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2003—2004学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二)数学试题(文科)


2003—2004 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二)数学试题(文科)
一. 选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请把所选答案的标号字母填在下表的对应题目处) 题号 答案 1. 若集合 A ? {1, ? 2}, B ? {x | kx ? 1 ? 0, k ? R} ,且 A ?

B ? B ,则 k 的值组成的集合为( A. {1, ? 2} B. {?1, ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

1 } 2

C. {?1,

1 , 0} 2


D. {1, 0, ? 2}

2. 若 a ? (2, 3), b ? ( x, ? 4) ,且 a // b ,则 x 的值为( A. ?

8 3

B. ?

3 8


C.

8 3

D. 6

3. 函数 y ?| lg x | 的单调递增区间为( A. (0, ? ?) B. [1, ? ?)

C. (0, 1]

D. (0, 10] )

4. 若椭圆 x 2 ? my2 ? 1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 3 倍,则 m 的值是( A.

1 9

B.

1 3

C. 3

D. 9 )

5. 现有命题 p、q,若命题 m 为“p 且 q”,则“非 p 或非 q”是“非 m”的( A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若曲线 C: y ?

1 3 x 上一点 P 的横坐标为 2,则过 P 点的切线方程为( 6
B. 3x ? 6 y ? 8 ? 0 D. 6 x ? 3 y ? 8 ? 0 )



A. 3x ? 6 y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 7. 若 ? 、 ? ? ( A. ? ? ?

?
2

, ? ) ,且 tan? ? cot ? ,则必有(
B. ? ? ?
2 2

C. ? ? ? ?

3? 2

D. ? ? ? ?

3? 2

8. 若直线 x ? 3 y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 1 在第一象限内有两个不同的交点,则 m 的取值范围是 ( ) A. ? 2 ? m ? 2 B. 1 ? m ? 2 C. 1 ? m ? 3 D.

3?m?2

9. 若 A、B、C、D 是球 O 的面上四个点,AB、AC、AD 两两垂直,且 AB ? AC ? AD ? 2 ,则球 O 的体积为( ) 7

A. 4 3? 10. 已 知

B. 12?

C. 32 3?

D. 2 3?

(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) 3 ? ... ? (1 ? x) n
) C. 6

.n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? . ?.an x





a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? 61? n ,则正整数 n 的值为(
A. 4 B. 5

D. 7

11. 已 知 f ( x), g ( x) 都 是 奇 函 数 , 若 f ( x) ? 0 的 解 集 为 (4, 10), g ( x) ? 0 的 解 集 为 (2, 5) , 则

f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集为(
A. (2, 10)

) B. (4, 5) C. (8, 50) D. (?5, ? 4) ? (4, 5) )

12. 若某工程的工序流程图如下(单位:天),则完成该工程的最少总时数为( A. 15 天 B. 16 天 C. 17 天 D. 18 天

第二卷(非选择题 共 90 分) 二. 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案直接填在题中横线上。) 13. 去年某市数学高考后, 采用 2%比例分层抽样方法, 抽取了 300 份文科试卷和 900 份理科试卷分别进 行分析,则去年该市共有 名考生参加数学高考。 14. 若点 (1, 。 15. 在 ?ABC 中,已知 ?A ? 60?, AC ? 1, S ?ABC ? 3 ,则 AB ? 16. 已知 m、n 是直线, ?、?、? 是平面,给出下列四个命题: 。

1 ) 在函数 f ( x) ? 2 x?a ( x ? R) 的图象上,则 f ( x) 的反函数 f 2

?1

( x) ?

? ? ? ? m, n ? m ,则 n ? ? 或 n ? ? ; ① 若 ? ? ?,
? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 m // n ; ② 若 ? // ?,
③ 若 m 不垂直于 ? ,则 m 不可能垂直于 ? 内的无数条直线;

/? ,n ? / ? ,则 n // ? 且 n // ? 。 ④ 若 ? ? ? ? m, n // m ,且 n ?
其中正确的命题的序号是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

7

已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 sin x cos x ? 2 cos2 x, x ? R 。 (1)求函数 f ( x) 的最小值,并求使函数取得最小值的 x 的集合; (2)函数 y ? f ( x) 的图象可由 y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 18. (本小题满分 12 分) 某员工在一个季度里每月完成任务的概率都是 0.8。 (1)求这个员工在一个季度里三个月都完成任务的概率; (2)求这个员工在一个季度里至多有一个月完成任务的概率。 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知 PA ? 平面 ABC, PA ?

