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赏析几道美国AMC12数学竞赛题


中学数学杂志 2012 年第 7 期

ZHONGXUESHUXUEZAZHI

运用导数推导点到直线的距离公式
云南省开远市第一中学 导数是高中的新增内容, 以导数为工具可以解 决初等数学的很多问题, 也为解决问题提供了新方 法和新思维. 点到直线的距离公式推导方法较多 , 现 在以导数为工具, 令辟蹊径, 给出点到直线的距离公 式的一种推导. y0 ) 到直线 l: Ax + By + C = 0 ( A2 求证: 点 P ( x0 , + B2 ≠ 0 ) 的距离 d = 证明 | Ax0 + By0 + C | A +B 槡
2 2

661699

赵宏伟 B2 x0 - ABy0 - AC 时 f' ( x) < 0 , A2 + B 2 B2 x0 - ABy0 - AC 时 f' ( x) > 0 . A2 + B 2 = f( B2 x0 - ABy0 - AC ) A2 + B 2
2

当x < 当x > f( x) = ( +( =

min



B2 x0 - ABy0 - AC - x0 ) A2 + B 2

y) 是直线 l: Ax + By + C = 0 上 设 M( x,

B 不同时为 0 , 任意一点, 因为 A、 当 B ≠ 0, 则y = - Ax + C Ax + C . 所以 M( x,- ). B B | PM | = =

2 A B x0 - ABy0 - AC C · + + y0 ) 2 2 B B A +B

2

A2 ( Ax0 + By0 + C ) 2 + B2 ( Ax0 + By0 + C ) ( A2 + B 2 ) 2 ( Ax0 + By0 + C ) 2 . A2 + B 2 C , A

2



( x - x0 )
2

2

+( -

Ax + C - y0 ) B

2

=



( x - x0 )

+(

Ax + C + y0 ) 2 . B
2

当 B = 0 时, 则 A ≠ 0, 直线 l: x = - d = | x0 + = Ax0 + C C | =| | A A .

设 f( x ) = ( x - x0 ) 则 d = | PM |
min

+(

Ax + C + y0 ) 2 , B
min

= 槡 f( x)



| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2 槡

Ax + C A f' ( x) = 2 ·( x - x0 ) + 2 ·( + y0 ) · B B ABy0 + C A2 + B 2 = 2 ·( ) ·x - 2 ·( x0 - ). B2 B2 由 f' ( x) = 0 解得 x = B2 x0 - ABy0 - AC . A2 + B 2

d = 综上,

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2 槡

命题得证.

赏析几道美国 AMC12 数学竞赛题
上海市育才中学 AMC12 每年都在全 美国高中数学竞赛 AMC10 、 球同步进行两次活动, 第一次在每年的 2 月初, 另一 次在 2 月下旬. 由于第一次活动经常和我国的春节 冲突, 所以近年来中国区都选择参加第二次的活动 , 即 AMC10 ( B ) 与 AMC12 ( B ) . 在 每 次 AMC10 与 201801 龚新平

AMC12 测验中, 要求学生在 75 分钟内完成 25 道选 择题, 满分 150 分, 答对一题得 6 分, 未答得 1. 5 分, 答错不倒扣分. 考生成绩在全球前 2. 5% 至 5% 内才 有可能获得荣誉证书, 并受邀参加美国数学邀请赛 ( AIME ) . 在今年 2 月底刚结束的美国 AMC12 ( B )
25

ZHONGXUESHUXUEZAZHI

中学数学杂志 2012 年第 7 期 EF . Suppose that AB = 40 and EF = 41 ( 槡 3 - 1) . What is the side - length of the square? A. 29 槡 3 C. 20 槡 3 + 16 E. 21 槡 6 B. 21 槡 2 / 2 + 41 槡 3 /2 D. 20 槡 2 + 13 槡 3

