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正弦定理和余弦定理导学案及习题


高一数学必修 5 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(第一课时) 一、学习目标: 1.在初中解直角三角形的基础上,引导学生推出正弦定理,通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解 决相关问题. 二、教学重点与难点 重点: 正弦定理的探索和简单应用。 难点: 探索过程的组织和引导。 三、教法与建议 学生分组讨论,教师引导总结。 四、教学练评活动程序 【课前诊断】 1、一些特殊角的三角函数值 三角函数 弧度制 sinα cosα 0° 30° 45° 60° 90°

在初中, 我们已学过如何解直角三角形, 下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。 如图 1.1-2, 在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有

a b ? sin A , ? sin B c c

,又

sinC ? 1 ? ,
A 则

c c

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?c

b

c a B

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC
(图 1.1-2)

C

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 正弦定理:在一个三角形中,_________________________________,即___________. 思考:下列有关正弦定理的叙述正确的是: 1 正弦定理只适用于锐三角形; ○ 2 正弦定理不适用于直角三角形; ○ 3 在某一确定三角形中,各边与它对应的角的正弦的比是定值; ○ 4 在 ?ABC 中, ○

tanα 2、设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C. (1).角与角关系:_________, (2) .边与边关系:a + b > c,_________,_________; a-b < c,_________,_________. 3、解直角三角形(△ABC 中,∠C=90°,每小题 6 分,共 24 分) : 1.已知:c= 8 2.已知:a=3

A: B :C ? a :b :c

【活动 2】让学生思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能 否由两边一角求出一角,能否由两角一边求出一边? 【例 1】在 ?ABC 中,已知 a=10,A=45°,C=75°,则 b= 【例 2】 (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 30?, a ? 8, b ? 8 3 ,求 B. .

【课中检测】 1、在 ?ABC 中, A ? 30? , a ? 3 ,则 ?ABC 的外接圆半径为( (A) ) (D)6

3 ,∠A=60°,求∠B、a、b. 6,
∠A=30°,求∠B、b、c.

3 2

(B)3

(C) 3 3

3.已知:a=6,b=2

3 ,求

∠A、∠B、c.

2、在 ?ABC 中,已知下列条件,解三角形(边长精确到 1cm) : (1) A ? 45
?

, C ? 30? , c ? 10cm ;(2) A ? 60? , B ? 45? , c ? 20cm 。
2 , B ? 45? ,且 A ? C ,求 A, C 和 c .

【构建新知】 【活动 1】想一想: 3、在 ?ABC 中,已知 a ? 3, b ?

1

4、在 ?ABC 中, A ? 60? , a ? 4 3, b ? 4 2 ,求 B 。 【课后检测】 1.

【例 3】在 ?ABC 中,角 A. a

A, B, C 对应的边分别为 a, b, c .若 ?C ? 120? , c ? 2a ,则
B.

1 在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 5,sin A ? ,则 sin B ? 3

?b

a?b

C.

a?b

D. 不确定

【课中检测】 1、在 ?ABC 中,若 a>b,则 sin A 2、在 ?ABC 中,

sin B ,反之成立吗?

2.. 在 ?ABC 中,已知 A ? 30?, a 3. 在 ?ABC 中,

? 3 ,则 ?ABC 的外接圆的半径是。

A : B ? 1: 2,sin C ? 1 ,则 a:b:c 等于

A ? 60? , B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC=

3、在锐角 ?ABC 中,角

A, B 对应的边分别为 a , b .若 2a sin B ? 3b ,求角 A 。
A, B, C 对应的边分别为 a, b, c .且满足

4. 在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形: (1) a

? 3, b ? 2, B ? 45?, 3, c ? 1, B ? 60?,
A : B ? 1: 2,sin C ? 1 ,求 a : b : c ? 。
1.1.1 正弦定理(第二课时)

4、在锐角 ?ABC 中,角 【课后检测】

a c ? ,求角 C sin A 3 sin C

(2) b ?

1、根据下列条件,解 ?ABC : 5、在 ?ABC 中, (1)已知 A ? 60
?

, C ? 45? , b ? 20 ;(2)

已知 A ? 30

?

, a ? 2, b ? 2 .