2, AB ? 1, BC ? 3, AC ? 2 。

(1)求证: BC ? 平面 PAB; (2)求二面角 B—PA—C 的大小; (3)求异面直线 PB 与 AC 所成的角的大小。

P

A B
20. (本小题满分 12 分)

C

已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx, x ? R , 当 x ? ?1 时, 分别取得极值, 且极大值比极小值大 4, 求函数 f ( x) 的解析式及单调区间。 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2 ) 2 ( x ? 0) ,且数列 {an } (an ? 0) 中, a1 ? 2 ,当 n ? 2 时,这数列的前 n 项和公式为 S n ? f (S n?1 )(n ? N*) 。 (1)求 a2 及数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 22. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,且过点 (1, 7

1 (n ? N *) ,设 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 T20 。 a n a n ?1

2 ) ,离心率等于 2,

(1)求双曲线的方程。 (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A、B 两点,试问是否存在实数 k,使 A、B 两点关于直 线 y ? mx (m 为常数)对称。若存在,求出 k 的值;若不存在请说明理由。 2003—2004 学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二)数学试题(文科)参考答案及评分标准 一. 选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 D 7 C 8 D 9 A 10 B 11 D 12 B C A B A C 二. 填空题:(每小题 4 分,共 16 分) 13. 60000 14. log2 4 x, ( x ? 0) (或 2 ? log2 x ,不标定义域扣 2 分) 15.

13

16. ②、④(多填、少填均不给分) 三. 解答题:(共 74 分,以下各题为累计得分,其他解法请相应给分) 17. 解: (1) y ? f ( x) ? 1 ? 2 sin x cos x ? 2 cos2 x ? sin 2x ? cos2x 2分

? 2 s i n2 (x ?
当 sin( 2 x ? 由 2x ?

?
4

)

4分 5分

?
4

) ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ? 2

?
4

? 2k? ?
8

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?
7分

?
8

, k ? Z ,即 f ( x) 取得最小值时,自变量 x 的集合为

{x | x ? k? ?

?

, k ? Z}

? ? ,得到 y ? sin( x ? ) 的图象 4 4 1 ② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)得到 2 ? y ? sin( 2 x ? ) 的图象。 11 分 4
(2)① 把 y ? sin x 的图象向右平移 ③ 把得到的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到

9分

y ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 即 y ? f ( x) 的图象

12 分

18. 解: (1)该员工每月未完成任务的概率为 1 ? 0.8 ? 0.2 三个月都完成任务的概率 P 1 ? C3 ? 0.8 ? 0.2
3 3 0

1分

3分

? 0.512

5分 7

0 0 3 (2)三个月都未完成任务的概率是 P 3 (0) ? C3 ? 0.8 ? 0.2

6分

? 0.008

7分 9分

1 恰有一个月完成任务的概率是 P3 (1) ? C3 ? 0.81 ? 0.2 2

10 分 所以至多有一个月完成任务的概率 P ? 0.008 ? 0.096 ? 0.104 12 分 19. (1)证明:∵ AB ? BC ? 4 ? AC
2 2 2

? 0.096

11 分

∴ ?ABC 是直角三角形

1分

且 ?ABC ? 90? ,即 BC ? AB 又 PA ? 面 ABC, BC ? 面 ABC,∴ BC ? PA ∴ BC ? 面 PAB 4分 (2)∵ PA ? 面 ABC

2分

∴ PA ? AB, PA ? AC ,故 ?BAC 为二面角 B—PA—C 的平面角 在 Rt ?ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? 1, AC ? 2, cos ?BAC ?

