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上海市 2012学年第一学期静安区高三数学质量调研卷(文理)


静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(文理科合并)
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2013.1
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1 2? sin( 2ax ? ) 的最小正周期为

4? ,则正实数 a = 2 7 1 1 2.等比数列 ?an ? ( n ? N * )中,若 a 2 ? , a 5 ? ,则 a12 ? 16 2
1.已知函数 f ( x) ? 3. 【理】两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 l 2 : 5x ? 12y ? 3 ? 0 的夹角大小为
1 2 3 n 【文】求和: 3Cn ? 9Cn ? 27Cn ? ? ? 3n Cn =

. . .

. n? N *) (

4. 【理】设圆过双曲线 线中心的距离是

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲 9 16
. .

【文】两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 l 2 : 5x ? 12y ? 3 ? 0 的夹角大小为

5. 【理】某旅游团要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地,在甲和乙两个风景点 中至少需选一个,不考虑游览顺序,共有 【文】设 x , y 满足条件 ? 种游览选择. .

?1 ? x ? y ? 3, 则点 ( x, y ) 构成的平面区域面积等于 ?? 1 ? x ? y ? 1,

1 2 3 n 6. 【理】求和: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn =

. n? N *) (

? x ? y ? 5, ?3x ? 2 y ? 12, ? 【文】设 x, y 满足约束条件 ? 使目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 坐标 0 ? x ? 3, ? ?0 ? y ? 4, ?
是 .

7. 【理】设数列 ?an ? 满足当 an ? n 2 ( n ? N * )成立时,总可以推出 an?1 ? (n ? 1) 2 成立.下 列四个命题: (1)若 a3 ? 9 ,则 a4 ? 16 . (2)若 a3 ? 10 ,则 a5 ? 25 . (3)若 a5 ? 25 ,则 a4 ? 16 . (4)若 an ? (n ? 1) 2 ,则 an?1 ? n 2 . 其中正确的命题是 . (填写你认为正确的所有命题序号)

x2 y2 ? ? 1 右支的顶点和焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中 【文】设圆过双曲线 9 16
心的距离是 .

8. 【理】已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .若以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 线段长度为 【文】同理 5 .

?x ? 2 ? t, ?y ? 3 ?t ? 2

( t 为参数) ,则此直线 l 被曲线 C 截得的

9. 【理】请写出如图的算法流程图输出的 S 值



2 【文】已知 a ? 0 ,关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 的解集





10 .【 理 】 已 知

? 、 ? 为锐角,且


1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? ? cos ? ? ?2 , 则 sin ? sin ?

tan? tan? =

【文】已知 ? 、 ? 为锐角,且 (1 ? tan

?
2

)(1 ? tan

?
2

) ? 2 ,则 tan? tan? =



11. 【理】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所示,“海宝”从圆心 O 出发,先 沿北偏西 arcsin

12 方向行走 13 米至点 A 处,再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方 13


向行走至点 C 处,点 B 、 C 都在圆 O 上.则在以圆心 O 为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向, 正北方向为 y 轴正方向的直角坐标系中圆 O 的方程为



N A O B S
南 理第 11 题

C

【文】数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ( n ? N * ) ,对任意正整数 n ,数列 ?bn ? 的项都满 足等式 an?1 ? 2an an?1bn ? an ? 0 ,则 bn =
2 2



12. 【理】过定点 F (4,0) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 QT ? FQ 交 x 轴于 T 点,延长 TQ 至 P 点,使 QP ? TQ ,则 P 点的轨迹方程是 【文】同理 11 13. 【理】已知直线 (1 ? a) x ? (a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数)过定点 P ,点 Q 在函数 .

y ? x?

1 的图像上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是 . x 2 【文】 P 是函数 y ? x ? ( x ? 0 ) 设 的图像上任意一点, 过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴 x


作垂线,垂足分别为 A 、 B ,则 PA? PB 的值是

14. 【理】在复平面内,设点 A、P 所对应的复数分别为 ? i 、 cos( 2t ? 虚数单位) ,则当 t 由

?
3

) ? i sin( 2t ?