一、学习目标: 1.在初中解直角三角形的基础上,引导学生推出正弦定理,通过定理的简单应用,使学生能够熟使用定理解 决相关问题. 二、教学重点与难点 重点: 正弦定理的探索和简单应用。 难点: 探索过程的组织和引导。 三、教法与建议 学生分组讨论,教师引导总结。 四、教学练评活动程序 【课前诊断】 1. 在 ?ABC 中,

2、在锐角 ?ABC 中,角 3、?ABC 的内角 的大小。 4、在 ?ABC 中,若

A, B, C 对应的边分别为 a, b, c .若 a ? 2b sin B ,求角 C 。
1 ,求 ? B 3

A, B, C 所对应的边分别是 a, b, c ,已知 3a cos C ? 2c cos A, tan A ?

sin A cos B ? ,则求角 B。 a b

5、 ?ABC 的内角

A, B, C 所对应的边分别是 a, b, c ,已知 a ? 2, b ? 2,sin B ? cos B ? 2 ,求

A ? 75? , B ? 45? , c ? 1,求最短边的长度。

? A 的大小。

2. 在 ?ABC 中, a ? 【构建新知】

3, b ? 2, B ? 45? ,解三角形。

【活动 1】利用等比、连比性质,正弦定理还有哪些变形? 【例 1】在 ?ABC 中,一定成立的是( )

(A) a sin A ? b sin B (B) a cos A ? b cos B (C) a sin B ? b sin A (D) a cos B ? b cos A 【例 2】在 ?ABC 中,角

A, B 对应的边分别为 a , b .若 2a sin B ? b ,求角 A 。

2

1.1.2 余弦定理(第一课时) 一、学习目标: 以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理,并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。 二、教学重点与难点 重点:余弦定理的推导过程及运用; 难点: 余弦定理的灵活运用。 三、教法与建议 学生分组讨论,教师引导总结。 五、教学练评活动程序 【课前诊断】 1、不查表求 cos15 的值。 2、在 ?ABC 中, A ? 60? , a ? 15, b ? 10 ,求 cos B 。 【引导探究,获得新知】 【活动 1】联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决下面这个问题? 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c。 b C a
?

(C) b

2

? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

(D) a

2

? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC


例 2.在 ?ABC 中,已知 a 例 3.在 ?ABC 中,已知 【课中检测】 1.在 ?ABC 中,已知

? 6, b ? 6 3, C ? 30? ,则 c 的值为

AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,求角 A ?

AC ? 2, BC ? 3, A ? 30? ,求 AB ? ? 3, b ? 2, B ? 45?, 解三角形.
3 ? 1, b ? 2, c ? 2 ,那么 ? C 等于(
(B) 30 ? (C) 45 ? ) (D) 60 ?

2、在 ?ABC 中,已知 a

3、在 ?ABC 中,如果 a ? (A) 15 ?

4、在 ?ABC 中,已知下列条件,解三角形(角度精确到 0.1 度,边长精确到 0.1 厘米) (1) a ? 7cm, b ? 10cm, c ? 6cm (2)

A (图 1.1-4) 余弦定理: 即:

c

B

a ? 9cm, b ? 10cm, c ? 15cm
【课后检测】 1.

?ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为

1 ,求另一边长。 3

2、在 ?ABC 中,已知 【活动 2】让学生思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能 否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论: 3、在 ?ABC 中,已知 4 、 ?ABC 的 内 角

AB ? 1, BC ? 2, B ? 60? ,求 AC ? AB ? 5, BC ? 7, AC ? 3 ,求 ?BAC
所对应的边分别是

A, B, C

a, b, c

,若

a ? 3, b ? 2, cos( A ? B) ?

1 3

,则

【活动 3】让学生思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? 【活动 4】讨论余弦定理有哪些作用? 例 1.在 ? ABC 中,一定成立的是( (A) b
2

cos C ? ____; c ? ____ 。
5、在 ?ABC 中,已知 a ? 5, b ? 3, C

? 120? ,求 sin A

) (B) a
2

6.已知△ABC 的三边长 a=3,b=5,c=6,则△ABC 的各角的余弦值

? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B

? c 2 ? b 2 ? 2ac cos A

1.1.2 余弦定理(第二课时) 一、学习目标:

3

以解直角三角形为基础,通过几何法推导余弦定理,并能够应用定理解决相关的解直角三角形的问题。 二、教学重点与难点 重点:余弦定理的推导过程及运用; 难点: 余弦定理的灵活运用。 三、教法与建议 学生分组讨论,教师引导总结。 五、教学练评活动程序 【课前诊断】 1、在 ?ABC 中,已知 a ? 2, b ? 2 2、已知△ABC 的三边长 a ? 2 【引导探究,获得新知】 【活动 1】联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决下面这个问题? 如图 1.1-3,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求 ? ABC 的面积。 b C a

2、 ?ABC 的内角

A, B, C 所对应的边分别是 a, b, c ,已知 b ? 2, B ?
)

?
6

,C ?

?
4

,求 ?ABC 的面积。

3.已知△ABC 的三边长 a=3,b=5,c=6,则△ABC 的面积是( A. 14 C. 15 4、在 ?ABC 中,角 (1)求 B 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 2 5、△ABC 中,若 c B.2 14 D.2 15

2, C ? 15? ,解三角形

A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 a ? 2b sin A, c ? 3b

3, b ? 2 2, c ? 6 ? 2 ,则△ABC 的各角

3 ,求 a , b 的值
) D.锐角三角形

? 2a cos B ,则△ABC 的形状为(
B.等边三角形

A.直角三角形 6、已知:在⊿ABC 中, A. 直角三角形 【课后检测】 B.

