tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市徐汇区2016届高三上学期学习能力诊断数学理试题


2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学
一.

理科试卷

2016.1

填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的标准方程是________________.
2.方程 log2 3 x ? 5 ? 2 的解是________________. 3.设 an ? 3?n (n ? N* ) ,则数列 {a n } 的各项和为________________. 4.函数 y ? cos 2 x ? 3sin x cos x 的最小值为________________. 5.若函数 f ( x) 的图像与对数函数 y ? log4 x 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称,则 f ( x) 的解 析式为 f ( x) ? ________________.
2 6.若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 4,则实数 a 的取值范围为________________.

?

?

7.若 x, y ? R ? ,且

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是________________. x y

8 . 若 三 条 直 线 ax ? y ? 3 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 相 交 于 一 点 , 则 行 列 式

a

1

3

1 1 2 的值为________________. 2 ?1 1
9. x ? 2x ? 1 3x ? 4 展开后各项系数的和等于________________.
3 2

?

??

?

10.已知四面体 ABCD 的外接球球心 O 在棱 CD 上, AB ? 3 , CD ? 2 ,则 A 、 B 两点在 四面体 ABCD 的外接球上的球面距离是________________. 11 .已知函数 f ( x) ? x2 ? 1的定义域为 D ,值域为 ??1, 0,1, ? ,则这样的集合 D 最多有 _______.个 12.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面 的 6 个数字之和恰好是 9 的概率为________________.
2 13.设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,若 x1 是虚数,

x12 是实数,则 x2

x ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? S ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? =________________. x2 ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ?
? cos C ???? ???? 1 cos B ??? ? AB ? ? AC ? 2m ? AO, 则实 .若 2 sin C sin B

2

4

8

16

32

14. 已知 O 是锐角 ?ABC 的外心, tan A ? 数 m ? ________________.

二.

选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) ? ? ? ? 15.已知向量 a 与 b 不平行,且 a ? b ? 0 ,则下列结论中正确的是-----------------------(
A. 向量 a ? b 与 a ? b 垂直 B. 向量 a ? b 与 a 垂直 C. 向量 a ? b 与 a 垂直



? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

D.

向量 a ? b 与 a ? b 平行

? ?

? ?

16.设 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

1 ”的-----------------------------( a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



17.设 x 、 y 均是实数, i 是虚数单位,复数 ( x ? 2 y) ? (5 ? 2 x ? y)i 的实部大于 0 ,虚部不

x y在 i 复平面上的点集用阴影表示为下图中的 小 于 0 , 则 复 数 z= +
---------------------------------------( )

18.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,若对于任意 x1 、 x 2 ? D ,当 x1 ? x2 ? 2a 时,恒有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b ,则称点 (a , b) 为函数 y ? f ( x) 图像的对称中心.研究函数 f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4030 ? ? 4031 ? f? ?? f ? ?? f ? ? ??? f ? ?? f ? ? 的 值 为 --------------? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ? ? 2016 ?
( ) A. ?4031 B. 4031 C. ?8062 D. 8062

S

三.

解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分)
在三棱锥 S? ABC 中 , SA ? AB, SA ? AC, AC ? BC 且

19.(本题满分 12 分)

A

B

C

AC ? 2, BC ? 13, SB ? 29 .
求证 SC ? BC 并求三棱锥的体积 VS ? ABC .

20.(本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 已知实数 x 满足 ? ?

?1? ? 3?

2 x ?4

?1? ?1? ?? ? ?? ? ? 3? ? 3?

x

x ?2

x 1 ? ? 0 且 f ( x) ? log 2 ? log 2 9

2

x 2

(1)求实数 x 的取值范围; (2)求 f ? x ? 的最大值和最小值,并求此时 x 的值.

21.(本题满分 14 分;第(1)小题6分,第(2)小题8分) 节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题. 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A 、 B 及 CD 的中点 P 处, AB ? 30 km, BC ? 15 km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与 A 、 B 等距 离的一点 O 处, 建造一个污水处理厂, 并铺设三条排污管道 AO 、BO 、PO .设 ?BAO ? x(弧 度),排污管道的总长度为 y km. P (1) 将 y 表示为 x 的函数; C D (2) 试确定 O 点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短, 并求总长度的最短公里数(精确到 0.01 km).

O
A B

22.(本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)①小题 6 分,第(2)②小题 7 分) 给定数列 ?an ? , 记该数列前 i 项 a1 , a2 ,?, ai 中的最大项为 Ai , 即 Ai ? max ?a1, a2 ,?, ai ? ; 该 数 列 后 n ? i 项 ai ?1 , ai ?2 ,?, an 中 的 最 小 项 为 Bi , 即 Bi ? min ?ai ?1, ai ?2 ,?, an ? ;

di ? Ai ? Bi (i ? 1, 2,3,?, n ?1)

(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的 d1 , d2 , d3 ; (2) 若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 且对任意 n ? N ? , 有 (1 ? ? ) S n ? ?? an ? 实数, ? ? 0 且 ? ?

