = ?1, Y = 0} + P{ X = 0, Y = 0} =

1 1 +0= ; 4 4

P{Z = 1} = 1 ? P{Z = 0} =
故 Z 的分布列为

3 ; 4

Z P

0 1 4

1 3 4

4. 设随机变量 X、Y 独立同分布,在以下情况下求随机变量 Z = max{X, Y }的分布列. (1)X 服从 p = 0.5 的 (0-1) 分布; (2)X 服从几何分布,即 P{X = k} = (1 ? p) k ? 1p,k = 1, 2, …. 解: (1)(X, Y ) 的联合分布列为

Y X 0 1 p? j

0

1

pi ?

0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5

因 P{Z = 0} = P{X = 0, Y = 0} = 0.25;P{Z = 1} = 1 ? P{Z = 0} = 0.75; 故 Z 的分布列为

Z 0 1 P 0.25 0.75
(2)因 P{Z = k} = P{X = k, Y ≤ k} + P{X < k, Y = k} = P{X = k} P{Y ≤ k} + P{X < k} P{Y = k}

= (1 ? p ) k ?1 p ? ∑ (1 ? p) j ?1 p + ∑ (1 ? p) i ?1 p ? (1 ? p) k ?1 p
j =1 i =1

k

k ?1

= (1 ? p ) k ?1 p ?

1 ? (1 ? p) k 1 ? (1 ? p) k ?1 p+ p ? (1 ? p) k ?1 p 1 ? (1 ? p ) 1 ? (1 ? p)

= (1 ? p) k ? 1 p ? [2 ? (1 ? p) k ? 1 ? (1 ? p) k ] 故 Z = max{X, Y }的概率函数为 pz (k) = (1 ? p) k ? 1 p ? [2 ? (1 ? p) k ? 1 ? (1 ? p) k ],k = 1, 2, ….
10

5. 设 X 和 Y 为两个随机变量,且

P{ X ≥ 0, Y ≥ 0} =
试求 P{max{X, Y } ≥ 0}.

3 4 , P{ X ≥ 0} = P{Y ≥ 0} = , 7 7

3 4 , P ( A) = P ( B ) = , 7 7 4 4 3 5 故 P{max{ X , Y } ≥ 0} = P ( A U B ) = P ( A) + P( B) ? P( AB ) = + ? = . 7 7 7 7 6. 设 X 与 Y 的联合密度函数为
解:设 A 表示事件“X ≥ 0” ,B 表示事件“Y ≥ 0” ,有 P ( AB ) =

?e ? ( x + y ) , x > 0, y > 0, p ( x, y ) = ? 其他. ?0,
试求以下随机变量的密度函数(1)Z = (X + Y )/2; (2)Z = Y ? X. 解:方法一:分布函数法

x+ y (1)作曲线簇 = z ,得 z 的分段点为 0, 2 当 z ≤ 0 时,FZ (z) = 0,
当 z > 0 时, FZ ( z ) = ∫ dx ∫
0 2z 0 2z 2z?x 0

y

e ? ( x + y ) dy = ∫ dx ? [? e ?( x + y ) ]
0 2z 0

2z

2z?x 0

0

2z

x

= ∫ ( ? e ? 2 z + e ? x )dx = (? e ? 2 z x ? e ? x )

= 1 ? (2 z + 1) e ? 2 z ,

因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = (X + Y )/2 为连续随机变量, 故 Z = (X + Y )/2 的密度函数为

?4 z e ?2 z , z > 0, pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ? z ≤ 0. ?0,
(2)作曲线簇 y ? x = z,得 z 的分段点为 0, 当 z ≤ 0 时, FZ ( z ) = ∫
+∞ ?z x+ z +∞ x+ z
0

dx ∫

0

e ?( x + y ) dy = ∫ dx ? [? e ? ( x + y ) ]
?z

= ∫ [? e ? ( 2 x + z ) + e ? x ]dx ?z y

+∞

?1 ? ?1 ? 1 = ? e ?( 2 x + z ) ? e ? x ? = ? ? e z ? e z ? = e z , ?2 ? ?z ?2 ? 2
当 z > 0 时, FZ ( z ) = ∫
+∞
0

+∞

dx ∫

x+ z

0

e

?( x + y )

dy = ∫ dx ? [? e
0

+∞

?( x + y )

