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高中数学人教版必修三+选修2-1测试题


数学(理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、下列命题中为真命题的是( A.若 ) B.若 x ? 1 ,则 x ? 1 .
2

来就可以离开.如果小强是 1:40 分到达的,假设小华在 1 点到 2 点内到达,且小华在 1 点到 2 点之间何时 到达是等可能的,则他们会面的概率是 A.

r />1 6

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 3


1 1 ? ,则 x ? y . x y

11、已知动点 P(x、y)满足 10 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 =|3x+4y+2|,则动点 P 的轨迹是 ( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线
2

C.若 x ? y ,则 x ?

y.

D.若 x ? y ,则 x2 ? y 2 )

D.无法确定

? 2、与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是(
1 ,1,1) 3 1 3 C. (- , ,-1) 2 2
A. (

? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆 a b2 与该左半椭圆的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( )
12、如图 F1,F2 分别是椭圆
2

x

2

?

y

B. (-1,-3,2) D. 2 ,-3,-2 2 ) (

A.

3 2

B.

1 2

C.

2 2

D. 3 ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、命题: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 的否定是 14、若双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的左、右焦点是 F1 、F2 ,过 F1 的直线交左支于 A、B 两点,若|AB|=5,则△AF2B 的周长是 . .

3、设命题 p :方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根符号不同;命题 q :方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根之和为 3,命题“ ?p ” 、 “ ?q ”“ p ? q ”“ p ? q ”中假命题的个数为( 、 、 A.0 B.1 C.2 ) D.3

4、样本 a1 , a2 ,?, a10 的平均数为 a ,样本 b1 ,?, b10 的平均数为 b ,则样本 a1 , b1 , a2 , b2 ,?, a10 , b10 的平均数为 A. a ? b
2 2

B.

1 ?a ? b ? 2

C. 2 a ? b

?

?

D.

1 ?a ? b ? 10

15、若 a ? (2,3,?1) , b ? (?2,1,3) ,则 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 16、以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆;

??? ?

??? ?

x y ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 ( 5、椭圆 m 4
A.5 B.8 C.5 或 3 D.5 或 8

).

6、已知空间四边形 OABC 中, OA ? a, ? b, OB OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,则

MN =(



x2 y 2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; ②双曲线 25 9 35 2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; 25 5 x2 y 2 ? ?1. ④和定点 A(5,0) 及定直线 l : x ? 的距离之比为 的点的轨迹方程为 4 4 16 9
其中真命题的序号为 _________.

1 2 1 A. a ? b ? c 2 3 2 1 1 1 C. a ? b ? c 2 2 2
2

2 1 1 B. ? a ? b ? c 3 2 2 2 2 1 D. a ? b ? c 3 3 2


7、抛物线 y ? 4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为( A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0 )

8、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为( A.5 或

5 3 5 5 B. 5 或 C. 3 或 D.5 或 2 2 4 3 9、若不等式|x-1| <a 成立的充分条件是 0<x<4,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a ? 1 B.a ? 3 C.a ? 1 D.a ? 3 10、 小强和小华两位同学约定下午在人民公园假山前见面,约定谁先到后必须等 10 分钟,这时若另一人还没有

填空题答案:13

14

15

16 19、 (本题满分 12 分)对某种电子元件的使用寿命进行调查,抽样 200 个检验结果如表: 寿命(h) 个数

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17、 (本题满分 12 分)已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 2m m ? 1

?100, 200? ?200,300? ?300, 400? ?400,500? ?500,600?
20 30 80 40 30

命题 q:双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p, q 只有一个为真, 5 m

⑴ 列出频率分布表;⑵ 画出频率分布直方图以及频率分布折线图;⑶ 估计电子元件寿命在 100h~400h 以内的频率;⑷ 估计电子元件寿命在 400h 以上的频率.

求实数 m 的取值范围.

18、 (本题满分 12 分) (1)已知双曲线的一条渐近线方程是 y ? ?

3 x ,焦距为 2 13 ,求此双曲线的标准方程; 2

(2)求以双曲线

y2 x2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆标准方程。 16 9

20、 (本题满分 12 分)在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱” ,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同) ,旁边立着一块小黑板写道: 摸球方法:从袋中随机摸出 3 个球,若摸得同一颜色的 3 个球,摊主送给摸球者 5 元钱;若摸得非同一 颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 1 元钱。 (1)摸出的 3 个球为白球的概率是多少? (2)摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少? (3)假定一天中有 100 人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计)能赚多少钱?

