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高中数学学业水平考试专题综合检测卷 (4)


高中学业水平考试《数学》模拟试卷 一、选择题(本大题共 25 小题,第 1~15 题每小题 2 分,第 16~25 题每小题 3 分,共 60 分.每小题中只 有一个选项是符合题意的, 不选、 多选、 错选均不得分) 1. 设全集 U={1,2,3,4,5},已知 A={1,2, 3}, B={2,5},则 A∩(?UB)等于( ) A. {2} B. {2,3} C. {3}

D. {1,3} 2. 下列函数中,周期为π 的奇函数是( ) A. y=sin x B. y=sin 2x C. y=tan 2x D. y=cos 2x 3 3. 若一条直线的倾斜角的正弦值为 2 ,则此直线 的斜率为( ) 3 3 A. 3 B. ± 3 C. 3 D. ± 3 4. 下列命题正确的是( ) 1 1 A. ac>bc?a>b B. a2>b2?a>b C. a>b?a <b D. a< b?a<b 1 5. 函数 y=log3(1-3x)的定义域是( ) ? ?1 ? 1? ? ? ? ? A. ?0,3? B. ?3,+∞? C. ? D. ?-∞,0? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?-∞,3? ? ? 6. 已知抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(2,0),则 p 的值等于( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 8

(第 7 题) 7. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体 积是( ) 1 A. 6 1 B. 3 2 C. 3 D. 1 8. 圆 x2+y2-6y-16=0 的半径等于( ) A. 16 B. 5 C. 4 D. 25 9. 若数列{an}为等差数列,且 a2+a5+a8=39,则 a1+a2+?+a9 的值为( ) A. 117 B. 114 C. 111 D. 108 10. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为减函数的是 ( ) 4 A. y=-x B. y=4x 1 C. y=log3x D. y=x2-2x+3

11.

x≤2, ? ? 若?y≤2, 则目标函数 ? ?x+y≥2,

z=x+2y 的取值范

围是( ) A. [2,6] B. [2,5] C. [3,6] D. [3,5] 12. 已知两条直线 m,n 与两个平面 α,β ,下列 命题正确的是( ) A. 若 m∥α,n∥α ,则 m∥n B. 若 m∥α,m∥ β ,则 α∥β C. 若 m⊥α,m⊥β ,则 α∥β D. 若 m⊥n ,m ⊥β ,则 n∥β 13. 在△ABC 中,∠B=135°,∠C=15°,a=5, 则此三角形的最大边长为( ) A. 5 3 B. 4 3 C. 5 2 D. 4 2 14. 已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相 切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a 的值为( ) 1 1 A. -2 B. 1 C. 2 D. 2 n+1 15. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,则 a3= n+2 ( ) 1 1 1 1 A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 16. 已知向量 a=(1, 2), 向量 b =(x, -2), 且 a⊥(a -b),则实数 x 等于( ) A. -4 B. 4 C. 0 D. 9 17. 点 P(a,b,c)到坐标平面 xOz 的距离是( ) A. a2+b2 B. |a| C. |b| D. |c| 18. 方程 lg x=8-2x 的根 x∈(k,k+1),k∈Z,则

k=(

)

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 19. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1, 0), 1 离心率等于2,则椭圆 C 的方程是( ) x2 y2 x 2 y2 A. 3 + 4 =1 B. 4 + =1 3 2 2 2 2 x y x y C. 4 + 2 =1 D. 4 + 3 =1

(第 20 题) 20. 如图,E,F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP, BC 的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线 AB 与 PC 所成角的大小为( ) A. 60° B. 45° C. 0° D. 120° 1 21. “m=2”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直 线(m-2)x+(m+2)y-3=0 垂直”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 22. 已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外, 则直 线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 4π 23. 把函数 y=cos(x+ 3 )的图象向右平移 θ(θ>0) 个单位,所得的图象关于 y 轴对称,则 θ 的最小值为

(

) π A. 6 π B. 3

2π 4π C. 3 D. 3 x2 y2 x2 y2 24. 已知椭圆 3m2 + 5n2 = 1 和双曲线 2m2 - 3n2 = 1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) 15 15 A. x=± 2 y B. y=± 2 x 3 3 C. x=± 4 y D. y=± 4 x ?1?-x2+4x ? 25. 不等式? >22ax+a 对一切实数 x 都成 ?2? ? ? 立,则实数 a 的取值范围是( ) A. (1,4) B. (-4,-1) C. (-∞,-4)∪(-1,+∞) D. (-∞,1)∪(4, +∞) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26. sin 23 ° cos 37 ° + cos 23 ° cos 53 ° = ________. 27. 命题“所有实数的平方都是正数”的否命题为 ______________________________. ? 28. 设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈? ?0,+∞?时, f(x)=x2-2x,则 f(-2)=________. x2 y 2 2 29. 已知抛物线 y =8x 的准线过双曲线 a2-b2 = 1(a>0,b>0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2,则 该双曲线的方程为______________. 30. 已知圆 O: x2+y2=5, 直线 l: xcos θ +ysin θ