]

x+ z
0

= ∫ [? e
0

+∞

?( 2 x + z )

0 ?z + e ? x ]dx y

x

1 ?1 ? ?1 ? = ? e ? ( 2 x + z ) ? e ? x ? = ? ? e ? z ? 1? = 1 ? e ? z , 2 ?2 ?0 ?2 ?
因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = Y ? X 为连续随机变量, 故 Z = Y ? X 的密度函数为

+∞

z 0 x

?1 z ? e , z ≤ 0, pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ? 2 1 ? e ? z , z > 0. ?2
方法二:增补变量法 (1)函数 z =

x+ y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加,增补变量 v = y, 2
11

x+ y ? x′ ? x = 2 z ? v, ?z = , z 可得 ? 有反函数 ? 且J = 2 ′ y y = v , z ? ? ?v = y,
则 p Z ( z) = ∫ 作曲线簇
+∞ +∞ ?∞ ?∞

′ 2 ?1 xv = =2, ′ 0 1 yv
y 2z

p (2 z ? v, v) ? 2dv = ∫ 2 p(2 z ? v, v)dv ,

x+ y = z ,得 z 的分段点为 0, 2 当 z ≤ 0 时,pZ (z) = 0,
2z 0

当 z > 0 时, p Z ( z ) = ∫ 2 e ? 2 z dv = 4 z e ? 2 z , 故 Z = (X + Y )/2 的密度函数为

0

x

?4 z e ?2 z , z > 0, p Z ( z) = ? z ≤ 0. ?0,
(2)函数 z = y ? x 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加,增补变量 v = y, y

x′ ? z = y ? x, ? x = v ? z, z 可得 ? 有反函数 ? 且J = y′ z ?v = y, ? y = v,
则 p Z ( z) = ∫
+∞ ?∞

′ ?1 1 xv = = ?1 , ′ yv 0 1

p(v ? z , v)dv ,
0
+∞
0

作曲线簇 y ? x = z,得 z 的分段点为 0, 当 z ≤ 0 时, p Z ( z ) = ∫

?z

x

1 e ? 2 v + z dv = ? e ? 2 v + z 0 2 +∞ 1 当 z > 0 时, p Z ( z ) = ∫ e ? 2 v + z dv = ? e ? 2 v + z z 2 故 Z = Y ? X 的密度函数为
+∞

=

+∞

z

1 z e , 2 1 = e ?z , 2

y

z 0 x

?1 z ? 2 e , z ≤ 0, pZ ( z ) = ? 1 ? e ? z , z > 0. ?2
7. 设 X 与 Y 的联合密度函数为

?3 x, 0 < x < 1, 0 < y < x, p ( x, y ) = ? ?0, 其他.
试求 Z = X ? Y 的密度函数. 解:方法一:分布函数法 作曲线簇 x ? y = z,得 z 的分段点为 0, 1, 当 z < 0 时,FZ (z) = 0, 当 0 ≤ z < 1 时, FZ ( z ) = ∫ dx ∫ 3 xdy + ∫ dx ∫
0 0

z

x

1

x

z

x?z

3 xdy = ∫ 3 x 2 dx + ∫ 3 xzdx = x 3
0

z

1

z
0

z

+
y 1

3 2 1 3 1 x z = z ? z3, z 2 2 2

当 z ≥ 1 时,FZ (z) = 1, 因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = X ? Y 为连续随机变量, 故 Z = X ? Y 的密度函数为

?3 ? (1 ? z 2 ), 0 < z < 1, pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ? 2 ? 其他. ?0,
12

0

z

1

x

方法二:增补变量法 函数 z = x ? y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加,增补变量 v = y,

x′ ? z = x ? y, ? x = z + v, z 可得 ? 有反函数 ? 且J = ′ y v = y , y = v , z ? ?
则 p Z ( z) = ∫
+∞ ?∞

′ 1 1 xv = = 1, ′ 0 1 yv

p( z + v, v)dv ,
y
1? z 0

作曲线簇 x ? y = z,得 z 的分段点为 0, 1, 当 z ≤ 0 或 z ≥ 1 时,pZ (z) = 0, 当 0 < z < 1 时, p Z ( z ) = ∫
1? z 0

