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高中数学教案,导数及导数计算


第十一节
导数定义:

变化率与导数、导数的运算

f ?( x0 ) ? lim

?x ?o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim x ? x0 ?x x ? x0
f ( x0 ? 2△x) ? f ( x0 ) ?

1 ,求 f ?( x0 ) 3△x

例.已知 lim

△ x ?0

考向一 导数的运算 知识点: Ⅰ.常见函数的导数 ① C ? ? 0; ②

? x ?? ? nx
n

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ;

x x x x ④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a ln a ;



? ln x ?? ?

1 x;



? l o g a x ?? ?

1 log a e x .

' ' 注意:若 C 为常数 (Cu ) ? Cu .

即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数 Ⅱ.导数的四则运算 和差: (u ? v)? ? u? ? v? 积:
' ' 若 C 为常数 (Cu ) ? Cu .

(uv)? ? u ?v ? uv?
u u ?v ? uv ? ( )? ? v v2

商:

复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代 [例 1] 求下列函数的导数: 1 1? ? (1)y=x?x2+x +x3?; ? ? x x (2)y=x-sin2cos2; ?1 ? (3)y=( x+1)? -1?. ? x ? 训练:

【跟踪训练】1.(2013 年深圳模拟改编)函数 f(x)=

sin 2 x 的导数是 x

? 2? y ?
提高:

1 1 ? x2

;的导函数

? ? ★ (2009 湖北 14).已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为 4 4
★ ( 2010 江 西 5 ) 等 比 数 列

f? x x1 ) a ( ?2 x ?) a ? ? (x ?
A. 26
.

?an ? ' ( ? ,则 f ? 0? ? 8x )a
D. 215

中 , a1 ? 2 , a8 =4 , 函 数

B. 29

C. 212

考向二

导数的几何意义
王新敞
奎屯 新疆

知识点: f / ( x0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率 因此,如果
y ? f ( x) 在 点 x0 可 导 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处 的 切 线 方 程 为

y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 )

王新敞
奎屯

新疆

注意: “过点 A 的曲线的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”是不尽相同的,后 者 A 必为切点,前者未必是切点. 利用导数求切线:切点→导数→斜率→方程 注意:ⅰ所给点是切点吗? ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? [例 2] (1)(2013 年太原模拟)曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0 )

A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0

?π π ? (2)(2013 年银川检测)若曲线 f(x)=xsin x+1 在点?2,2+1?处的切线与直线 ax+ ? ? 2y+1=0 互相垂直,则实数 a=( A.-2 训练: 【跟踪训练】 :(2013 年衡阳模拟)已知函数 f(x)=ex,则当 x1<x2 时,下列结论正 确的是( ) B.-1 C.1 ) D.2

f?x1?-f?x2? A.ex1> x1-x2 f?x1?-f?x2? C.ex2> x1-x2

B.ex1< D.ex2<

f?x1?+f?x2? x1+x2 f?x1?+f?x2? x1+x2

【因材施教 1】 .(2011 年高考重庆卷)设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数 a,b∈R. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 g(x)=f′(x)e x,求函数 g(x)的极值.


提高:
★(2009 江西 5) .设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线 方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 B. ?
1 4

C. 2

D. ?

1 2

★(2009 安徽 9)已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲 线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 A y ? 2 x ? 1 B: y ? x C: y ? 3x ? 2 D: y ? ?2 x ? 3 ★ (2009 全国 9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为 ( A1 B2 C -1 D-2 )

考向三 探究点一

导数几何意义的综合应用 切线条数的问题

过一点作函数切线的条数问题,应该先求出切线方程 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0), 然后再论证关于切点的方程的根的个数问题. [例 3] (2013 年济南模拟)已知函数 f(x)=mx3+2nx2-12x 的减区间是(-2,2). (1)试求 m,n 的值; 【互动探究】 (1)在本例条件下,求在点 A(1,-11)且与曲线 y=f(x)相切的切线方程. (2)在本例条件下,求过点 A(1,-11)且与曲线 y=f(x)相切的切线方程.

训练: 【典例探究】 (2013 年上海徐汇摸底)已知函数 f(x)=x3-3x,过点 P(-2,-2) 作曲线 y=f(x)的切线,则切线的方程为________. [例 3](2)过点 A(1,t)是否存在与曲线 y=f(x)相切的 3 条切线,若存在,求实数 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.

提高:

探究点二

公切线问题 (1)定义:同时切于两条或两条以上曲线的直线,叫做曲线的公切线. (2)两个函数的公切线: y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)与 y-g(x2)=g′(x2)(x-x2)为同一直线. ?f′?x0?=g′?x0?, 其中若切点为同一点 P(x0,f(x0)),则? ?f?x0?=g?x0?. ★ [2011· 湖北卷] 设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R, a、b 为常数,已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程;

【点评】 两个函数在同一点的公切线的方程求解,主要是解 ?f′?x0?=g′?x0?, ? 但要注意如果切点不在同一点时,不可以用该方程组,而 ?f?x0?=g?x0?, 是需要求两次切线方程,并证明切线方程重合. 【体验高考】 1 (2012 年高考安徽卷)设函数 f(x)=aex+aex+b(a>0). (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x,求 a,b 的值

【规律总结 1】 .函数切线的求解主要包括以下问题 (1)求函数在某一点的切线方程; (2)求两个函数在某一点处的公切线方程; (3)求过一点作函数的切线或切线条数的求解.

这三个问题,主要还是先求出在点 P(x0,f(x0))处的切线方程 y-f(x0) =f′(x0)(x-x0),再进行相关论证.


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