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四川省雅安市重点中学2015届高三数学下学期3月月考试题 文


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

四川省雅安重点中学 2015 届高三下学期 3 月月考数学(文)试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷第 2 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将答题卷和机读卡一并收回。 第Ⅰ卷(选择题 共 50

分)[] 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,把每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求 的选项选出来) 1. M ? x | x ? x ? 0 , N ? y | y ? y ? 0 , 则M ? N ? ______
2 2

?

?

?

?

A. ?- 1,0,1?

B. ?- 1,1?
2

C. ?0?
2

D. ?

2.已知 tan ? ? 2, 求7 sin ? ? 3 cos ? ? _______

1 A. 5

11 B. 5

21 C. 5

31 D. 5

3.并排的 5 个房间,安排给 5 个工作人员临时休息,假设每个人可以进入任一房间,且进入每 个房间是等可能的,问每个房间恰好进入一人的概率是_______

24 A. 625
4.已知 A.0

48 B 625

24 C. 125

48 D. 125

a ? (cos 70 0 , sin 70 0 ), b ? (cos10 0 , sin 10 0 ), 则 a ? b ? ____
B.1 C.2
2

D.3

5. 已 知 曲 线 y ? 4 x 的 焦 点 F , 曲 线 上 三 点 A,B,C 满 足 FA ? FB ? FC ? 0 , 则

FA ? FB ? FC ? _____
A.2 B.4 C.6

。 D.8

6.若 P 为棱长为 1 的正四面体内的任一点,则它到这个正四面体各面的距离之和为______.

A.

3 2

B.

3 3

C.

6 2

D.

6 3

7.若等差数列 A.0 B.12

?a n ?的前 n 项和为 S n , 且S 4 ? S18 ,则 S 22 ? ____
C. ? 1 D. ? 12

8.函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, “ f (a ) ? f (b) ? 0 ”是“函数

f ( x) 在区间[a,b]上恰有一个零点”的________条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.非充分非必要 的图象有下面四种判断:
x y ? a x 和y ? log a (a ? 0且a ? 1)

9.在同一直角坐标系下作

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ①两支图象可能无公共点。 ②若两支图象有公共点,则公共点一定在直线 y=x 上 ③若两支图象有公共点,则公共点个数可能 1 个,不可能 2 个 ④若两支图象有公共点,则公共点个数最多可能有 3 个。 以上这四种判断中,错误的判断共有______个 A.1 B.2 C.3 D.4 10..已知平面上的点 p ? ( x, y ) | ( x ? 2 cos ? ) ? ( y ? 2 sin ? ) ? 16, ? ? R ,则满足条件的
2 2

?

?

点在平面上组成的图形的面积为_______ A. 12? B. 42? C. 22? D. 32?

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.平面内与两定点距离之比为定值 m且(m ? 1) 的点的轨迹是_________________. 12.如果直线 AB 与平面 ? 相交于 B,且与 ? 内过点 B 的三条直线 BC,BD,BE 所成的角相同,则 直线 AB 与 CD 所成的角=_________. 13.已知实数

x满足 2 x ? 1 ? 2 x ? 5 ? 6, 则x

的范围是(用区间表示)_____________.

?log 2 x( x ? 0) f ( x) ? ? x ?3 ( x ? 0) 14. ,则
2

? 1 ? f ? f ( )? ? ? 2 ? _________ .

15. 命题 1 )若 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,其定义域是 ?a ? 1,2a ? ,则 f ( x) 在区间

? 2 1? ? ? ,? ? ? 3 3 ? 是减函数。
2)如果一个数列

?a n ?的前 n 项和 S n

? ab n ? c, (a ? 0, b ? 1, c ? 1) 则此数列是等比数列的充

要条件是 a ? c ? 0 3)曲线 y ? x ? x ? 1 过点(1,3)处的切线方程为: 4 x ? y ? 1 ? 0 。
3

4 )已知集合 P ? ?( x, y ) | y ? k ?, Q ? ( x, y ) | y ? a ? 1, a ? 0且a ? 1 , 若P ? Q 只有一个子
x

?

?

集。则 k ? 1 [] 以上四个命题中,正确命题的序号是__________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本小题 12 分) 在锐角△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 m ? 2 sin( A ? C ), 3 . ,

?