?
3

)(i 为


??? ? ? ? 连续变到 时,向量 AP 所扫过的图形区域的面积是 12 4

【文】设复数 z ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? )i ( i 为虚数单位) ,若对任意实数 ? , z ? 2 , 则实数 a 的取值范围为 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 【理】若复数 z1 z 2 ? 0 ,则 z1 z 2 ? z1 z 2 是 z 2 ? z1 成立的( )

A .充要条件;

B .既不充分又不必要条件; D .必要不充分条件.

C .充分不必要条件;

【文】某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原绿化面积 之比为 y,则 y ? f ( x) 的图像大致为( )

16. 【理】等差数列 {an } 中,已知 3a5 ? 7a10 ,且 a1 ? 0 ,则数列 {an } 前 n 项和 S n ( n ? N * ) 中最小的是( )

A . S 7 或 S8 ;
【文】同理 15

B . S12 ;

C . S13 ;

D . S14 .

x 2 ? 6 x ? 12 ( x ? [3,5]) 的值域为( 17. 【理】函数 f ( x) ? x?2
A . [2,3] ;
【文】函数 f ( x) ?



B . [2,5] ;

7 C . [ ,3] ; 3


7 D . [ ,4] . 3

x 2 ? 2x ? 4 ( x ? [1,3]) 的值域为( x
B . [2,5] ;

A . [2,3] ;

7 C . [ ,3] ; 3

7 D . [ ,4] . 3

18. 【理】已知 O 是△ ABC 外接圆的圆心, A 、 B 、 C 为△ ABC 的内角,若

? ???? cos B ??? cos C ???? AB ? AC ? 2m ? AO ,则 m 的值为( sin C sin B
A .1;



B . sin A ; D . tan A . C . cos A ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文】 已知向量 a 和 b 满足条件: ? b 且 a ? b ? 0 .若对于任意实数 t , 恒有 a ? tb ? a ? b , a
则在 a 、 b 、 a+b 、 a ? b 这四个向量中,一定具有垂直关系的两个向量是(

?

?

? ?

? ?



? ? ? A .a 与a ?b;

? ? ? B .b 与a ?b;

? ? ? C . a 与 a+b ;

? ? ? D . b 与 a+b

三、解答题: (本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. 【理】 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 某仓库为了保持库内的湿度和温度, 四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该设施的下 BC=1 米; △EMN 部 ABCD 是矩形, 其中 AB=2 米, 上部 CDG 是等边三角形, 固定点 E 为 AB 的中点. 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动 且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.
G

M D

N C

A

E (理 19 题)

B

【文】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的递推公式为 ?a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 3, (n ? 2, n ? N * ) .

? ?a1 ? 2.

(1)令 bn ? an ? n ,求证:数列 {bn } 为等比数列; (2)求数列 {an } 的前 n 项和.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 【理】已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,a,b,c 成等比数列. (1)求 B 的取值范围;

(2)若 x = B,关于 x 的不等式 cos2x?4sin( 范围.

?
4

?

x ? x )sin( ? )+m>0 恒成立,求实数 m 的取值 2 4 2

【文】已知 a, b, c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,且

3 a cos B ? b cos A ? c . 5 tan A (1)求: 的值; tan B
0 (2)若 A ? 60 , c ? 5 ,求 a 、 b .

21. 【理】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an .

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 、 a2 、 a3 ; (2)试求出数列 {an } 的任一项 an 与它的前一项 a n ?1 间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数 列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012?若存在,求出这样的无穷数列 {an } 的一个通项公式;若不存在, 说明理由. 【文】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 某仓库为了保持库内的湿度和温度, 四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该设施的下 部 ABCD 是正方形,其中 AB=2 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动 且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满

分 7 分. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , c 2 是 a 2 与 b 2 的等差中项,其中 a2 b2

a 、 b 、 c 都是正数,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为
(1)求椭圆的方程;

3 . 2

(2) 【理】点 P 是椭圆上一动点,定点 A1 (0,2) ,求△ F1 PA 面积的最大值; 1 【文】过点 A 作直线交椭圆于另一点 M ,求 AM 长度的最大值; (3)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的 t ? 0 , 都存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.
G

M D

N C

A

E (文 21 题)

