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高考圆锥曲线六类热点问题的简便解法


2014年第6期

河北理科教学研究

问题讨论

高考圆锥曲线六类热点问题的简便解法
甘肃省兰州市第四十五中学宋波730070 圆锥曲线是高中数学的主干知识,是高 考的重点和热点,但解题时一般由于运算量 大,过程复杂,使学生望而生畏,是学生学习
的难点.笔者在教学实践中发现,以下有关圆
<

br />=3+242.

例2(2010年全国卷Ⅱ)已知椭圆C:

与+%=1(Ⅱ> >o)的离心率为等,过 《+%2:1(Ⅱ>b>o)的离心率为辱,过






锥曲线的六组结论不仅结构优美,便于记忆, 而且在解决相应的六类热点问题时,解法简 捷,计算量小,优化了计算过程,降低了思维 难度,有利于培养学生的解题能力.
结论一

右焦点F且斜率为|j}(后>0)的直线与c交

于A,B两点,若石:3一FB,求后的值. 解:因为I—AF I:3 I—FB I所以

1.经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾 斜角为口的直线,交圆锥曲线于A、B两点, 若离心率是e,焦点到相应准线的距离为P,

寺=鲁,解得c枷=弩, 1一弩cosa 1+譬cos臼


则焦半径rl,2=T-r南,焦点弦长
¨引=rl+r2

则||}:tan0:压. 例3(2010年辽宁理)已知椭圆c:与 +告=1(口>b>o)的右焦点为F,过点F
的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线Z的

3丌j‰?
,'^一

2.经过纵向型圆锥曲线的焦点F作倾 斜角为口的直线,交圆锥曲线于A、曰两点, 若离心率是e,焦点到相应准线的距离为P,

倾斜角为60。石:2面.(I)求椭圆C的
离心率;(Ⅱ)如果l 方程.
AB

则焦半径/'1,2=rri生丽T,焦点弦长

I:萼,求椭圆c的

IA引一?+r:=丌j‰?
FA

解:(I)因为I—AF l_2 I面l所以
r_ep—而=—_2epl


例I(2008年全国卷Ⅱ理)已知F为 抛物线c:y2=4x的焦点,过F且斜率为1 的直线交C于A,B两点,设I FA l>I FB I,
则I l与I
FB

eCOs60

。一





5一 ecos60,解得e=兰3.
’,lrr●q



(Ⅱ)由(I)知e=詈=了2,则孑C2=可4,
得c2=可4 n2,所以62=82一c2=可5 n2,又

I的比值等于



45。’所以涮=11-cos45。=丽1+coM5。I圳=忐=南=等 —1+c—os45。


解:因为e=1,||}=tan0=1,即口=



1一可×百

?23?

万方数据

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=百5a=萼,得口=3,62=吾口2=5,故椭
圆C的方程为等十号=1.
例4(2007年全国)F。,F:是椭圆鲁+
岳=1的左右焦点,过F。,F:作两条互相垂
直的直线分别与椭圆相交于D,B和A,C, 求四边形ABCD面积的最小值.

解:由口2:3,b2=1,得c=2.由MFl?

MF:=0,得么F。MF:=90。.由面积相等得

{I

MFl I.I肘F2
I.I

sin90。=b2cot45。,所以

l MFl

MF2 I=2.