3( z + v)dv =

3 ( z + v) 2 2

=

3 (1 ? z 2 ) , 2

1?z 0 1 x

故 Z = X ? Y 的密度函数为

?3 ? (1 ? z 2 ), 0 < z < 1, pZ ( z ) = ? 2 ? 其他. ?0, 8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量,其密度函数为 ?t e ? t , t > 0, p1 (t ) = ? t ≤ 0. ?0,
设各周的需要量是相互独立的,试求 (1)两周需要量的密度函数 p2 (x); (2)三周需要量的密度函数 p3 (x). 解:方法一:根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量 设 Ti 表示“该种商品第 i 周的需要量” ,因 Ti 的密度函数为

? 1 2 ?1 ?t t e , t > 0, ? p1 (t ) = ? Γ(2) ? t ≤ 0. ?0,
可知 Ti 服从伽玛分布 Ga (2, 1), (1)两周需要量为 T1 + T2,因 T1 与 T2 相互独立且都服从伽玛分布 Ga (2, 1), 故 T1 + T2 服从伽玛分布 Ga (4, 1),密度函数为

? 1 4 ?1 ? x 1 x e , x > 0, ? ? ? x 3 e ? x , x > 0, p 2 ( x ) = ? Γ ( 4) = ?6 ? x ≤ 0. x ≤ 0. ? ?0, ?0,
(2)三周需要量为 T1 + T2 + T3,因 T1, T2, T3 相互独立且都服从伽玛分布 Ga (2, 1), 故 T1 + T2 + T3 服从伽玛分布 Ga (6, 1),密度函数为

? 1 6 ?1 ? x 1 5 ?x x e , x > 0, ? ? ? x e , x > 0, p 3 ( x) = ? Γ(6) = ?120 ? x ≤ 0. x ≤ 0. ? ?0, ?0, 方法二:分布函数法 (1)两周需要量为 X2 = T1 + T2,作曲线簇 t1 + t2 = x,得 x 的分段点为 0, 当 x ≤ 0 时,F2 (x) = 0,
当 x > 0 时, F2 ( x) = ∫ dt1 ∫
0

x

x ?t1

0

t1 e ?t1 ? t2 e ?t2 dt2 = ∫ dt1 ? t1 e ?t1 (?t2 e ?t2 ? e ?t2 )
0

x

x ?t1
0

t2

= ∫ [(t12 ? xt1 ? t1 ) e ? x + t1 e ?t1 ]dt1
0

x

?? 1 ? 1 1 ? = ?? t13 ? t12 x ? t12 ? e ? x ? t1 e ?t1 ? e ?t1 ? 2 2 ? ?? 3 ?0
13

x

0

x

t1

1 1 ? ?1 = ? x 3 ? x 3 ? x 2 ? e ? x ? x e ? x ? e ? x ? ( ?1) 3 2 2 ? ? 1 2 ?x 1 3 ?x x e ? x e , 2 6 因分布函数 F2 (x) 连续,有 X2 = T1 + T2 为连续随机变量, 故 X2 = T1 + T2 的密度函数为 = 1 ? e?x ? x e?x ?

? 1 3 ?x ? x e , x > 0, ′ p2 ( x) = F2 ( x) = ? 6 ? x ≤ 0. ?0,
(2)三周需要量为 X3 = T1 + T2 + T3 = X2 + T3,作曲线簇 x2 + t3 = x,得 x 的分段点为 0, 当 x ≤ 0 时,F3 (x) = 0, 当 x > 0 时, F3 ( x) = ∫ dx2 ∫
0

x

x ? x2

0

x ? x2 x 1 3 ? x2 1 3 ? x2 x2 e ? t3 e ?t3 dt3 = ∫ dx2 ? x2 e (?t3 e ?t3 ? e ?t3 ) 0 0 6 6