B

23. 【理】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 函数 y ? f (x) , x ? D ,其中 D ? ?.若对任意 x ? D , f ( x ) ? f ( x) ,则称 y ? f (x) 在

D 内为对等函数.
(1)指出函数 y ?

x , y ? x3 , y ? 2 x 在其定义域内哪些为对等函数;

(2)试研究对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在其定义域内是否是对等函数?若是,请说 明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使 y ? loga x 在所给集合内成为对等函数; (3)若 ?0? ? D , y ? f (x) 在 D 内为对等函数,试研究 y ? f (x) ( x ? D )的奇偶性. 【文】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知 f ( x) ? log1 x ,当点 M ( x, y ) 在 y ? f (x) 的图像上运动时,点 N ( x ? 2, ny) 在函数
2

. y ? g n (x) 的图像上运动( n ? N * ) (1)求 y ? g n (x) 的表达式; (2)若方程 g1 ( x) ? g 2 ( x ? 2 ? a) 有实根,求实数 a 的取值范围; (3)设 H n ( x) ? 2
5

gn ( x)

,函数 F ( x) ? H1 ( x) ? g1 ( x) ( 0 ? a ? x ? b )的值域为

[log2

4 2 2 , log2 ] ,求实数 a , b 的值. b?2 a?2

高三年级
说明

文理科数学试卷答案及评分标准

1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精 神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当 考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度 时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严 重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位.

答案及评分标准
1 ; 2.64; 4 16 4. (理) ; (文)同理 3 3 16 7. (理) (3) ; (2) (4)(文) 3
1. a ? 10. (文理)1; (文)同理 11 13. (理) [?3,??) ; (文)?1 14. (理) 3. (理) arccos

33 n ; (文) 4 ? 1 65
6. (理) n ? 2 9. (理)
n ?1

5. (理)13; (文)2 8. (理)4; (文)同理 5

; (文) (2,3)

1093 2 ; (文)( ,2) a 9

11. (理) x 2 ? y 2 ? 225; (文)bn ?

4n 2 ? 1 ; 12. (理) y 2 ? 16x ; 4n 2 ? 1

? 5 5 , ]. ; (文) [? 6 5 5

G

15. (文理)D; 16. (理)C; (文)D; 17. (文理)A ;18. (文理) B 19(理)解: (1)
A E B D M C N

① 如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时,

图1

1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ·········· 1 分 ·········· ·········· 2
② 如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 1? 3 时,
M G

如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H,
D

H F

N C

∵E 为 AB 中点, ∴F 为 CD 中点,GF⊥ CD,且 FG= 3 . 又∵MN∥ CD, ∴△MNG∽ DCG. △ ∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] . ········· 4 分 ········· ········· DC GF 3 故△EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x 2 3 = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; ················· 分 ··········· ····· 6 ·········· ······ 3 3 综合可得:
A

E

B

图2

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? ? x ? ?1 ? 1 ? x. 1<x< ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ?

?

?

··········· ·········· 7 分 ··········· ·········· ·········· ···········

(2)① MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; ··············· 分 当 ··········· ··· 8 ·········· ···· ② MN 在三角形区域滑动时,S= ? 当

3 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2 2


1 3 ? ? 1, 2 3
··········· ··········· ··· 分 ························12 ·········· ··········· ···

∴S 有最大值,最大值为 1 ? 3 平方米. 2 3

(文)解: (1) bn ? an ? n ? 3an?1 ? 2n ? 3 ? n ? 3an?1 ? 3n ? 3 ? 3(an?1 ? (n ? 1)) ? 3bn?1 ,

n?2
又 b1 ? a1 ? 1 ? 1 ,所以 bn ? 0 ( n ? N * ) ,

bn ? 3(n ? 2) bn?1

所以,数列 {bn } 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列. ·················· 6 分 ··········· ······· ·········· ········ (2) bn ? 3n?1 , an ? bn ? n ·······························8 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 所以数列 {an } 的前 n 项和 S n ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) =

3n ? n 2 ? n ? 1 . 2

···············································14 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ·········· ····· 20(理)解: (1)∵ a、b、c 成等比数列,∴ 2=ac ·····················1 分 b ··········· ·········· ·········· ·········· 则 cosB=
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac = ··········· ··········· ······· 3 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 2ac 2ac a 2 ? c 2 ? ac ac 1 1 ≥ ? ,等号当且仅当 a=c 时取得,即 ≤cosB<1,得到 2ac 2 2ac 2

而 a2+c2≥2ac∴ cosB=

0?B?