2 1 n ? , 其中 ? 为 3 3

1 , ? ? 1. 3

①设 bn ? an ?

2 , 证明数列 ?bn ? 是等比数列; 3(? ? 1)

②若数列 ?an ? 对应的 d i 满足 di ?1 ? di 对任意的正整数 i ? 1, 2,3,?, n ? 2 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 已知直线 l1 、 l2 与曲线 W : mx ? ny ? 1? m ? 0, n ? 0? 分别相交于点 A 、 B 和 C 、 D ,
2 2

我们将四边形 ABCD 称为曲线 W 的内接四边形. (1) 若直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x ? y ? 1分成长度相等的四段弧,
2 2

求 a ? b 的值;
2 2

2 2 (2) 若直线 l1 : y ? 2x ? 10, l2 : y ? 2x ? 10 与圆 W : x ? y ? 4 分别交于点 A 、 B 和

C 、 D ,求证:四边形 ABCD 为正方形;

x2 ? y 2 ? 1的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积. (3) 求证:椭圆 W : 2

2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科(理科)参考答案及评分标准
2016.1 三. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1. y 2 ? 8x 2. x ? 2 3 . 7 . 16 13. ?2 8.0 14.
5 5
S

1 1 4. ? 2 2

5 . y ? ?4? x ? x ? R ? 10 .
2? 3

6. 0 ? a ? 4 12 .
1 4

9 . 28

11 . 9

二.选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.A 16.D 17.A 18.C

四. 解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分)
A B

19.(本题满分 12 分)
AB ? AC ? A ,所以 SA ? 平面 ABC , 解: 因为 SA ? AB, SA ? AC , C

所以 SA ? BC .又 AC ? BC .所以 BC ? 平面 SAC .故 SC ? BC . --------6 分 在 ?ABC 中, ?ACB ? 900 , AC ? 2, BC ? 13 ,所以 AB ? 17 .----8 分 又在 ?SAB 中, SA ? AB, AB ? 17, SB ? 29 ,所以 SA ? 2 3 .---10 分 又
VS ?




C

SA ?


? 3


2 3

ABC

,
9





1 ? 1 ? A ?? ? B2 ? 3 ? 2

? ?? 1 ?

. ----------12 2 3 分
3

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)
1? 解:(1)设 ? ? ? ?3?
x ?2

1 ? u ,则上式化为 9u 2 ? 10u ? 1 ? 0 , ? u ? 1 , 9



1 ?1? ?? ? 9 ? 3?

x?2

?1

, 分

2 ? x ? 4 ---------------------------------------------------------------------6

(2)因为 f ( x) ? log 2 ? log

x 2

2

x ? ? log 2 x ? 1?? log 2 x ? 2 ? 2
2

3? 1 ? ? log 2 2 x ? 3log 2 x ? 2 ? ? log 2 x ? ? ? 2? 4 ?



---------------------------10 分 当
log 2 x ? 3 2





x?2 2





1 ym ? ? --------------------------------------------------12 分 i n 4



log2 x ? 1



log2 x ? 2





x?2



x?4





ym ?a0 . x ---------------------------14 分

21.(本题满分 16 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 解:(1)由已知得 y ? 2 ? 即
y ? 15 ? 15 ? 2 ? sin x cos x 15 ? 15 ? 15 tan x , cos x







0? x?

?
4



-----------------------------------------------6 分 (2)记 p ? 解
2 ? sin x 2 ? 1, ,则 sin x ? p cos x ? 2 ,则有 cos x 1 ? p2



p? 3



p ? ? 3 ---------------------------------------------------------------------10 分

由于 y ? 0 ,所以,当 x ?
? 15 3 ? 15 ? ? ? ? ? km 处, 3 ? ?
y

?
6

, 即 点 O 在 CD 中 垂 线 上 离 点 P 距 离 为











1 ?

5 ?

1

5

(km).-------------------------------------------------14 分

22. (本题满分 16 分;第(1)小题 3 分,第(2)①小题 6 分,第(2) ②小题 7 分) 解 : ( 1 )

d1 ? 2, d2 ? 3, d3 ? 6. ---------------------------------------------------------------3 分



2







n ?1





(1 ? ? )a1 ? ??a1 ? 1,





a1 ? 1 ---------------------------------4 分

当 n ? 2 时, (1 ? ? ) Sn ? ?? an ? n ? , (1 ? ? ) Sn ?1 ? ?? an ?1 ? n ? , 两式相减得 an ? ? an ?1 ? , 所以 bn ? an ?
2 3

2 3

1 3

2 3

1 3

2 2 2 ? ? an ?1 ? ? 3(? ? 1) 3 3(? ? 1)

? 2 3? ? 1 2 ? ? ?0 ? ? ?an?1 ? ? ?bn?1 , 又 b1 ? a1 ? ? 3(? ? 1) 3(? ? 1) 3(? ? 1) ? ?