=

1` x 4 3 3 3 ? x2 [( x2 ? x2 x ? x2 ) e ? x + x2 e ]dx2 6 ∫0
x

1 ?? 1 5 1 4 1 4 ? ? x 3 ? x2 ?x ?x ? 2 ?x = ?? x2 ? x2 x ? x2 ? e ? x2 e ? 3 x2 e 2 ? 6 x2 e 2 ? 6 e 2 ? 6 ?? 5 4 4 ? ?0
1 1?1 1 1 ? 1 = ? x 5 ? x 5 ? x 4 ? e ? x ? x 3 e ? x ? x 2 e ? x ? x e ? x ? e ? x ? (?1) 6?5 4 4 ? 6 2 1 2 ?x 1 3 ?x 1 4 ?x 1 5 ?x x e ? x e ? x e ? x e , 2 6 24 120 t3 因分布函数 F3 (x) 连续,有 X3 = T1 + T2 + T3 为连续随机变量, 故 X3 = T1 + T2 + T3 的密度函数为 = 1 ? e ?x ? x e ?x ?

? 1 5 ?x ? x e , x > 0, p3 ( x) = F3′( x) = ?120 ? x ≤ 0. ?0, 方法三:卷积公式(增补变量法)
(1)两周需要量为 X2 = T1 + T2,卷积公式 p 2 ( x) = ∫ 作曲线簇 t1 + t2 = x,得 x 的分段点为 0, 当 x ≤ 0 时,p2 (x) = 0, 当 x > 0 时,
+∞ ?∞

0 t2

x

x2

pT1 ( x ? t 2 ) pT2 (t 2 )dt 2 ,

x

0
x 2 2 ?x

t1
x

p 2 ( x) = ∫ ( x ? t 2 ) e
0

x

?( x ?t 2 )

? t2 e

?t 2

dt 2 = ∫ ( xt 2 ? t ) e
0

1 3 ? ?x ?1 2 dt 2 = ? t 2 x ? t2 ?e 3 ? ?2

=
0

1 3 ?x x e , 6

故 X2 = T1 + T2 的密度函数为

?1 3 ?x ? x e , x > 0, p 2 ( x) = ? 6 ? x ≤ 0. ?0,
(2)三周需要量为 X3 = T1 + T2 + T3 = X2 + T3,卷积公式 p3 ( x) = ∫ p X 2 ( x ? t3 ) pT3 (t3 ) dt3 ,
?∞ +∞

作曲线簇 x2 + t3 = x,得 x 的分段点为 0, 当 x ≤ 0 时,p3 (x) = 0,
14

当 x > 0 时, p 3 ( x) = ∫

x 1 1 2 3 4 ( x ? t 3 ) 3 e ?( x ?t3 ) t 3 e ?t3 dt 3 = ∫ ( x 3 t 3 ? 3 x 2 t 3 + 3 xt 3 ? t3 ) e ? x dt 3 0 6 0 6 t3 x 1?1 2 3 3 2 3 4 1 5 ? ?x 1 5 ?x = ? t3 x ? t3 x + t3 x ? t3 = x e , ?e x 6?2 4 5 ? 120 0 x

故 X3 = T1 + T2 + T3 的密度函数为

? 1 5 ?x ? x e , x > 0, p 3 ( x) = ?120 ? x ≤ 0. ?0, 9. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,试在以下情况下求 Z = X + Y 的密度函数: (1)X ~ U (0, 1),Y ~ U (0, 1); (2)X ~ U (0, 1),Y ~ Exp (1). 解:方法一:分布函数法 (1)作曲线簇 x + y = z,得 z 的分段点为 0, 1, 2, 当 z < 0 时,FZ (z) = 0,
当 0 ≤ z < 1 时, FZ ( z ) = ∫ dx ∫
0 z z?x

0

x2

y

0

1 ? 1 ? 1dy = ∫ ( z ? x)dx = ? zx ? x 2 ? = z 2 , 0 2 ?0 2 ?
z
1

z

0

当 1 ≤ z < 2 时, FZ ( z ) = ∫

z ?1

0

dx ∫ 1dy + ∫ dx ∫
0

1

z?x

z ?1

0

1dy = ∫ 1dx + ∫ ( z ? x) dx = z ? 1 ?
0

z ?1

1

z ?1

1 ( z ? x) 2 2

z 1

x
1

z ?1

= z ?1?