数学竞赛试卷中出现了不少有创意的问题 , 笔者认 为这些问题对我们中国学生也很有借鉴作用 , 值得 学习、 探究和推广. 本文拟对此次 AMC12 竞赛中的 最后六道较难的问题进行仔细分析与解答 , 以飨读 者! 问题 1 A trapezoid has siae lengths 3 , 5, 7, and 11. The sum of all the possible areas of the trapezoid can be written in the form of r1槡 n1 + r2 槡 n2 + r3 , where r1 , r2 , and r3 are rationalnumbers and n1 and n2 are positive integers not divisible by the square of a prime. What is the greatest integer less than or equal to r1 + r2 + r3 + n1 + n2 ? A. 译文 57 B. 59 C. 61 D. 63 E. 65 5, 7, 11 的所有可能的梯形面 边长为 3 ,

图5 译文

图6

等 角 六 边 形 ABCDEF 的 内 接 正 方 形

n1 + r2 槡 n2 + r3 的形式, 积总和可写成 r1 槡 这里 r1 , r2 , r3 为有理数, n1 , n2 为不是完全平方数的正整数, 求不大于 r1 + r2 + r3 + n1 + n2 的最大整数.

AXYZ 的顶点 X , Y, Z 分别在边 BC ,DE ,EF 上, 若 AB = 40 , EF = 41 ( 槡 3 - 1) , 求正方形 AXYZ 的边长. 解 如 图 5, 在 等 角 六 边 形 ABCDEF 中, 设 AX = x,则 ∠EYZ = 60° - θ, ∠AXB = θ, ∠ZAF = θ - 30° , 由正弦定理得 x 40 x FZ = , = = sin θ sin 120° sin 120° sin( θ - 30° )

图1

图2

EF EZ = , sin( 60° - θ) sin( θ - 30° ) + sin( 60° - θ) 从而和差化积易得 tan θ = 20 / 21 , 3 / sin θ = 29 槡 3, 故 x = 20 槡 选 A. 问题 3 A bug travels from A to B along the seg-

图3 解

图4

ments in the hexagonal lattice pictured below. The segments marked with an arrow can be traveled only in the direction of the arrow ,and the bug never travels the same segment more than once. How many different paths are there? A. D. 译文 2112 2384 B. E. 2304 2400 C. 2368

考 虑 梯 形 的 对 边 长 度 的 不 同 组 合 情 况:

( 1 ) 3 与 7 相对, ( 2 ) 3 与 11 相对, ( 3 ) 3 与 5 相对. 对于情况( 1 ) : 当 3 与 7 是梯形的上下底时, 如图 1 , 在梯形 ABCD 中作 CA' ∥ DA, 则 △A'BC 三边长度 5, 11 , 依次为 4 , 由 4 + 5 < 11 知这样的 △A'BC 不存 在; 当 3 与 7 是梯形的两腰长时, 如图 2 , 易知此时 19 △A'BC 是存在的, 由余弦定理知 cos∠B = , 故梯 21 形的高为 7sin∠B = 4 32 5, 5 . 对于 进而 S 梯形 = 3 槡 3 槡

一只小虫沿着图 6 所示的由六边形构成

标记有箭头的边只能按 的格子从点 A 爬行到点 B , 箭头方向爬行, 且小虫爬行同一条边不超过一次 , 则 共有多少种不同的爬行路径? 解 由题意结合乘法与加法原理易知 : 如图 6 , 昆虫从 A 可以先到 C ( 也可以先到 G ) , 然后有三种 或 不同方法走完第二列六边形: ( 1 ) 可以直接到 D, 经过 F 与 G 到达 H, 这两种走法接下来走完第三列 E, F 与 G 到达 H, 六边形均有四种选择; ( 2 ) 经过 D, 而这种走法接下来走完第三列仅有两种选择 ; 同理

情况( 2 ) 与( 3 ) , 分别对应如图 3 - 4 , 同理可求面积 35 35 3 或 27 , + 分别为 槡 故 r1 + r2 + r3 + n1 + n2 = 2 2 32 1 + 27 + 3 + 5 = 63 , 选 D. 3 6 问题 2 Square AXYZ is inscribed in equiangular hexagon ABCDEF with X on BC ,Y on DE ,and Z on
26

中学数学杂志 2012 年第 7 期 分析可知: 昆虫从 A 到 B 不同的爬行路线总数为: 2 × ( 2 × 4 + 1 × 2) × ( 4 × 4 + 4 × 2) × ( 2 × 2 + 1 × 1 ) = 2400 . 选 E. 问题 4 Define the function f1 on the positive
e1 e2 1 2 ek k