21、如图,四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点, A' A ? 平面ABCD (1) 求证: A' C // 平面 BDE;(2) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE (3) 求平面 BDE 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值。

22、 已知 A 、B 分别是直线 y ?

3 3 x和 y ? ? x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 ,P 是 AB 的中点. 3 3

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(1 , 0) 任意作直线 l (与 x 轴不垂直) l 与(1)中轨迹 C 交于 M 、N 两点,与 y 轴交于 R ,设 点.若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值.

???? ?

???? ?

??? ?

????

高二开学考试数学(理科)参考答案:
1、A 2、C 3、C 4、B 5、C 13、 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

设平面BDE与平面ABCD所成锐二面角大小为 , ?
11、C 12 D

6、B 7、B

8、B

9、D

10、D

14、18

15、 6 5

16、②③

则 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?| ? sin ? ?

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

|?

2a a? 6

?

6 , 3

……13 分

17、p:0<m<

1 3

q:0< m <15

1 p 真 q 假,则空集;p 假 q 真,则 ? m ? 15 3

3 sin ? 2 , tan? ? ? 为所求.......... .......... .......... ..........14分 . 3 cos? 2

1 故 m 的取值范围为 ? m ? 15 3

22、 (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1. 18、 (1) (2) ? ? 1或 ? ? 1; 9 25 4 9 9 4
19、解:(1) 区间 频数 20 30 80 40 30 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 频率/组距 0.001 0.0015 0.004 0.002 0.0015 (4) P 400 h,600 h? =0.35 ? (2) 略

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

???2 分

3 3 3 3 x和y?? x2 . x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? 3 3 3 3
????4 分

?100, 200?

?200,300? ?300, 400?
?400,500?

? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ? ??? ? 又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 12 .
2 ∴ 12 y ?

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

????5 分 ????6 分

?500,600?

x2 4 2 x ? 12 ,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1. 3 9

(2)依题意,直线 l 的 斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .????7 分 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

(3) P100 h,400 h? =0.65 ?

20、把 3 只黄色乒乓球标记为 A、B、C,3 只白色的乒乓球标记为 1、2、3。
从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为:ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、 BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123,共 20 个 (1) 事件 E={摸出的 3 个球为白球}, 事件 E 包含的基本事件有 1 个, 即摸出 123 号 3 个球, E) P ( =1/20=0.05 (2) 事件 F={摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球},事件 F 包含的基本事件有 9 个,P(F)=9/20=0.45 (3) 事件 G={摸出的 3 个球为同一颜色}={摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球}, G) P ( =2/20=0.1, 假定一天中有 100 人次摸奖,由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 G 发生有 10 次,不发 生 90 次。则一天可赚 90 ? 1 ? 10 ? 5 ? 40 ,每月可赚 1200 元。 21、 法二:依条件有 AB ? AD, A' A ? AB, A' A ? AD ,以 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, A' A 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则有 A(0,0,0), B(a,0,0), D(0, a,0), E (0,0, )

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 2 ? 9 ? y ? 1. ? 2 2 2 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ?18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,
∴ x3 ? x 4 ?

????9 分 ???10 分

18k , ① 1 ? 9k 2

2

x3 x4 ?

9k ? 9 . 1 ? 9k 2
2



∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? . 即?

[来源:Zxxk.Com]

a 2

A' A ? 平面ABCD? 平面ABCD的一个法向量为 1 ? A' A ? (0,0, a) n a BD ? (?a, a,0), BE ? (?a,0, ),设平面BDE的一个法向量为 2 ? ( x, y, z ) n 2 ?n2 ?BD ? ?ax ? ay ? 0 ? 则n2 ? BD, n2 ? BE ? ? , 可取n2 ? (1,1,2) a ?n2 ? BE ? ?ax ? z ? 0 2 ?
……11 分

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 x4 ∴? ? ,同理 ? ? . ???12 分 1 ? x3 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x ∴? ? ? ? . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . ????14 分 4


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