1 1 1 ( z ? 1) 2 + = 2 z ? z 2 ? 1 , 2 2 2

y

当 z ≥ 2 时,FZ (z) = 1, 因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = X + Y 为连续随机变量, 故 Z = X + Y 的密度函数为

0 ≤ z < 1, ? z, ? pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ?2 ? z , 1 ≤ z < 2, ?0, 其他. ?
(2)作曲线簇 x + y = z,得 z 的分段点为 0, 1, 当 z < 0 时,FZ (z) = 0, 当 0 ≤ z < 1 时,

0 z ?1 y y

1

x

0
z?x
0

z 1

x

0
z
0

1

x

FZ ( z ) = ∫ dx ∫
0

z

z?x

0

e ? y dy = ∫ dx ? (? e ? y )
0

z

= ∫ (1 ? e ? z + x )dx = ( x ? e ? z + x ) = z ? 1 + e ? z ,
0

z

当 z ≥ 1 时,

FZ ( z ) = ∫ dx ∫
0

1

z?x

0

e ? y dy = ∫ dx ? (? e ? y )
0

1

z?x
0

= ∫ (1 ? e ? z + x )dx = ( x ? e ? z + x ) = 1 ? e1? z + e ? z ,
0 0

1

1

因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = X + Y 为连续随机变量, 故 Z = X + Y 的密度函数为

?1 ? e ? z , 0 ≤ z < 1, ? ?z pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ?(e? 1) e , z ≥ 1, ?0, z < 0. ?
方法二:卷积公式(增补变量法) 卷积公式 p Z ( z ) = ∫ p X ( z ? y ) pY ( y )dy ,
?∞ +∞

y z

(1)作曲线簇 x + y = z,得 z 的分段点为 0, 1, 2,
15

0

1

x

当 z ≤ 0 或 z ≥ 2 时,pZ (z) = 0, 当 0 < z < 1 时, p Z ( z ) = ∫ 1dy = z ,
0

z

y 1

当 1 ≤ z < 2 时, p Z ( z ) = ∫ 1dy = 2 ? z ,
z ?1

1

故 Z = X + Y 的密度函数为

z ?1 0 1 x

0 ≤ z < 1, ? z, ? pZ ( z ) = ?2 ? z , 1 ≤ z < 2, ?0, 其他. ?
(2)作曲线簇 x + y = z,得 z 的分段点为 0, 1, 当 z ≤ 0 时,pZ (z) = 0, 当 0 < z < 1 时, p Z ( z ) = ∫ e
0

y z
?z

z

?y

dy = ( ? e ) = 1 ? e ,
0

?y

z

当 z ≥ 1 时, p Z ( z ) = ∫ e ? y dy = (? e ? y )
z ?1

z

z z ?1

= ? e ? z + e ? z +1 = (e? 1) e ? z ,

故 Z = X + Y 的密度函数为

0 y z

1

x

?1 ? e ? z , 0 ≤ z < 1, ? ?z p Z ( z ) = ?(e ? 1) e , z ≥ 1, ?0, z < 0. ?
10.设随机变量 X 与 Y 相互独立,试在以下情况下求 Z = X /Y 的密度函数: (1)X ~ U (0, 1),Y ~ Exp (1); (2)X ~ Exp (λ1),Y ~ Exp (λ2). 解:方法一:分布函数法 x x (1)作曲线簇 = z ,即直线簇 y = ,得 z 的分段点为 0, z y 当 z ≤ 0 时,FZ (z) = 0, 当 z > 0 时, FZ ( z ) = ∫ dx ∫x e
0 z 1 +∞ ?y x 1 z 0

z ?1 0 y 1/z x 1 x

0

1
? 1

dy = ∫ dx ? (? e ) x = ∫ e
?y 0 z 0

1

+∞

1 ?

x z

dx = (? z ) e

?

= z (1 ? e z ) ,

因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = X /Y 为连续随机变量, 故 Z = X /Y 的密度函数为
1 1 ? ? ? ?1 ? e z ? 1 e z , z > 0; pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ? z ? z ≤ 0. ?0,

y

(2)作曲线簇

x x = z ,即直线簇 y = ,得 z 的分段点为 0, z y 当 z ≤ 0 时,FZ (z) = 0,
+∞ +∞ +∞ +∞ z

0
+∞

x
λ x ? 2 z

当 z > 0 时, FZ ( z ) = ∫ dx ∫x λ1 e ?λ1x ? λ2 e ?λ2 y dy = ∫ dx ? λ1 e ?λ1x ? ( ? e ?λ2 y ) x = ∫ λ1 e ?λ1x ? e
0 z 0 0

dx

= ∫ λ1 e
0

+∞

λ ?( λ1 + 2 ) x z

dx = ?