所 以 , 数 列 ?bn ? 是 以

3? ? 1 为首项、 ? 为公比的等比数 3(? ? 1)

列.--------------------------9 分 ②由①知: an ?
3? ? 1 n ?1 2 ?? ? ; 3(? ? 1) 3(? ? 1)

又 di ? max ?a1, a2 ,?, ai ? ? min ?ai?1, ai?2 ,?, an ? ,
di?1 ? max ?a1, a2 ,?, ai?1? ? min ?ai?2 , ai?3 ,?, an ?

由于 min ?ai?1, ai?2 ,?, an ? ? min ?ai?2 , ai?3 ,?, an ?, 所以由 di ?1 ? di 推得 max ?a1, a2 ,?, ai ? ? max ?a1, a2 ,?, ai?1?. 所 以 m a ?x a1 a 2 ,? a , i? ? , ? ai? 对 1 1 任 意 的 正 整 数 i ? 1, 2,3,?, n ? 2 恒 成 立.-----------13 分 因为 di ? ai ? ai ?1, di ?1 ? ai ?1 ? ai ?2 , 所以
di ? di ?1 ? ai ? ai ? 2 ? 2ai ?1 ? 3? ? 1 i ?1 3? ? 1 i ?1 ? ? (1 ? ? 2 ? 2? ) ? ? ? (? ? 1) 2 . ------14 分 3(? ? 1) 3(? ? 1)

由 di ? di ?1 ? 0 ,得

3? ? 1 i ?1 ?? (? ? 1)2 ? 0 , 3(? ? 1)
1 3? ? 1 ? ? ?1 , 所 以 ?0 解 得 3 3(? ? 1)

但 ? ? 0 且 ? ?1 , 所 以
? ?(
1 , --------------------16 1 ) 分 3

23.(本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3) 小题 9 分) 解:(1)由于直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x2 ? y 2 ? 1 分成长 度相等的四段弧, 所以 AB ? CD ? 2 , 在等腰直角 ?OAB 中, 圆心 O ? 0,0? 到 直 线 l1 : y ? ? x 的 a 距 离 为 d?
a 2 ? 2 ? a ?1 , 同 理 b ?1 , 2

? a 2 ? b 2 ? 2 ------------------------------------4 分

(2)由题知,直线 l1 , l2 关于原点对称,因为圆 W : x2 ? y 2 ? 4 的圆心为原 点 O ,所以 AB ? DC ,故四边形 ABCD 为平行四边形.易知, O 点在对角 线 AC, BD 上. 联立 ? ?
? x2 ? y 2 ? 4 ? ? y ? 2 x ? 10 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 x1 ? 10 2 x2 ? 10

??? ?

????

解得 5x2 ? 4 10 x ? 6 ? 0 ,由 x1 ? x2 ?

4 10 6 , x1 x2 ? 得 5 5

?

??

?

? 5 x1 x2 ? 2 10 ? x1 ? x2 ? ? 10 ? 6 ? 2 10 ?

??? ? ??? ? 4 10 ? 10 ? 0 ,所以 OA ? OB , 5

? 4 , 所 以 四 边 形 ABCD 为 正 方 于 是 A C? B D , 因 为 A C? B D

? ? ??

? ? ??

????

??? ?

形.----------------9 分 (3) 证明:假设椭圆 W :
A, B, C , D.

x2 ? y 2 ? 1 存在内接正方形,其四个顶点为 2

当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 、 CD 的方程为 x ? m, x ? n ,因为
A, B, C , D















? m2 A ? m, ? 1 ? ? 2 ?

? ? m2 , B m, 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ? n2 , C n, ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? ? n2 , D n, ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?

? , 由四边形 ABCD ? ? ?

为正方形, 易知, m?

6 6 6 6 CD 的方程为 x ? , 直线 AB 、 , ,n ? ? ,x ? ? 3 3 3 3 2 6 2 6 8 ? ? .---------------------12 分 3 3 3

正方形 ABCD 的面积 S ?