?

B ? ? n ? ? cos 2 B,2 cos 2 ? 1? 2 ? ,且 m ∥ n ?
-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ①求角 B 的大小 ②若 b=1,求△ABC 面积的最大值。

17.(本小题 12 分)在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面三角形 ABC

C1 D B1 C

2 a 的边长为 a ,侧棱的长为 2 ,D 为棱 A1C1 的中点。
①求证: BC1 ∥平面 AB1 D ②求二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小 ③求点 C1 到平面 AB1 D 的距离。

A1

A

B

18.(本小题 12 分)六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只 有一次补考机会,补考不合格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰) ,若每个学生身体体能

1 2 考核合格的概率是 2 ,外语考核合格的概率是 3 ,假设每一次考试是否合格互不影响。
①求某个学生不被淘汰的概率。 ②求 6 名学生至多有两名被淘汰的概率 ③假设某学生不放弃每一次考核的机会,用 ? 表示其参加补考的次数,求随机变量 ? ? 1 的概 率。

19 (本小题 12 分) 已知数列 分别是数列

?a n ?是公差为 1 的等差数列,?bn ?是公比为 2 的等比数列,S n , Tn

?a n ?和 ?bn ?前 n 项和,且 a6 ? b3 , S10 ? T4 ? 45
-3-

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①分别求 ②若 ③令

?a n ?, ?bn ?的通项公式。

S n ? b6 ,求 n 的范围 c n ? (a n ? 2)bn ,求数列 ?c n ?的前 n 项和 Rn 。

20.1) (本小题 6 分)在平面直角坐标系中,已知某点

P( x0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 .

求证:点 P 到直线 l 的距离

d?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2
2

2)(本小题 7 分)已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,点 P(2,0) ,O 为坐标原点,过 P 的直

AB
线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点, 若向量 求直线 l 的方程。

AB

在向量 OF 上的投影为 n,且 (OA ? OB)n ? ?2 ,
2

21(本小题 14 分)已知函数 f ( x) 在其定义域上满足: xf ( x) ? 2af ( x) ? x ? a ? 1 , a ? 0 ①函数 y ? f ( x) 的图象是否是中学对称图形?若是,请指出其对称中心(不证明)

?1 4? f ( x) ? ? , ? ? 2 5 ? 时,求 x 的取值范围 ②当

?a ? 0 ? a n ?1 ? f (a n ) 正整数 N 满足 n>N 时,对所 ③若 f (0) ? 0 ,数列 n 满足 a1 ? 1 ,那么若

-4-

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?a ? a n ? 10 恒成立,求最小的 N。 有适合上述条件的数列 n ,

1

雅安重点中学 2014-2015 学年下期高三 3 月试题 数 学 试 题(文科)参考答案 选择题: CDAB C DADBD 填空题:

11.圆

12. 90

0

? 1 5? ? , ? ? 2 2? ? 13.

1 14. 3 . 15.①②

三.解答题 16.解:1)? m ∥ n ,?

2 sin( A ? C )(2 cos 2

B ? 1) ? 3 cos 2 B 2

2 sin B cos B ? 3 cos 2 B sin 2 B ? 3 cos 2 B , cos 2 B ? 0
? tan 2 B ? 3 ,
2 2

0?B?
2

?

?

2 , ? B= 6 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分

2) ? b ? a ? c ? 3ac
2 2 2 2 ? a ? c ? 1 ? 3ac ,? a ? c ? 2ac

? 1 ? 3ac ? 2ac ,?

ac ?

1 2? 3

? 2? 3

,当且仅当 a ? c 取等

?

S?

1 1 2? 3 ac sin B ? ac ? 2 4 4

17.向量解法

?
1)略 2) 4

6 a 3) 6

-5-

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18.解:1)正面:

①两个项目都不补考能通过概率:

P1 ?

1 2 1 ? ? 2 3 3

② 两 个 项 目 中 有 一 个 项 目 要 补 考 才 能 通 过 的 概 率 :

1 1 2 1 2 2 5 P2 ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 2 3 3 18 1 1 2 2 1 P3 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 3 18 ③两个项目都要补考才能通过的概率:
?

P ? P1 ? P2 ? P3 ?