设点M到戈轴的距离为d,又由面积相 等得I
MFl I.I MF2 I=I Fl F2卜d,所以d

一三一』

—‘4—。2‘

解:因为口:历,b:压,c:1,e:等,

例6已知P是椭圆等+号=1_121拘一
点,F。、F:是该椭圆的两个焦点,若
/xpFl

印=等=学,设直线D启的倾斜角为目,又
AC上BD,则直线AC的倾斜角为日±90。,所

F2的内切圆半径为寺,求PFl?PF2的

L2忐1

以四边形A曰cD面积.s=i1

一e2co

S2?F1




e纛2辆90=
cos2(口± 兰兰 o)
一 一

DB|I AC I=

值. 解:设内切圆圆心为0,,A、B、C分别 为PFl、PF:、F。F2上的切点,则I
PA I=

兰堡



(3一c082口)(3一siIl2日)一6+sinzOcos2口一

I朋I:卫生盟罢斗』型d:l,
又l
Oi A

乏再_96。i:两,所以当sin2日=±1时,s取最小

I:吉,则tan么Ol PA:耳箸

值,s曲=薹.
结论二

=虿1,所以tan/F1阿2=tan2么01PA=

1.点P在椭圆≥+寺=1或紊+寺=
1上,F,、F2是椭圆两焦点,么Fl PF2=臼,则
s△F。P,2=62t锄虿0.
●●

号,所以,si碰F,PF:=,cos么F。PF:=
35.由面积相等得iI

I胛。I.I

PF:I PFl|.

sin么FlPF2=b2tan么0IPA,所以I

I阿2

2.点P在双曲线≥2一寺2=1或》2一寺2
=1上,F。、F2是双曲线两焦点,么F。PF:=

I:百15,所以一PFI?一PF2:I两I

I—PF2 c。s么F。朋:=萼?吾=罟.
结论三

洲o

sq
例5

P,2=b2cot导.
已知双曲线寺一Y2=1的焦点为

一般地,一个圆锥曲线的一般方程为

Ax2+Bxy+cy2+Dx+研+F=0,点
肘(菇。,yo)在曲线内部,则以点M为中点的

F。、F:,点M在双曲线上且面.M—F2:0,
求点M到菇轴的距离.

弦所在的直线方程为A菇。茗+B堑旦}塑+

万方数据

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cr。y+D兰里弓二_兰+E!生弓二!=Axj+B菇。y。
+qj+D菇。+Ey。(对于双曲线的中点弦不 存在的情况除外),特别地:

为孚一丁-5-y:享一享测后:荔:

0 Ⅱ 0 ]o

1,得262:5口2,又a2+b2=7,解得口2=2,

1.椭圆与+告=1内任意一点P(石。,
yo)(非原点),则以P(石。,Y。)为中点的弦所

b2=5,所以双曲线的方程为等一专=1.
故选D.

例8(2010年课标全国理)已知双曲线 E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F 的直线Z与E相交于A、B两点,且AB的中点 为iv(一12,一15),求E的方程. 解:以(一12,一15)为中点的弦所在的

在的直线方程为等+铲=挚+罄.
2.双曲线与一告:I,若P(菇。,yo)满 口 D

足等一yl 20>1或1XO—y,20<o,则以P(戈o,







直线方程为二毕一二乒:訾一警,所

,,。)为中点的弦所在的直线方程为等一
2 2

yoy—...X..—O—

yo

以后=等,又由已知易得五=端
a D 口 D

b2一口2—62。

=1,贝Ⅱ462=5口2,又口2+b2=9,解得口2:

3.抛物线Y2=2px内任意一点P(戈。, Y。),则以P(af,。,,,。)为中点的弦所在的直线

4,b2=5,所以E的方程为等一等=1.
例9(2010年山东文)已知抛物线’,2

方程为yo),一px=y:一pxo.
说明:(1)对于焦点在其他坐标轴的圆 锥曲线的标准方程也有类似的结论. (2)当Y。=0时,以P(算。,Y。)为中点的 弦所在的直线方程石=髫。,也适合上述 三式. 例7(2003年全国)已知双曲线中心在

=2p茗(P>o),过其焦点且斜率为1的直线 交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的 纵坐标为2,求该抛物线的准线方程. 解:以(髫。,2)为中点的弦所在的直线方

程为2y—px=4一pxo,又k=告=1,得
P=2,所以抛物线的准线方程为戈:一等
=一1.

