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1.3.1圆的极坐标方程(教学设计)


SCH 南极数学高中同步教学设计人教 A 版选修 4-4《坐标系与参数方程》

1.3.1 圆的极坐标方程(教学设计) 教学目标: 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点:极坐标方程的意义 教学过程: 一、复习回顾: 1、曲线与方程。 2、圆的标准方程。 3、圆的一般方程。 4、极坐标与直角坐标

的互化。 平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定义可以得到如下两组公
式:

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?

5、正弦定理。 6、余弦定理。 二、师生互动,新课讲解: 1、引例.如图,在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点, 的极坐标(?,?)满足的条件? 解:设 M (?,?)是圆上 O、A 以外的任意一点,连接 AM, 则有:OM=OAcosθ ,即:ρ =2acosθ ①,

2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗? 可以验证点 O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之,适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f ( ? ,? ) ? 0 的点在曲 线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程 的曲线。

例 1(课本 P 例 1) 、已知圆 O 的半径为 r,建立怎样的坐标系, 可以使圆的极坐标方程更简单? ①建系; ②设点;M(ρ ,θ ) ③列式;OM=r,即:ρ =r
1

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④证明或说明.

? ?? ? 3? 变式训练1: 分别写出以C1 ? a ,0 ? , C2 ? a , ? , C3 ? a , ? ? , C4 ? a , ? 2? ? 2 极点的圆的极坐标方程.
答案:(1)?=2acos ? (2)?=2asin ? (3)?=-2acos ?

? ? 为圆心,且经过 ?

(2)?=-2asin ?

例 2.求圆心在(ρ ,θ ),半径为 r 的圆的方程
0 0

[解]

在圆周上任取一点 P(如图)

设其极坐标为(ρ,θ). 由余弦定理知: CP2=OP2+OC2-2OP· OCcos∠COP, 故其极坐标方程为
2 r2=ρ2 0+ρ -2ρρ0cos(θ-θ0).

变2.已知一个圆的方程是ρ=5 3cosθ- 5sinθ求圆心坐标和半径。
解:?=5 3 cos ? ? 5sin ? 两边同乘以? 得

? 2=5 3? cos ?-5? sin ?即化为直角坐标为
x 2 ? y 2 ? 5 3 x ? 5 y  即( x ? 所以圆心为( 5 3 2 5 ) ? ( y ? ) 2 ? 25 2 2

5 3 5 , ? ), 半径是5 2 2

解:原式可化为

?=10(cos ? ?

3 1 ? ? sin ? ? ) ? 10 cos(? ? ), 2 2 6

所以圆心为(5, ? ), 半径为5, 6

?

例3:从极点O作圆C:?=8cos?的弦ON,求ON的中点的轨迹方程。
解:如图,圆C的圆心(4, 0), 半径r ? OC ? 4, 连结CM , ? M 是弦ON的中点, ? CM ? ON , 所以,动点M 的轨迹方程是?=4 cos ?
2

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变3:已知圆C1 : ? ? 2cos? ,圆C2 : ? 2 ? 2 3? sin ? ? 2 ? 0,
解:将两圆都化为直角坐标方程为 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,圆心O1 (1, 0)半径为1 C2 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1,圆心O2 (0, 3)半径为1 O1O2 ? 2所以两圆相外切。
课堂练习:
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的方程是(C)

试判断两圆的位置关系。

?? ? A.? ? 2cos ?? ? ? 4? ?

?? ? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ?

C.? ? 2cos ?? ?1?

D.? ? 2sin ?? ?1?

2、曲线的极坐标方程 ?=4 sin ?化为直角坐标方程是什 么?

2 2 x ? ( y ? 2 ) ?4 解:
3、极坐标方程分别是 ?=cos?和?=sin ?的两个圆的圆心距是多 少?
答:

2 2

4、极坐标方程? ? cos( ? ? )所表示的曲线是( 4
(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆

?