ZHONGXUESHUXUEZAZHI

≠ 1, 当 z0 = - 1 时满足 4 + b + d = a + c, 由条件 c = b = i( i = 0 , 1, 2, 3, 4) , 易知当且仅当 d = 0 时, a = 4 满足条件, 对应的 P ( 1 ) = 4 + a + b + c + d 分 10 , 12 , 14 , 16 ; 再考虑模为 1 的虚根 z0 = x + 别为 8 , yi( x, y ∈ R, x2 + y2 = 1 ) , 则 z0 = x - yi 也是实系数
2 从而可设 P ( z) = 4 ( z - 2 xz + 多项式 P ( z) 的虚根, 4 1 ) ·( z2 + mz + n) ( m, n ∈ R) , 展开易得 P ( z) = 4 z

integers by setting f1 ( 1 ) = 1 and if n = p p …p is the prime factorization of n > 1 ,then f1 ( n) = ( p1 + 1)
e1 - 1

( p2 + 1 )

e2 - 1

…( p k + 1 )

e k -1

. For every m ≥ 2 ,

let f m ( n)

= f1 ( f m -1 ( n) ) . For how many N in the

+ ( 4 m - 8 x) z3 + ( 4 n + 4 - 2 mx) z2 + ( 4 m - 8 nx) z + 4 n, ( n - 1 ) x ≥ 0 . 由该 由 4 m - 8 x ≥ 4 m - 8 nx 得, 式以下分三种情况讨论: ( 1 ) 若 x > 0 ,则 n ≥ 1 ,d = 4n ≥ 4, a = b = c = d = 4 时, 故仅当 n = 1 , P ( z ) = 4 ( z4 + z3 + z2 + z + 1 ) = 4 ( 1 - z5 ) / ( 1 - z ) , 故存在五次单位根满足条件, 且 P ( 1 ) = 20 ; ( 2 ) 若
4 3 x = 0, 则 z0 = ± i , 此时 P ( z) = 4 z + 4 mz + ( 4 n +

range 1 ≤ N ≤ 400 is the sequence ( f1 ( N) , f2 ( N ) , f3 ( N ) , …) unbounded? A. 15 译文 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19 定义在正整数集上的函数 f1 满足 f1 ( 1 ) = ( p1 + 1 )
e1 - 1

= 1, 且对大于 1 的正整数 n, 若其素因数分解为 n
e1 e2 k = p1 p2 …p e k , 则 f1 ( n )

( p2 +

1)

e2 - 1

…( p k + 1 )

e k -1

,对 每 个 正 整 数 m ≥ 2 ,记

4 ) z2 + 4 mz + 4 n, 由 a ≥ b ≥ c 得 4n = 4m - 4 ≥ 0, n = 0, 故 m ≥ 1, 又 4m ≤ 4, 所以 m = 1 , 即a = b = c = 4, d = 0, ( 与前面重复, 不计) ; ( 3 ) 若 - 1 < x < 0, 则由 4 ≥ 4 m - 8 x ≥ 4 n + 4 - 2 mx ≥ 4 m - 8 nx ≥ 4n ≥ 0, 得 ( 2 x + 1 ) ≥ m ≥ n( 2 x + 1 ) , 对该式 也分以 下 三 种 情 况 讨 论: ① 若 2 x + 1 = 0 ,x = - 1 /2, 代入上式得 4 ≥ 4 m + 4 ≥ 4 n + 4 + m ≥ 4 m + 4n ≥ 4n ≥ 0, 易知当且仅当 m = n = 0 时成立, 此 c = d = 0, P ( z ) = 4 z4 + 4 z3 + 4 z2 = 时 a = b = 4, 4 z2 ( z2 + z + 1 ) = 4 z2 ( 1 - z3 ) / ( 1 - z ) , 故存在三次 单位根 ω = - 1 槡 3 ± i 满足条件, 此时 P ( 1 ) = 12 ; 2 2

f m ( n) = f1 ( f m -1 ( n) ) ,则区间[ 1, 400] 内有多少个 f2 ( N ) , f3 ( N ) , …) 无界? 整数 N, 使得序列 ( f1 ( N) , 解
2