6分

AB 1 ? AC 2

∴ ?BAC ? 60? 8分 (3)在平面 ABC 内作 BD // AC, AD ? AC ,BD、AD 交于 D,于是 ? PBD 的大小即是 PB、AC 所成角的大小 9分 ∵ AD ? AC 、BD // AC ∴ BD ? ∴ AD ? BD, ?BAD ? 30?, AB ? 1 10 分

1 ,又 PB ? PA2 ? AB2 ? 3 2 又∵ AD ? BD ∴ PD ? BD
∴ ?PBD ? arccos 20. 解:

BD 3 ? arccos PB 6

12 分

f ?( x) ? 3ax2 ? b

2分 3分 4分

于是 f ?(1) ? f ?(?1) ? 3a ? b ? 0 又 f (1) ? a ? b, f (?1) ? ?a ? b

① 若 f (1) 为极大值, f (?1) 为极小值,则由 ? ∴ f ( x) ? ? x ? 3x
3

?a ? b ? ?a ? b ? 4 ?a ? ?1 解得 ? ?3a ? b ? 0 ?b ? 3

6分

7

此时 f ?( x) ? ?3x 2 ? 3 ? ?3( x ? 1)(x ? 1) ,故 x

(??, ? 1)


?1
0

(?1, 1)


1 0 2

(1, ? ?)


f ?( x) f ( x)
8分

?

?2

?

?

所以 f ( x) 的单调区间是 (?1, 1) ,单调减区间是 (??, ? 1) 与 (1, ? ?) ② 若 f (1) 为极小值, f (?1) 为极大值,则由 ? ∴ f ( x) ? x 3 ? 3x 10 分

9分

?? a ? b ? a ? b ? 4 ?a ? 1 ,解得 ? ?3a ? b ? 0 ?b ? ?3

可得 f ( x) 的单调增区间是 (??, ? 1) 与 (1, ? ?) ,单调减区间是 (?1, 1) 21. 解: (1)由 S 2 ? f (S1 ) ? f (a1 ) ,得 2 ? a2 ? ( 2 ? 2 ) 2 解得 a 2 ? 6 3分 2分

12 分

由 S n ? f ( S n?1 ) ? ( S n?1 ? 2 ) 2 ,得 S n ?

S n?1 ? 2 (n ? 2)
6分 8分

4分

于是 { S n } 是以 2 为首项, 2 为公差的等差数列 ∴ Sn ?

2 ? (n ? 1) 2 ? n 2 ,从而 S n ? 2n 2

∴ an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2 ,且 a1 ? 2 也适合 ∴ {an } 的通项公式是 an ? 4n ? 2(n ? N*) (2) bn ? ∴ T20 ? 10 分

1 1 1 ? ? an an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) 4(2n ? 1)(2n ? 1)

11 分

1 1 1 1 ( ? ? ... ? ) 4 1? 3 3 ? 5 39 ? 41 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) 8 3 3 5 39 41 5 ? 14 分 41

13 分

22. 解: 7

(1)设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ,把点 (1, a2 b2

2 ) 代入得

1 2 ? 2 ? 1 ,(*) 2 a b

1分

又由

c ?2 a

2分



1 c2 a2 ? b2 b2 ? ? 1 ? ? 4 ,于是 b 2 ? 3a 2 代入(*)解得 a 2 ? , b 2 ? 1 2 2 2 3 a a a
4分

∴双曲线方程为 3x 2 ? y 2 ? 1

(2)设 l 与 C 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,若存在实数 k 满足条件

? ?km ? ?1 (1) ? 则 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 (2) ?y ? y x ? x2 2 ? 1 ? m? 1 (3) 2 ? 2

7分

由(2),(3)得 m( x1 ? x2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 而由 ?

(4)

8分

? y ? kx ? 1
2 2 ?3 x ? y ? 1

消去 y 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 ,当 ? ? 0 ,即 ? 6 ? k ?

6 ,k ? ? 3 时,

l 与 C 有两交点 A、B,有 x1 ? x 2 ?

2k 9分 3?k2 代入(4 得) 2mk ? 6 ,即 mk ? 3 10 分 这与(1)的 mk ? ?1 矛盾,故不存在实数 k 满足条件

12 分

7


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