π =1(0<θ< 2 ).设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的 个数为 k,则 k=________. 三、解答题(本大题共 4 小题,第 31,32 题每题 7 分,第 33,34 题每题 8 分,共 30 分) 31. (本题 7 分)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对 A+C 3 边分别为 a,b,c,cos 2 = 3 . (1)求 cos B 的值; → ·BC → =2,b=2 2,求和 c 的值. (2)若BA

32. (本题 7 分, 有 A、 B 两题, 任选其中一题完成, 两题都做,以 A 题计分) (A)如图, 在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD,∠ ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点 E 是 PD 的中点.求证: (1)PA⊥平面 ABCD; (2)PB∥平面 EAC.

,[第 32 题(A)])

,[第 32 题(B)])

(B)已知正方形的边长为 2,AC 与 BD 交于点 O.将 正方形 ABCD 沿对角线折起,使 AC=a,得到三棱锥 A -BCD,如图所示. (1)当 a=2 时,求证:AO⊥平面 BCD; (2)当二面角 A-BD-C 的大小为 120° 时,求二面 角 A-BC-D 的正切值.

33. (本题 8 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1 =1,且 3an+1+2Sn=3(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)记 S=2,若对任意正整数 n,kS≤Sn 恒成立,求 实数 k 的最大值.

x2 y 2 34. (本题 8 分)已知椭圆 C1: a2+b2=1(a>b>0)的离

3 心率为 3 ,圆 O 以原点为圆心,半径等于椭圆 C1 的短 半轴长,且直线 l:y=x+2 与圆 O 相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直于 l1,垂 足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)若 AC, BD 是经过椭圆 C1 右焦点 F2 的两条互相 垂直的弦,求四边形 ABCD 面积的最小值.

高中学业水平考试《数学》 1. D 2. B 3. B 4. D 5. D 6. C 7. B 8. B 9. A 10. C 11. A 12. C 13. C 14. C 15. A 16. D 17. C 21. A 22. B 23. B x2 y2 24. D [提示: 由双曲线2m2-3n2=1 可知焦点在 x x2 y2 2 2 2 轴上,且 c =2m +3n .又∵椭圆3m2+5n2=1 和双曲线 具有相同的焦点,∴c2 =3m2 -5n2,∴2m2 +3n2=3m2 -5n2,化简得 m2=8n2,而渐近线的斜率 k=± 3 ± 4 ,故选 D.] 25. B
?1?-x2+4x ? [提示:不等式? >22ax+a ?2? ? ?

18. B 19. D 20. A

3n = 2m

对一切实

数 x 都成立等价于 2x2-4x>22ax+a,∴x2-4x>2ax+a, 即 x2-(4+2a)x-a>0,∴Δ =(2a+4)2+4a≤0,解得 -1<a<4.] 3 26. 2 0 y2 29. x - 3 =1
2

27. 存在一个实数的平方不是正数

28.

[提示:由抛物线 y2=8x 可知 c=2.

y2 又∵e=2, ∴a=1, 则 b =3, 故双曲线的方程为 x - 3
2 2

=1.] 30. 4 [提示:由圆心到直线的距离 d= 1 = 1<r = 5 ,可知满足条件的点有 4 sin2θ +cos2θ 个.] A +C π A +C 3 B 31. 解: (1)∵cos 2 = 3 , ∴sin 2 =sin( 2 - 2 ) 3 B 1 = 3 ,cos B=1-2sin2 2 =3. 1 → ·BC → =2 可得 a· (2)由BA c· cos B=2.又∵cos B=3, ∴ac=6.由 b2=a2+c2-2accos B 可得 a2+c2=12, ∴ (a -c)2=0,∴a=c,∴a=c= 6. 32. (A)证明:(1)∵底面 ABCD 为菱形,∠ABC= 60° ,∴AB =BC=CD= DA= AC=a.∵PA=AC,∴PA =AB=a,PB= 2a,∴PA⊥AB,同理可证 PA⊥AD. 又∵AB∩AD=A,∴PA⊥平面 ABCD. (2)连接 AC, BD 相交于 O, 则 O 为 BD 的中点. ∵E 为 PD 的中点,∴PB∥OE.又∵OE?平面 EAC,PB?平 面 EAC,∴PB∥平面 EAC.