?
3

. ··········· ··········· ·········· ········· 分 ··········· ·········· ··········· ········ 7 ·········· ··········· ··········· ········
π x π x π x π x ? )sin( ? )=cos2x?4sin( ? )cos( ? ) 4 2 4 2 4 2 4 2 1 2 3 ) ? ······························11 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 2 2

(2)cos2x?4sin(

=2cosx2?2cosx?1=2(cosx?

1 ∵ x=B ∴ ≤cosx<1 2

∴ 2(cosx?

1 2 3 3 ) ? ≥? 2 2 2 3 3 即 m> ······························14 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 2 2
2

则由题意有:?m<?

(说明:这样分离变量 m ? 2 cos x ? cos2 x ? ?2 cos x ? 2 cos x ? 1 参照评分) (文)解: (1)由正弦定理

a b c 3 ? ? 得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C ,2 分 sin A sin B sin C 5 2 8 sin A cos B ? sin B cos A ,5 分 5 5

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ,所以 可得

tan A sin A cos B ? ? 4 . ··········· ··········· ········ 7 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ tan B sin B cos A

( 2 ) 若 A ? 60 , 则 s i nA ?
0

1 3 3 , cos A ? , tan A ? 3 , 得 t a n ? ,可得 B 2 4 2

cos B ?

3 ? 19 4 19 , sin B ? . ··········· ··········· ······ 分 ···························10 ·········· ··········· ······ 19 19 5 3 ? 19 , 38

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C c c a? ? sin A ? 19 , b ? ? sin B ? 2 ····················· 分 ···················· 14 ·········· ·········· sin C sin C
2 3

21(理)解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? a1 ,由 a1 ? 0 得 a1
3

? 1 . ···················1 分 ·········· ·········

当 n ? 2 时 , (1 ? a2 ) 2 ? 1 ? a2 , 由 a 2 ? 0 得 a 2 ? 2 或 a2 ? ?1 . 当 n ? 3 时 ,
3 3 (1 ? a2 ? a3 ) 2 ? 1 ? a2 ? a3 ,若 a2 ? 2 得 a3 ? 3 或 a3 ? ?2 ;若 a2 ? ?1 得 a3 ? 1 ; 5 分

综上讨论,满足条件的数列有三个: 1,2,3 或 1,2,?2 或 1,?1,1. ····························6 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······

(2)令 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ( n ? N * ) .
2 3 3 3

从而 (S n ? an?1 ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 . ····················7 分 ··········· ········· ·········· ·········
3 3 3 3

两式相减,结合 an?1 ? 0 ,得 2S n ? an?1 ? an?1 . ···················· 分 ··········· ········ 8 ·········· ·········
2

当 n ? 1 时,由(1)知 a1 ? 1 ;当 n ? 2 时, 2an ? 2(S n ? S n?1 ) = (an?1 ? an?1 ) ? (an ? an ) ,
2 2

即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0 ,所以 an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1.·········· 分 ·········· ········· 12 又 a1 ? 1 , a2013 ? ?2012,所以无穷数列 ?an ? 的前 2012 项组成首项和公差均为 1 的等差数列, 从第 2013 项开始组成首项为?2012,公比为?1 的等比数列.故

(1 ? n ? 2012 ) ?n . ··········· ··········· ······ 分 ···························14 ·········· ··········· ······ an ? ? n ) ?2012? (?1) (n ? 2012
(说明:本题用余弦定理,或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得,请参照评分)

(文)解: (1) ① 如图 1 所示,当 MN 在正方形区域滑动, 即 0<x≤2 时,

G

1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ·········· 2 分 ·········· ·········· 2
② 如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 2<x< 2 ? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵E 为 AB 中点, ∴F 为 CD 中点,GF⊥ CD,且 FG= 3 . 又∵MN∥ CD, ∴△MNG∽ DCG. △ ∴ MN ? GH ,即 MN ?
DC GF

D M

C N

A

E

B

图1

G

2( 3 ? 2 ? x) 3

M

H F

N C

. ······· 分 ······ 5 ······

D

故△EMN 的面积 S=

1 2( 3 ? 2 ? x) ? ?x 2 3
A E B

= ? 3 x 2 ? (1 ? 2 3 ) x ; ················7 分 ··········· ····· ·········· ····· 3 3 综合可得:

图2

? x, 0 ? x ? 2 ? S ?? 3 2 2 3 x ? (1 ? ) x,2 ? x ? 2 ? 3 ?? 3 ? 3
说明:讨论的分段点 x=2 写在下半段也可.