原点,且一个焦点为F忻,o),直线Y=x一
1与其相交于肘、Ⅳ两点,MN中点的横坐标

结论四

为一号,则此双曲线的方程是(
A.号一々=1
c.詈一号=1 B.-戈T一号=1 D.专一号=1
,)



—般地,一个圆锥曲线的一般方程为 A算2十Bxy+叮2+Dx+量,,+F=o,过曲 线上点M(戈。,y。)作曲线的切线,则切线方

程为Az。石+B塑等塑+Cy。),+


解:因为MN的中点为(一鲁,一昔),所

D!譬兰+E坦#+F:o,特别地:
1.椭圆x+告=1上任意一点P(菇o, " D
-25?

以(一了2,一号)为中点的弦所在的直线方程
万方数据

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问题讨论

Y。),则以P(戈。,Y。)为切点的切线方程为

掣+辔:1.
2.双曲线与一告=1上任意一点 D


兰垒!生兰!±!叠±g! 圣里!垒兰!±!筮±竺!、 ——刁了官一’yo一——牙了存一几
2.曲线C:F(算,y)=0关于直线1:Ax +8y+C=0对称的曲线C7的方程为F(x

尸(茗。,Y。),则以P(菇。,yo)为切点的切线方

一——矿了r’Y一——万了r
2A(Ax十By+C)
=0.

2B(Ax十B!+C)、



程为等一警:1.
o D

3.抛物线Y2=2px上任意一点P(戈o, Y。),则以P(戈。,Y。)为切点的切线方程为
yoY


例12(2007年上海)圆戈2+Y2—2x一 1=0关于直线2x一),+3=0对称的圆的

方程为——.
解:将圆的方程化为标准方程得(菇一

px+pXo?

说明:1.对于焦点在其他坐标轴的圆锥 曲线的标准方程也有类似的结论.
2.当Yo=0时,以P(髫。,y。)为切点的

1)2+y2=2,得圆心C(1,0),半径r=在.
易知所求圆的圆心C7与C(1,0)关于直线 2x—Y+3=0对称,而半径不变.由结论得

切线方程石=戈。,也适合上述三式. 求过抛物线y2=4x上一点 M(1,2)的切线方程. 解:根据结论四可得切线方程为2y=
2戈+2×1,即戈一Y+1=0. 例10

c,(1一丝筝等导必,o一
丝上马4净导旦趔):(一3,2),半 22+(一1)2
7一、。’‘7’。

径r:压,故所求圆的方程为(算+3)2+(Y
一2)2=2,即戈2+Y2+6x一4y+11=0.

例11

已知过椭圆毛+告:1上一点

例13(2006年复旦大学自主招生)已

P(1,鲁)的切线方程为艽十2y一4=o,求该
椭圆方程.

知曲线c:鲁+Y2=1,曲线c关于直线),=
2x对称的曲线为曲线C7,曲线C7与曲线∥ 关于直线y=一虿1戈+5对称,求曲线c7,∥ 的方程.

解:因为过点P(1,要)的切线方程为{
iV


+分=1,化简得262戈+3a2),一2a2

62=

o,又切线为髫+2y一4=o,则有竿=萼 :垫芋,解得2:4,6::3.所以椭圆方
程为等+号=1.
结论五

(y一二丛掣)z:1,整理得C,:73戈2+
72xy+52y2=100.同理,C’关于直线茗+
2y一10=0的对称曲线6":73(x一

解:由结论得c,:丢(菇一丛堑f立)2+

1.点P(算o,Yo)关于直线z:A菇+研+


堑掣)z十72(省一堑掣)(y 一业掣)+52(y一业掣)2
:100,即∥:菇2+4,,2—16x一64y+268=0.

=0的对称点为
?26?

q(x。



万方数据

高考圆锥曲线六类热点问题的简便解法
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 宋波 甘肃省兰州市第四十五中学 730070 河北理科教学研究 HEBEI LIKE JIAOXUE YANJIU 2014(6)

引用本文格式:宋波 高考圆锥曲线六类热点问题的简便解法[期刊论文]-河北理科教学研究 2014(6)


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