2, 3, …, 31 时, 由题意易知: 当 n = 1 , 序列
2 1

( f1 ( N ) , f2 ( N ) , f3 ( N ) , …) 总是周期数列, 如 f1 ( 8 ) =3 , f2 ( 8 ) = 2 , f3 ( 8 ) = 3 , f4 ( 8 ) = 1 , f5 ( 8 ) = 1 , … ; f1 ( 27 ) = 2 , f2 ( 27 ) = 3 , f3 ( 27 ) = 4 , f4 ( 27 ) = 33 , … 等. 而 序 列 f1 ( 32 ) = 34 , f2 ( 32 ) = 26 , f3 ( 32 ) = 3 5 , f4 ( 32 ) = 2 8 , f5 ( 32 ) = 3 7 , … 显然是无 n = 24 · 界序列! 同理易见在区间 1 ≤ n ≤ 400 内, 5 2 ,n = 2 5·k( k = 1 , 3, 5, …, 11 ) , n = 2 6·k( k = 1 , 3, 5) , n = 2 ·k( k = 1 , 3) , n = 2 时对应的序列是
4 2, 4) , n = 35 , n = 73 时 无界序列; n = 3 ·k( k = 1 , 7 8 4 3 2

mx = ②若 2 x + 1 < 0 , 则 n = 1, 进而 m - 2 x = 1 , 2, 17 ) / 4 , 故x = ( -1 ± 槡 舍去; ③若 2 x + 1 > 0 , 4 m - 8 nx ≥ 4 n, x < 0, 则由 4 ≥ 4 n + 4 - 2 mx, 易得 8 n ≤ 4 mx ≤ 4 n( 2 x + 1 ) x, 若 n = 0, 由 4 ≥ 4m - 8x m > 0, ≥ 4 - 2 mx ≥ 4 m ≥ 0 , 得 mx > 0 , 则 x > 0, 矛盾; 若 0 < n ≤ 1 , 则有 2 ≤ ( 2 x + 1 ) x, 进而 x ≤ ( -1 - 槡 17 ) / 4 或 x ≥ ( - 1 + 槡 17 ) / 4 , 显然均不 符合! 综上可知: 所有满足条件的 P ( 1 ) 总和为 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 20 + 12 = 92 , 选 B. 点评 该题谨慎细致地分类讨论, 保证了不多 Let S = { ( x, y) : x ∈ { 0 , 1, 2, 3, 4} , 不漏! 这是解决此问题的关键. 问题 6 y ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5} , and ( x, y) ≠ ( 0 , 0 ) } . Let T be the set of all right triangles whose vertices are in S . For every right triangle t = △ABC with vertices A, B, and C in counter - clockwise order and right angle at A,
27

且没有其它. 所以满足 对应的序列也都是无界序列, 条件的序列总共有 1 + 6 + 3 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 = 18 个, 选 D. 问题 5 Consider all polynomials of a complex
4 3 2

P ( z) = 4 z + az + bz + cz + d, where a, b, variable , c, and d are integers, 0 ≤ d ≤ c ≤ b ≤ a ≤ 4, and the polynomial has a zero z0 with | z0 | = 1 . What is the sum of all values P ( 1 ) over all the polynomials with these properties? A. 84 译文 B. 92 C. 100 D. 108 E. 120
4 考虑所有复变量多项式 P ( z) = 4 z +

az3 + bz2 + cz + d, b, c,d 是整数, 其中系数 a, 满足 0 ≤ d ≤ c ≤ b ≤ a ≤ 4, 且多项式有模为 1 的零点, 求所有满足条件的多项式对应 P ( 1 ) 值的总和. 解 由题意, 先考虑模为 1 的实根 z0 ,显然 z0