)D

5、圆?=10 cos( ? ? )的圆心坐标是( C ) 3 ? ? 2? (A)(5,0) (B)(5, - ) (C)(5, ) (D (5, ) 3 3 3 6、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的极坐标方程,并把它化成直角坐标方程。 2
解:?=4cos(? ? ) ? 4sin ? , 2 化为直角坐标系为? 2=4 ? sin ? , 即x 2 ? y 2 ? 4 y   x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4.

?

?

?

备用练习: 1. (1)化在直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 为极坐标方程,
3

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(2)化极坐标方程 ? ? 6 cos( ? ?

?
3

) 为直角坐标方程。

2.说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)?=2cos(? -

?

4 (3)?=3 sin ?   

)

(2)?=cos( (4) ?=6

?
3

-? )

3.填空:   (1)直角坐标方程x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 0的  极坐标方程为_______ (2)直角坐标方程2 x-y+1? 0的极坐标方程为_______ (3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?9的极坐标方程为_____ (4)直角坐标方程x ?3的极坐标方程为_______

三、课堂小结,巩固反思: 1.曲线的极坐标方程的概念. 2.求曲线的极坐标方程的一般步骤. 3.如何求圆的极坐标方程。 4.圆的极坐标方程是什么。

? 2 ? a2 ? 2a? cos(? ? ? ) ? r 2
四、课时必记:
圆心在(ρ ,θ ),半径为 r 的圆的方程
0 0

? 2 ? a2 ? 2a? cos(? ? ? ) ? r 2

五、分层作业: A 组: 1.曲线的极坐标方程 ρ=4cos θ 化成直角坐标方程为________. 答:(x-2)2+y2=4 2.极坐标方程分别为 ρ=cos θ 和 ρ=sin θ 的两个圆的圆心距是________. 2 答: 2 ?π ? 3.极坐标方程 ρ=cos? -θ?所表示的曲线是________. ?4 ? 答:圆 4、 (课本 P15 习题 1。3 NO:1(1) (3) ) 解析:(1)表示圆心在极点,半径为 5 的圆(图略). ? π? (3)表示过极点,圆心在?1, ?半径为 1 的圆(图略). 2? ? 5、 (课本 P15 习题 1。3 NO:2(3) (4) )
4

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(3)如图所示,

设 P(ρ,θ )是圆上任意一点.当 O,A,P 三点不共线时,在△OPA 中利用余弦定理得到|OA|2 π? π? π? ? ? ? +|OP|2-2|OA|· |OP|cos?θ - ?=|AP|2, 所以 1+ρ2-2ρcos?θ - ?=1, 即ρ =2cos?θ - ?. 4? 4? 4? ? ? ? ① ? 3π ? ? π ? ?或?2, ?,这两点的坐标满足①,所以① 当 O,A,P 三点共线时,点 P 的坐标为?0, 4 ? ? 4? ? 就是所求的圆的极坐标方程. (4)如图所示,

设 P(ρ,θ )是圆上任意一点,当 O,A,P 三点不共线时,在△OPA 中利用余弦定理得|OA|2 ?π ? +|OP|2-2|OA|· |OP|cos? -θ?=|AP|2,所以 a2+ρ 2-2aρ sin θ =a2,即 ρ=2asin θ .② ?2 ? π? ? 当 O,A,P 三点共线时,点 P 的坐标为(0,0)或?2a, ?,这两点的坐标满足②,所以②就 2? ? 是所求的圆的极坐标方程.

6、 (课本 P15 习题 1。3 NO:3) (1)ρcosθ =4.(2)ρsinθ =-2. (3)2ρcos θ -3ρsin θ -1=0.(4)ρ2cos 2θ =16.

7、 (课本 P15 习题 1。3 NO:4) (1)y=2.(2)2x+5y-4=0.(3)(x+5)2+y2=25.(4)(x-1)2+(y+2)2=5.

5


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