C.等腰三角形

c cos C ? ,则此三角形为 b cos B
等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

A (图 1.1-3) 例 1、在 ?ABC 中,已知

c

B

1、在 ?ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积: (1)已知 a ? 3, c ? 4, B ? 30 (2) 已知 A ? 75
? ?

A ? 30? , a ? 8, b ? 8 3 ,求 ?ABC 的面积。

, b ? 4, C ? 45?

例 2、已知锐角 ?ABC 的面积为 3 (A) 30
?

3 , BC ? 4 , CA ? 3 ,则角 C 大小为
(C) 60
?

2、已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3、在锐角 ?ABC 中,内角 (1)求角

3 , BC ? 4 , CA ? 3 ,则角 C 大小为

(B) 45

?

(D) 75

?

A, B, C 所对应的边分别是 a, b, c ,且 2a sin B ? 3b .

例 3、在 ?ABC 中,角 是 ( )

A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若

a b ? ,则 ?ABC 的形状一定 cos B cos A

A 的大小;(2)若 a ? 6, b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积。

B C 4、 在 ?A
B.直角三角形 D.等腰直角三角形

中, 角

bc o sC 若a ? 2 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,
B.直角三角形

B C , 则 ?A

的形状一定是 ( D.等腰直角三角形



A.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形

A.等腰三角形 5、在 ?ABC 中,角 形状为 ( )

C.等腰三角形或直角三角形

A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 b cos C ? c cos B ?asin A

,则 ?ABC 的

【课中检测】 1、在 ?ABC 中,

A ? 60? , AC ? 4, BC ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积。

A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.不确定

4

【活动 1】阅读课本相关内容,认识实际测量中的有关名词和术语: 铅锤平面: 1.2 正余弦定理实际应用 一、学习目标: 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语. 二、教学重点与难点 重点:实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解。 难点:根据题意建立数学模型,画出示意图。 三、教法与建议 学生分组讨论,教师引导总结。 四、教学练评活动程序 【课前诊断】 1、 ?ABC 中, 坡角: 坡比: 视角: 仰角和俯角: 方向角: 方位角: 【课中检测】 例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两 点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河 岸 边 选 定 一 点 C , 测 出 AC 的 距 离 是 55m , )
? ?

A ? 45 , B ? 60 , a ? 10, 则 b 等于(
B

? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? 。求 A、B 两点的距离
(精确到 0.1m)

A

5 2

10 2

C

10 6 3

D ) D.

5 6

例2

如图 6-29,在山坡上种树,要求株

2、在 ?ABC 中,B= 30 ? ,C= 45? ,c=1,则最短边长为( A.

距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m,测得斜坡的 倾斜角是 24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是

6 3
2

B.

2 2

C.

1 2
) D. 30 ?

3 2

多少(精确到 0.1m).

3、在 ?ABC 中, a A. 60 ?

? c2 ? b2 ? ab ,则 C ? (
C. 120?

B. 45 ? 或 135?

4、在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a ? 3b sin A ,则 sin B ?
(B)

(A)

3

3 3

(C)

6 3

(D) ?

6 3
1 . 4
例 3 同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图 6-33,水库大坝的 横断面是梯形,坝顶宽 6m,坝高 23m,斜坡 AB 的坡度 i=1∶3,斜坡 CD 的坡度 i=1∶2.5,求斜坡 AB 的坡面角 α ,坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1m).

5、在△

ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ?

(I) 求 b 的值; (II)求 sin C 的值. 【构建新知】

5

例 4 如图 6-32,海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由 西向东航行,在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°,航行 12 海 里到达点 C 处,又测得海岛 A 位于北偏东 30°,如果鱼船不改 变航向继续向东航行.有没有触礁的危险? 【课后检测】 1.某人向正东方向走 x km 后,他向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好 3 km,那 么 x 的值为( A. 3 C.2 3或 3 ) B.2 3 D.3

5.如图,一艘船上午 8 ? 00 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行, 上午 8 ? 30 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它相距 4 2n mile,则此船的航行速度 是________n mile/h.

2.已知船 A 在灯塔 C 北偏东 85°且到 C 的距离为 2km,船 B 在灯塔 C 西偏北 25°且到 C 的距离为 3km, 则 A,B 两船的距离为( A.2 3km C. 15km ) B.3 2km D. 13km

3.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察 站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km C. 2a km ) B. 3a km D.2a km

4.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A,B,望对岸的标记物 C,测得∠CAB=30°,∠CBA= 75°,AB=120 m,则河的宽度是__________.

6


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