··········· ··········· 分 ··········· ·········· 8 ·········· ···········

(2)① MN 在正方形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 2 ; ············· 分 当 ··········· ·· ············10 ② MN 在三角形区域滑动时,S= ? 当 因而,当 x ? 1 ?

3 2 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

3 ,S ? 2 (米) 在 (2,2 ? 3) 上递减,无最大值, 0 ? S ? 2 . 2

所以当 x ? 2 时,S 有最大值,最大值为 2 平方米. 22.解: (1)在椭圆中,由已知得 c ? a ? b ?
2 2 2

··········· ········ 分 ··········· ········ ··················14

a2 ? b2 ··········· ····· 分 ··········· ···· 1 ·········· ····· 2

过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与原点的距离 a ?b



3 ab 3 ,由点到直线的距离公式得: ··········· ········ 分 ··········· ······· 3 ·········· ········ ? 2 2 2 2 a ?b
2 2

x2 y2 ? ? 1 ··········· ········ 4 分 解得: a ? 3, b ? 1 ;所以椭圆方程为 ··········· ········ ·········· ········ 3 1
(2) (理) F1 (? 2 ,0) ,直线 F1 A1 的方程为 y ?

2 x ? 2 , F1 A1 ? 6 ,当椭圆上的点 P 到直

线 F1 A1 距离最大时,△ F1 PA 面积取得最大值 ·······················6 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 1 设 与 直 线 F1 A1 平 行 的 直 线 方 程 为 y ?

2x ? d , 将 其 代 入 椭 圆 方 程

x2 y2 ? ?1 得: 3 1

7 2 28 28 2 x ? 2d 2 x ? d 2 ? 1 ? 0 ,? ? 0 , 8d 2 ? d 2 ? ? 0, 即 解得 d ? 7 , d ? ? 7 时, 当 3 3 3
椭 圆 上 的 点 P 到 直 线 F1 A1 距 离 最 大 为

2? 7 3

, 此 时 △ F1 PA 面 积 为 1

1 2 ? 7 2 2 ? 14 ··········· ··········· ·········· · 分 ··········· ·········· ··········· 9 ·········· ··········· ··········· 6 ? 2 2 3
(文) M ( x, y ) , x 2 ? 3(1 ? y 2 ) ,AM 设 则
2

? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ?2 y 2 ? 2 y ? 4 , 其中 ? 1 ? y ? 1

··········· ··········· ·········· ··········· ····· 6 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ·········· ······ 当y?

1 9 3 2 2 时, AM 取得最大值 ,所以 AM 长度的最大值为 ·········· 9 分 ·········· ········· 2 2 2

2 2 2 (3)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两个交

2 2 2 点,所以 ? ? (6kt) ? 12(1 ? 3k )(t ? 1) ? 0 ,解得 k ?
2

t 2 ?1 ··········· · 分 ··········· · ··········· 11 3

设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

6kt 3(t 2 ? 1) , x1 ? x 2 ? ,因为以 CD 为直径的圆 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

过 E 点,所以 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,·············· 分 ··········· ··· ·············13 而 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) = k 2 x1 x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t 2 ,所以

(k 2 ? 1)

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk ? 1) ? t 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ··········· 14 分 ··········· ·········· · 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

如果 k ?
2

t 2 ?1 对任意的 t ? 0 都成立,则存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 3

(

2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 t 2 ?1 ) ? ? ? 0 ,即 k 2 ? .所以,对任意的 t ? 0 ,都存在 k , 3t 3 3 9t 2