λ1 λ1 +

λ2
z

e

λ ?( λ1 + 2 ) x z

+∞

=
0

λ1 z , λ1 z + λ2

因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = X /Y 为连续随机变量,
16

故 Z = X /Y 的密度函数为

? λ1λ2 , z > 0; ? pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ? (λ1 z + λ2 ) 2 ? z ≤ 0. ?0,
方法二:增补变量法 (1)函数 z = x / y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加,增补变量 v = y,

x′ ? z = x / y, ? x = zv, z 可得 ? 有反函数 ? 且J = y′ z ?v = y, ? y = v,
则 pZ ( z ) = ∫ p ( zv, v) ? | v | dv ,
?∞ +∞

′ v z xv = =v, ′ 0 1 yv

y 1/z

作曲线簇 x / y = z,得 z 的分段点为 0, 当 z ≤ 0 时,pZ (z) = 0, 当 z > 0 时, pZ ( z ) = ∫ z e ?v ? vdv = ? (v + 1) e ?v
0 1 1 z 0 1 1 1

0
? 1 ? ?1 ? ? = ?? + 1? e z + 1 = 1 ? e z ? e z , z ?z ?

1

x

故 Z = X /Y 的密度函数为
1 1 ? ? ? ?1 ? e z ? 1 e z , z > 0; pZ ( z ) = ? z ? z ≤ 0. ?0, (2)作曲线簇 x / y = z,得 z 的分段点为 0, 当 z ≤ 0 时,pZ (z) = 0,

当 z > 0 时, pZ ( z ) = ∫ λ1 e
0

+∞

?λ1zv

? λ2 e

?λ2v

? v ? ?( λ1z +λ2 ) v 1 e ? vdv = ? λ1λ2 ? + 2? ? λ1 z + λ2 (λ1 z + λ2 ) ? 0
y

+∞

λ1λ2 , = (λ1 z + λ2 ) 2
故 Z = X /Y 的密度函数为

? λ1λ2 , z > 0; ? pZ ( z ) = ? (λ1 z + λ2 ) 2 ? z ≤ 0. ?0,

0

x

11.设 X1 , X2 , X3 为相互独立的随机变量,且都服从(0, 1)上的均匀分布,求三者中最大者大于其他两者之 和的概率. x3 解:设 Ai 分别表示 Xi 大于其他两者之和,i = 1, 2, 3, 显然 A1 , A2 , A3 两两互不相容,且 P(A1) = P(A2) = P(A3), x2 1 则 P(A1∪A2∪A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 3P(A3) = 3P{X3 > X1 + X2} 因 X1 , X2 , X3 相互独立且都服从(0, 1)上的均匀分布,

1 1 × 1× 2 =1, 则由几何概型知 P{ X 3 > X 1 + X 2 } = 3 1 6 1 . 2 12.设随机变量 X1 与 X2 相互独立同分布,其密度函数为
故 P ( A1 U A2 U A3 ) = 3P{ X 3 > X 1 + X 2 } =

0

1

1

x1

?2 x, 0 < x < 1; p ( x) = ? ?0, 其他.
17

试求 Z = max {X1, X2} ? min {X1, X2}的分布. 解:分布函数法, 二维随机变量(X1, X2) 的联合密度函数为

?4 x x , 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1; p ( x1 , x2 ) = ? 1 2 其他. ?0,
因 Z = max {X1, X2} ? min {X1, X2} = | X1 ? X2 |, 作曲线簇 | x1 ? x2 | = z,得 z 的分段点为 0, 1, 当 z < 0 时,FZ (z) = 0, 当 0 ≤ z < 1 时,

x2 1

z 0
1

z

1

x1

FZ ( z ) = 1 ? 2∫ dx1 ∫
z

1

x1? z

0

2 4 x1 x2 dx2 = 1 ? 2∫ dx1 ? 2 x1 x2

x1? z
0

z

= 1 ? 4 ∫ ( x13 ? 2 zx12 + z 2 x1 )dx1
z

1

? x14 2 zx13 z 2 x12 ? ? 1 2z z 2 ? ? z 4 2z 4 z 4 ? 8z z4 2 ? ? ? ? ? , z = 1 ? 4? ? + = ? ? + + ? + = ? + 1 4 4 2 ? 4 ?4 3 ? 3 2 ? 2? 3 2? 3 ? ?z ? ? ? 4 ? 3
当 z ≥ 1 时,FZ (z) = 1, 因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = max {X1, X2} ? min {X1, X2}为连续随机变量, 故 Z = max {X1, X2} ? min {X1, X2}的密度函数为