1 5 1 12 2 ? ? ? ? 3 18 18 18 3 P1 ? 1 1 1 1 2 1 1 1 ? ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )2 ? 2 2 2 3 2 3 3

反面(间接法)被淘汰的概率:

?

P ? 1 ? P1 ?

2 3

1 2 496 0 1 0 2 6 1 1 1 2 5 P ? C6 ( ) ( ) ? C6 ( ) ( ) ? C 62 ( ) 2 ( ) 4 ? 3 3 3 3 3 3 729 2) P(? ? 1) ?
3)

1 1 1 1 1 1 2 7 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 2 2 3 12

19.解:1)联立方程可得:

a n ? n ? 2 , bn ? 2 n
n(n ? 5) b ? 2 6 ? 64 2 , 6

a ? n ? 2 , bn ? 2 n ? S n ? 2)? n

n(n ? 5) ? 64 * 2 ? ,? n ? 10, n ? N
3)错位相减: 20.1)见教材 2)法一: ? ? 90 时,与已知矛盾
0

Rn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?1

A ( x1 , y1 )

?
B ( x1 , y2 )

设直线方程: y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

? y ? k ( x ? 2) 2 ? ? y 2 ? 4 x ? ky ? 4 y ? 8k ? 0 ??
?

y1 y 2 ? ?8, y1 ? y 2 ?

( y y )2 y ? y2 4 x1 x 2 ? 1 2 ? 4, x1 ? x 2 ? 1 16 4 k 。代入抛物线方程可得:

2

2

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2 2 ? (OA ? OB)n ? ?2 ,? cos ? ( x1 x 2 ? y1 y 2 ) ? ?2

1 ? (?4) ? ?2 ? sec 2 ? , k ? ?1
法二:设直线 l 的倾斜角为 ?

?l : x? y?2 ? 0

? n ? cos ? ,设直线方程: x ? my ? 2

1 1 n ? cos ? ? ? ? 2 sec ? 1 ? tan 2 ?
2 2

?

m2 ? 1 1 ? m2 1? 2 m 1

m2 ( x1 x 2 ? y1 y 2 ) ? ?2 2 ? 1? m ,
? x ? my ? 2 ? y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ? 2 y ? 4 x ?? ,? y1 y 2 ? ?8, y1 ? y 2 ? 4m
2 ? x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 4 ? 4m ? 4 ,? x1 x 2 ? 4

m2 (4 ? 8) ? ?2 2 2 ? 1? m , m ? 1,? m ? ?1
21.解:1)? xf ( x) ? 2af ( x) ? x ? a ? 1

?l : x? y?2 ? 0

? ( x ? 2a ) f ( x) ? x ? a ? 1 。若 x ? ?2a时,则a ? ?1, 与a ? 0矛盾
?

x ? ?2a, ? f ( x) ?

x ? a ?1 a ?1 ? 1? , ( x ? ?2a ) x ? 2a x ? 2a

? f ( x) 是中心对称图形,对称中心为(-2a,1)
? x ? a ?1 ? ? 1 x ? a ?1 4 ? ? ? ? x ? 2a ?1 4? 2 x ? 2a 5 ? x ? a ?1 ? f ( x) ? ? , ? ? ? x ? 2a ? 2 5 ? ,? 2) ?
? x ? ?2a或x ? 2 ? 2 ? x ? 3a ? 5 ? ? 2a ? x ? 3a ? 5 ? a ? 0 又 ,所以
3). ? f (0) ? 0 ,

1 ? x?2 ?0 2 ? ? x ? 2a ? x ? 3a ? 5 4 ? ?0 5 ? x ? 2a

?

a ? 1 ,?

f ( x) ?

x x?2

-7-

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0 ? a n ?1 ? f (a n ) ?


1 a n ?1

? 2?

1 1 1 1 ? 1, 即 ? 1 ? 2( ? 1), 令bn ? ?1 an a n ?1 an an
bn ?1 ? 2, 又a1 ? 1,? b1 ? 2 bn

?

bn ?1 ? bn , 又a n ? 0,? bn ? 0,?

要使

an ?

1 1 1 ? , 即2 n ? 11 n 10 恒成立,只需 2 ? 1 10

?n ? 3
所以 N=3

-8-


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