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2015届高考数学一轮必备考情分析学案:4.5《两角和与差的正弦、余弦和正切》(含解析)


4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切 考情分析 运用两角和与差的三角公式进行化简变形、求值,二倍角公式的正用、逆用和变形使用是高 考的常考内容,面对如: a sin x ? b cos x 的化简是高考每年的必考内容。 基础 知识 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? 2 tan sinα= ? 2 ? 2 , 2 1 ? tan 2 cosα= ? 2 2 [来源:www.shulihua.net] 1 ? tan 3、形如 asinα+bcosα 的化简 asinα+bcosα= a ? b sin(α+β).其中 cosβ= 2 2 1 ? tan 2 ? a a ?b 2 2 ,sinβ= b a ? b2 2 注意事项 α+β α-β α-β 1.(1)拆角、 拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β); α=(α+β)-β;β= 2 - 2 ; 2 β? ?α ? ? =?α+2?-?2+β?. ? ? ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 2.(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2) 变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有 “ 切化 弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目 标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解 与组合”、“配方与平方”等. 题型一 三角函数式的化简 cos85° +sin25° cos30° =( cos25° ) 2 B. 2 D. 1 [来源:www.shulihua.net] 【例 1】 3 A. - 2 1 C. 2 答案:C 解析: cos85° +sin25° cos30° = cos25° cos?60° +25° ?+sin25° cos30° = cos25° cos60° cos25° -sin60° sin25° +sin25° cos30° = cos25° cos60° cos25° 1 = cos60° = cos25° 2,选 C. 【变式 1】 化简: ?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? . sin 2α α α α?? α α α? ? ?2sin2cos2-2sin22??2sin2cos2+2sin22? ? ?? ? 解 原式= α α 4sin 2cos 2cos α α?? α α? α ? α ?cos2-sin 2??cos2+sin2?sin ? ?? ? 2 = α cos2cos α α? α α ? 2α ?cos 2-sin22?sin cos α sin 2 ? ? 2 α = = =tan2. α α cos2cos α cos 2cos α 题型二 三角函数式的求值 1 1 【例 2】已知 tan(α-β)=2,tanβ=3,且 α∈(0,π),则 α=________. π 答案:4 tan?α-β?+tanβ 解析:∵α =(α-β)+β,∴tanα=tan[(α-β)+β]= ,∵tan(α-β) 1-tan?α-β?tanβ


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