当 直 线 AB 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 AB 、 CD 的 方 程 分 别 为
lAB : y ? kx ? m, lCD : y ? kx ? n ? k ? 0, m ? 0? ,
? x2 ? y2 ? 1 显然 m ? n .设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? ,联立 ? 得 ?2 ? ? y ? kx ? m

?1? 2k 2 ? x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?
2 2
2

4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 2 ? m 2 ? 1

? AB ? 8 ?1 ? k 2 ? ? 代人 AB ? ?1 ? k 2 ? ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1x 2 ? ,得

?1 ? 2k ?
2

2

,同理可


CD ? 8 ?1 ? k ? ?
2 2

2k 2 ? n 2 ? 1

?1 ? 2k ?
2

2

,因为 ABCD为正方形,所以 AB ? CD 解得

2

2

m2 ? n 2

因为 m ? n ,所以 m ? ?n ,因此,直线 AB 与直线 CD 关于原点 O 对称,所 以原点 O 为正方形的中心(由 m ? ?n 知 AB ? DC ,四边形 ABCD 为平行四 边形) 由 ABCD 为正方形知 OA ? OB , 即 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 0
??? ? ??? ?
??? ? ??? ? ??? ? ????

2 ? k ? 1? 3m 2 ? 2k 2 ? 2 2 ? 0 代人得 ,解得 (注:此时四边形 ABCD 为菱 m ? 1 ? 2k 2 3
2

形) 由 ABCD 为 正 方 形 知 AB ? AD , 因 为 直 线 AB 与 直 线 CD 的 距 离 为
m?n 1? k 2
2

AD ?

, m ? ?n ,故 AD ?
2k 2 ? m 2 ? 1

2

4m 2 ? 1? k 2

4?

2 ? k 2 ? 1? 3 1? k 2 ? 8 3

但 AB ? 8 ?1 ? k ? ?
2

?1 ? 2k ?
2

2

2 2 1 ? k 2 ??1 ? 4k 2 ? ? 8 ?1 ? k ??1 ? 4k ? ? ? ?1得 ,由 2 2 3 ?1 ? 2k 2 ? ?1 ? 2k 2 ?
2 2

4k 4 ? 5k 2 ? 1 ? 4k 4 ? 4k 2 ? 1? k 2 ? 0 即 k ? 0 ,与 k ? 0 矛盾.所以 AD ? AB ,这

与 AD ? AB 矛盾.即当直线 AB 的斜率 k ? 0 存在时,椭圆内不存在正方 形. 综上所述,椭圆 W :
8 S ? .--18 分 3

x2 ? y 2 ? 1的内接正方形有且只有一个,且其面积为 2


推荐相关:

上海市徐汇区2016届高三上学期期末学习能力诊断地理试题及

上海市徐汇区2016届高三上学期期末学习能力诊断地理试题及_政史地_高中教育_教育专区。2015-2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三地理试卷 新加坡简图 2016.1...


上海市徐汇区2016届高三上学期学习能力诊断语文试题及...

上海市徐汇区2016届高三上学期学习能力诊断语文试题及答案解析_高三语文_语文_高中教育_教育专区。徐汇2016高三语文一模 2016 年徐汇区高三语文一模(2016.1) 一、...


上海市徐汇区2016届高三上学期学习能力诊断数学理试题

上海市徐汇区2016届高三上学期学习能力诊断数学理试题_数学_高中教育_教育专区。2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学一. 理科试卷 2016.1 填空题:(...


上海市徐汇区2016届高三生物上学期期末学习能力诊断试题

上海市徐汇区2016届高三生物上学期期末学习能力诊断试题_理化生_高中教育_教育专区。2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三生命科学 试卷 2016.1 一、选择题...


上海市徐汇区2015届高三上学期学习能力诊断(一模)数学(...

2014 学年第一学期徐汇区学习能力诊断高三年级数学学科(理科) 2015.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的 空格内...


上海市徐汇区2014届高三上学期期末学习能力诊断数学理...

上海市徐汇区2014届高三上学期期末学习能力诊断数学理试题 上海市徐汇区2014届高三上学期期末学习能力诊断数学理试题上海市徐汇区2014届高三上学期期末学习能力诊断数学...


上海市徐汇区2016届高三上学期期末学习能力诊断化学试...

上海市徐汇区2016届高三上学期期末学习能力诊断化学试题.doc_理化生_高中教育_教育专区。上海市徐汇区 2016 届高三上学期期末学习能力诊断 化学试题 考试时间:120 ...


上海市徐汇、金山、松江区2016届高三第二学期学习能力...

上海市徐汇、金山、松江区2016届高三第二学期学习能力诊断考试 数学理 2015 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学一. 理科试卷 2016.4 填空题:(本题满分 ...


上海市徐汇区2015届高三上学期学习能力诊断(一模)数学(...

2014 学年第一学期徐汇区学习能力诊断高三年级数学学科(理科) 2015.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的 空格内...


上海市徐汇区2016届高三上学期学习能力诊断历史试题 Wo...

2015 学年第一学期徐汇区学习能力诊断高三历史 试卷 2016.1 (考试时间 120 分钟,试卷总分 150 分) 考生注意: 本试卷分为选择题与非选择题,所有试题答案...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com