(第 32 题) (B)(1)证明:根据题意,在△AOC 中,AC=a=2, AO = CO = 2 ,∴ AC2 = AO2 + CO2 , ∴ AO ⊥ CO. 又 ∵AO⊥BD,BD∩CO=O,所以 AO⊥平面 BCD. (2)由(1)知,CO⊥OD,以 O 为原点,OC,OD 所 在的直线分别为 x 轴,y 轴建立如图的空间直角坐标系
? ? ? ? ? Oxyz,则有 O? ?0,0,0?,C? 2,0,0?,B?0,- 2,0?. ? ? ? → ? → ? 设 A? ?x0,0,z0?,则OA=?x0,0,z0?,OD=?0, 2,0?.

平面 ABD 的法向量为 n=(z0,0,-x0).平面 BCD 的 法向量为 m=(0,0,1),且二面角 A-BD-C 的大小 1 2 2 120°? 得 z ?= , 0 =3x0 . 2 2 6 ∵OA= 2,∴ x02+z02= 2.解得 x0=- 2 ,z0= 2 . ? 2 6? ? ∴A?- ,0, ? .平面的法向量为 l=(1, -1, 3). 设 2 2? ? ?
? ? 为 120° , ∴? ?cos〈m,n〉?=?cos

二 面 角 的 平 面 角 为 θ , ∴ cosθ = |cos 〈 l , m 〉 | = 3 ? ? 15 6 ? ? 2 = 5 .∴tan θ = 3 .∴二面角的正 ? 1+1+( 3) ?

6 切值为 3 . 33. 解:(1)∵3an+1+2Sn=3(n∈N*),① 当 n≥2 时,3an+2Sn-1=3(n∈N*).② an+1 1 ①-②化简得 a =3(n≥2), n 1 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 a2=3,∴数列{an} 1 1 是首项为 1,公比为3的等比数列, 故 an=(3)n-1. a1(1-q ) (2) 由 (1) 知 Sn = = 1-q 1 (3)n]. 3 3 1 又∵对任意 n∈N*恒有2k≤2[1-(3)n],得 k≤1- 1 (3)n. 1 2 ∵数列{1-(3)n}单调递增,∴a1=3为数列中的最 2 小项,∴必有 k≤3, 2 即实数 k 的最大值为3. 3 c2 a2-b2 1 34. 解: (1)因为 e= 3 , 所以a2= a2 =3, 得 2a2
n

1 1-(3)n 1 1-3

3 = 2 [1 -

2 = 2 x2 2 b, 得 b= 2, 所以 a =3.因此所求椭圆 C1 的方程为 3 + y2 2 =1. =3b2.又直线 l:y=x+2 与圆 x2+y2=b2 相切,则 (2)由题意得|MP|=|MF2|,故动点 M 到定直线 l1:x =-1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离,所以动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线.因此 所求点 M 的轨迹方程 C2 为 y2=4x. (3)当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的斜率为 k,A(x1,y1),C(x2,y2),则直线 AC 的方程 x2 y2 ? ? + =1, 为 y=k(x -1).由 ? 3 2 得(2+3k2)x2-6k2x ? ?y=k(x-1), 6k2 2 + 3k - 6 = 0 ,由韦达定理得 x1 + x2 = , x1x2 = 2+3k2 3k2-6 . 2+3k2 故 |AC| = (1+k2)(x1-x2)2 =

2 48 ( 1 + k ) 2 2 (1+k )[(x1+x2) -4x1x2]= . 2+3k2

1 1 由于直线 BD 的斜率为-k,用-k代换上式中的 k

48(1+k2) 可得|BD|= . 2k2+3 1 因为 AC⊥BD,所以四边形 ABCD 的面积为 S=2 24(1+k2)2 |AC|·|BD|= , (2k2+3)(2+3k2) 2k2+3+2+3k2 2 由 于 (2k + 3)(2 + 3k )≤[( ) = 2 5(k2+1) 2 96 [ ] ,所以 S ≥ 2 25,
2 2

当 2k2+3=2+3k2,即 k=± 1 时取等号. 易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四 边形 ABCD 的面积 S=4. 96 综上可得,四边形 ABCD 面积的最小值为25.


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