ZHONGXUESHUXUEZAZHI

中学数学杂志 2012 年第 7 期 也一定存在关于直线 个顶点均不在直线 x = 0 上, x = 5 / 2 对称的另一个三角形 △A'B'C' 在集合 S 中, 此时有 tan∠CBA·tan∠C'B'A' = 1. 故只需考虑以点 ( 0, 5) 为其中一个顶点, 且直线 y = 5 与 y = 0 上各至 少一个顶点的组成直角三角形 △ABC 的两种情形: 5 ) 为一个顶点, ① 以点( 0 , 另一个顶点在直线 y = 0 上, 5) 外 第三个顶点在直线 y = 5 上, 除点( 0 , 5 ) 分别与 ( i, 0) 、 ( i, 5) 的其它情况, 显然只有 ( 0 , ( i = 1, 2, 3, 4 ) 组成直角三角形的四种情形, 且易 5 /2, 5 /3, 5 /4; 见 tan∠CBA 分别为5 / 1 , 5 ) 为一个顶点, ② 以点( 0 , 另一个顶点在直线 y = 0 上, 第三个顶点在除直线 y = 0 和 y = 5 外的 其它点组成直角三角形三点组的四种情形 : { ( 0, 5) 、 ( 1, 0) 、 ( 3, 2) } , { ( 0, 5) 、 ( 1, 0) 、 ( 3, 3) } , { ( 0, 5) 、 ( 3, 0) 、 ( 4, 1) } , { ( 0, 5) 、 ( 3, 0) 、 ( 4, 4) } , 1, 1 /4, 1 从而有 且易见 tan∠CBA 分别为2 / 3 , f( t) ∏ t T


let f( t) = tan∠CBA . What is ∏ f( t) ?
t∈T

A. 1 D. 6 译文

B. 625 / 144 E. 625 / 24

C. 125 / 24

y) | x ∈ { 0 , 1, 2, 3, 4} , 设 S = { ( x,

y ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ,( x, y) ≠ ( 0 , 0) } , 记所有以 S 中的点为顶点构成的直角三角形组成集合 T, 对每 B, C 逆时针排列且点 A 为直角顶点的 个顶点 A, t = Rt△ABC , 定义 f( t) = tan∠CBA, 求 ∏ f( t) 的
t∈T

值. 解 由 题 意 如 图 7, 如 果直 角 三 角 形 △ABC 三 个 则 顶点均不在直线 y = 5 上, 一定存在关于直线 y = x 对 称的 另 一 个 直 角 三 角 形 △A'B'C' 在集合 S 中, 且有 tan∠CBA·tan∠C'B'A' = 1; 如果 三 个 顶 点 均 不 在 直 线 y = 0 上, 也一定存在关于 图7

=

5 5 5 5 2 1 625 · · · · ·1 · ·1 = , 1 2 3 4 3 4 144 该题利用对称轴巧妙地找到了集合 S

选 B. 点评 中乘积为 1 的对应直角三角形, 从而将问题简化!

直线 y = x + 1 对称的另一个三角形 △A'B'C' 在 且有 tan∠CBA·tan∠C'B'A' = 1 ; 如果三 集合S 中,

利用定积分证明一类数列不等式
山东玉莲一中 1, n]上 我们知道, 单调递减函数 f( x) 在区间[ 的定积分 S = 262300 刘锦贤 下面利用这一不等关系证明一类数列不等式 . A 版第 29 页第 3 题) 求证 例 1 ( 《不等式选讲》 1 + 1 1 1 < 2槡 + +…+ n. 2 槡 3 n 槡 槡 1 ( x > 0) , 证明 设函数 f( x) = 易知函数 x 槡 1 1 + +…+ 2 槡 3 槡
n 1

∫ f( x) dx 即为
1

n

图 1 中阴影部分的面积. 对于图 2 , 图 3 的阴影部 S2 , 分的面积分别为 S1 , 则有
n

S1 = S2 =

f( i) ·1 , ∑ i =2
n -1

图1 < S < S2 .

f( x) 在[ 1, n]上单调递减, 则有 1 + 1 = 1+ n 槡
n

f( i) ·1 , 显然 S1 ∑ i =1

∑ i =2

1 <1+ i 槡

1 dx = 1 + 2 槡 x| ∫槡 x
1

n

= 2槡 n

-1 < 2槡 n. 证得原不等式成立. 例 2 ( 《不等式选讲》 第 53 页第 3 题) 证明: 图2
28

1 22

图3

+

1 1 n -1 +…+ 2 < ( n > 1) . n 32 n


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