使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. ···························· 分 ···························16 ·········· ··········· ······ 23(理)解: (1) y ? ··········· ········· 4 ·········· ·········· x , y ? x3 是对等函数; ····················· 分

(2)研究对数函数 y ? loga x ,其定义域为 (0,??) ,所以 loga x ? loga x ,又 loga x ? 0 , 所以当且仅当 loga x ? 0 时 f ( x ) ? f ( x) 成立. 所以对数函数 y ? loga x 在其定义域 (0,??) 内 不是对等函数. ······································· 6 分 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······· 当 0 ? a ? 1 时,若 x ? (0,1] ,则 loga x ? 0 ,此时 y ? loga x 是对等函数; 当 a ? 1 时,若 x ? [1,??) ,则 loga x ? 0 ,此时 y ? loga x 是对等函数; 总之, 0 ? a ? 1 时, (0,1] 及其任意非空子集内 y ? loga x 是对等函数; a ? 1 时, [1,??) 当 在 当 在 及其任意非空子集内 y ? loga x 是对等函数. ······················· 分 ······················10 ·········· ··········· · (3)对任意 x ? D ,讨论 f (x) 与 f (? x) 的关系. 1)若 D 不关于原点对称,如 y ? ···· ···· x 虽是对等函数,但不是奇函数或偶函数; ···· 11 分

2) D ? ?0? , f (0) ? f (0) ? 0 . f (0) ? 0 时, f (x) 既是奇函数又是偶函数; f (0) ? 0 若 则 当 当

时, f (x) 是偶函数.···································· 分 ··········· ·········· ··········· ···· ···································13 3)以下均在 D 关于原点对称的假设下讨论. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f (?x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( x) , 若 则有 f (? x) ? f ( x) ; 此时, x ? 0 时, 当

? x ? 0 ,令 ? x ? t ,则 x ? ?t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f (?t ) ? f (t ) ,从而 f ( x) ? f (? x) ;
综上讨论,当 x ? 0 时,若 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 是偶函数. ················ 分 ···············15 ·········· ····· 若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) ? f (? x) ? f ( x) ? ? f ( x) ;此时,当 x ? 0 时, ? x ? 0 , 令 ? x ? t ,则 x ? ?t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f (?t ) ? ? f (t ) ,从而 f ( x) ? ? f (? x) ; 若 f (0) ? 0 ,则对任意 x ? D ,都有 f (? x) ? ? f ( x) . 综上讨论,若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? 0 ,则 f (x) 是奇函数.否则 f (x) 不是奇函数 也不是偶函数. ······································· 分 ··········· ·········· ··········· ······· ······································18 (文) (1) ? 解: 由

? y ? f ( x ), 得 g n ( x ? 2) ? nf ( x) ? n log 1 x , 所以 g n ( x) ? n log1 ( x ? 2) , ?ny ? g n ( x ? 2) 2 2

( x ? ? 2 ) ··········· ··········· ·········· ········· 4 分 . ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········ (2) log1 ( x ? 2) ? 2 log1 ( x ? a) ,即 x ? 2 ? x ? a ( x ? 2 ? 0 ) ·········· 分 ········· 6 ·········
2 2

a ? ? x ? x ? 2 ,令 t ? x ? 2 ? 0 ,所以 a ? ?t 2 ? t ? 2 ?
9 4

9 7 9 ,当 x ? ? 时, a ? .即实 4 4 4

数 a 的取值范围是 (?? , ] ·································10 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· · (3)因为 H n ( x) ? 2
n log 1 ( x ? 2 )
2

?

1 1 ? log1 ( x ? 2) . ,所以 F ( x) ? n x?2 ( x ? 2) 2

F (x) 在 (?2,??) 上是减函数. ······························· 分 ······························ 12 ·········· ··········· ·········

4 ? 1 4 2 ? 2 ? log 1 (a ? 2) ? log2 ? ? F (a) ? log2 a?2 ?a ? 2, ? a ? 2 即 ?a ? 2 2 所以 ? ,所以 ? ···· 分 ···· ···16 ? 5 5 2 2 ?b ? 3 ? 1 ? log (b ? 2) ? log ? F (b) ? log 1 2 2 ? b?2 b ? 2 ?b ? 2 ? 2 ?


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