1

?8 4z3 ? ? 4z + , 0 < z < 1; pZ ( z ) = FZ′ ( z ) = ? 3 3 ? 其他. ?0, 13.设某一个设备装有 3 个同类的电器元件,元件工作相互独立,且工作时间都服从参数为λ 的指数分 布.当 3 个元件都正常工作时,设备才正常工作.试求设备正常工作时间 T 的概率分布. 解:设 Ti 表示“第 i 个元件正常工作” ,有 Ti 服从指数分布 Exp (λ),分布函数为 ?1 ? e ? λ t , t > 0, Fi (t ) = ? i = 1, 2, 3 , t ≤ 0. ?0,
则设备正常工作时间 T = min {T1, T2, T3},分布函数为 F (t) = P{T = min {T1, T2, T3} ≤ t} = 1 ? P{min {T1, T2, T3} > t} = 1 ? P{T1 > t}P{T2 > t}P{T3 > t} = 1 ? [1 ? F1 (t)][1 ? F2 (t)][1 ? F3 (t)] 当 t ≤ 0 时,F (t) = 0, 当 t > 0 时,F (t) = 1 ? (e ? λ t )3 = 1 ? e ? 3λ t, 故设备正常工作时间 T 服从参数为 3λ 的指数分布 Exp (3λ),密度函数为

?3λ e ?3λ t , t > 0, p (t ) = F ′(t ) = ? t ≤ 0. ?0,
14.设二维随机变量(X, Y ) 在矩形 G = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}上服从均匀分布,试求边长分别为 X 和 Y 的矩形面积 Z 的密度函数. 解:二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

?1 ? , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, p ( x, y ) = ? 2 ? ?0, 其他.
方法一:分布函数法 矩形面积 Z = XY,作曲线族 xy = z,得 z 的分段点为 0, 2, 当 z ≤ 0 时,FZ (z) = 0,

y 1 0 z 2 x

18

z 2 2 z z 1 1 1 dx dy + ∫ dx ∫ x dy = ∫ dx + ∫ 0 0 2 0 2 0 2 z z 2x z z z z 2 = + ln x z = + (ln 2 ? ln z ) , 2 2 2 2 当 z ≥ 2 时,FZ (z) = 1, 因分布函数 FZ (z) 连续,有 Z = XY 为连续随机变量, 故矩形面积 Z = XY 的密度函数为

当 0 < z < 2 时, FZ ( z ) = ∫ dx ∫

z

1

?1 ? (ln 2 ? ln z ), 0 < z < 2, ′ pZ ( z ) = FZ ( z ) = ? 2 ? 其它. ?0,
方法二:增补变量法 矩形面积 Z = XY,函数 z = xy 对任意固定的 y ≠ 0 关于 x 严格单调增加,增补变量 v = y,

z ? x′ ? z = xy, ?x = , z 可得 ? 有反函数 ? v 且 J = y′ v = y , z ? ? ? y = v,
则 p Z ( z) = ∫
+∞

1 ′ xv = v ′ yv 0

?

z 1 v2 = , v 1

?∞

?z ? 1 p? , v ? ? dv , ?v ? v
y 1 z/2 0 2 x

作曲线族 xy = z,得 z 的分段点为 0, 2, 当 z ≤ 0 或 z ≥ 2 时,pZ (z) = 0, 当 0 < z < 2 时, p Z ( z ) = ∫z
1

2

1 z 1 1 1 1 dy = ln v z = 0 ? ln = (ln 2 ? ln z ) , 2v 2 2 2 2 2

故矩形面积 Z = XY 的密度函数为

?1 ? (ln 2 ? ln z ), 0 < z < 2, p Z ( z) = ? 2 ? 其它. ?0,

19


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