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高中数学人教B版选修2-1同步练习:3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(含答案)


3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

一、选择题 → → → 1.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 BD 的交点为 M.设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c, → 则下列向量中与B1M相等的向量是( 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2 [答案] A [解析] → → → → B1M=B1A1+A

1A+AM → → 1→ =-A1B1+A1A+ AC 2 → → 1 → 1 → =-A1B1+A1A+ A1B1+ A1D1 2 2 1 1 =- a+ b+c. 2 2 → 2→ 2.已知 A(3,-2,4),B(0,5,-1),若OC= AB,则 C 的坐标是( 3 14 10 A.(2,- , ) 3 3 14 10 C.(2,- ,- ) 3 3 [答案] B → [解析] ∵AB=(-3,7,-5), 14 10? → 2 ∴OC= (-3,7,-5)=? ?-2, 3 ,- 3 ?. 3 故选 B. 3.点 A(-3,1,5),B(4,3,1)的中点坐标是( 7 ? A.? ?2,1,-2? C.(-12,3,5) [答案] B [解析] 由中点坐标公式可得 B. ) 1 ? B.? ?2,2,3? 1 4 ? D.? ?3,3,-2? 14 10 B.(-2, ,- ) 3 3 14 10 D.(-2,- , ) 3 3 ) ) 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2

4.若异面直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线 l1 与 l2 的夹角的余弦值等于( 2 A.- 5 2 5 C.- 5 [答案] B [解析] a· b=-4,|a|= 5,|b|=2 5, a· b ? ?-4? 2 cosθ=|cos〈a· b〉|=? ?|a||b|?=? 10 ?=5. 5.已知 a,b 是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b 且 AB=2,CD=1, 则 a 与 b 所成的角是( A.30° C.60° [答案] C → → [解析] 直线 a,b 的方向向量分别为AB,CD, → → → → ∵AB=AC+CD+DB, → → → → →2 → → ∴AB· CD=AC· CD+CD +DB· CD, → → 即 2×1×cos〈AB,CD〉=1, 1 → → ∴cos〈AB,CD〉= , 2 → → 即〈AB,CD〉=60° .故选 C. 6.一质点从(1,1,1)出发,作匀速直线运动,每秒钟的速度为 v=(1,2,3),2 秒钟后质点 所处的位置为( A.(3,5,7) C.(3,5,8) [答案] A [解析] 2 秒钟后质点所处的位置为(1,1,1)+2v=(1,1,1)+2(1,2,3)=(3,5,7). 二、填空题 7. 已知直线 l 的方向向量 v=(2, -1,3), 且过 A(0, y,3)和 B(-1,2, z)两点, 则 y=________, z=________. [答案] 3 3 2 2 ) B.(2,4,6) D.(5,3,7) ) B.45° D.90° ) 2 B. 5 2 5 D. 5

-1 2-y z-3 3 3 → → [解析] 因为AB=(-1,2-y,z-3),AB∥v,故 = = ,故 y= ,z= . 2 3 2 2 -1

→ → → 8.设 O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA=a,OB=b,OC=ma+nb(m,n ∈R),若 A、B、C 三点共线,则 m、n 满足________. [答案] m+n=1 [解析] ∵A、B、C 三点共线, → → → ∴由共线向量定理的推论可知,OC=OA+tAB → → → =OA+t(OB-OA) → → =(1-t)OA+tOB =(1-t)a+tb. ∴m=1-t,n=t. ∴m+n=1-t+t=1. 三、解答题 9. 如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2,AF=1,M 是线段 EF 的中点.求证:AM∥平面 BDE. [证明] 建立如右图所示的空间直角坐标系.

设 AC∩BD=N,连接 NE,则点 N,E 的坐标分别是( 2 2 → ∴NE=(- ,- ,1). 2 2 又点 A,M 的坐标分别是( 2, 2,0),( 2 2 → ∴AM=(- ,- ,1) 2 2 → → ∴NE=AM,且 NE 与 AM 不共线,∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE, AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE.

2 2 , ,0),(0,0,1). 2 2

2 2 , ,1). 2 2

一、选择题 1.在正方体 AC1 中,PQ 与直线 A1D 和 AC 都垂直,则直线 PQ 与 BD1 的关系是( )

A.异面直线 B.平行直线 C.垂直不相交 D.垂直且相交 [答案] B [解析] 取 D 点为坐标原点建系后, → → DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),
? ? a+c=0 → 设PQ=(a,b,c),则? ?-a+b=0, ?

→ 取PQ=(1,1,-1). → → ∵BD1=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-PQ, → → ∴PQ∥BD1,∴PQ∥BD1. 2.两条不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则直线 l1 和 l2 的位置关系是( A.平行 C.垂直 [答案] A [解析] v2=-2v1,∴l1 与 l2 平行. 3.已知线段 AB 的两端点的坐标为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段 AB 与哪个坐标平面 平行( ) B.xOz D.xOy 或 yOz ) B.相交 D.不确定

A.xOy C.yOz [答案] C

→ → [解析] AB=(0,5,-3),则AB在面 yOz 上,则线段 AB 与面 yOz 平行. 4.设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量 p 在基底{i,j,k}下的坐标是( A.(12,14,10) C.(14,12,10) [答案] A [解析] 依题意知 p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量 p 在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10). 二、填空题 B.(10,12,14) D.(4,3,2) )

5.已知点 A、B、C 的坐标分别为(0,1,0)、(-1,0,-1)、(2,1,1),点 P 的坐标为(x,0, z),若 PA⊥AB,PA⊥AC,则 P 点的坐标为________. [答案] (-1,0,2) → → → [解析] 由已知,AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z), → → ? AB=0 ?PA· 由? , → → ?PA · AC=0 ?
? ?x-1+z=0 得? , ?-2x-z=0 ? ? ?x=-1 解得? . ?z=2 ?

∴P(-1,0,2). 6.(2013· 南阳高二检测)已知两条异面直线 a,b 的夹角为 60° ,a,b 分别为直线 a,b 的方向向量,则<a,b>=________. [答案] 60° 或 120° [解析] 异面直线 a,b 的方向向量 a,b 平移到同一起点时有两种情况 为 120° . 7. 已知 A(4,1,3), B(2,3,1), C(3,7, -5), 若点 P(x, -1, 3)在平面 ABC 内, 则 x=________. [答案] 11 → [解析] AB=(-2,2-2), → → AC=(-1,6,-8),AP=(x-4,-2,0). → → → 因为点 P 在平面 ABC 内,则存在一对实数 λ,μ,使得AP=λAB+μAC. x-4=-2λ-μ, ? ? 故?-2=2λ+6μ, ? ?0=-2λ-8μ. 三、解答题 8.如图,点 O 是正△ABC 平面外一点,若 OA=OB=OC=AB=1,E、F 分别是 AB、 OC 的中点,试求 OE 与 BF 所成角的余弦.

为 60° ,

解得 x=11.

1 → → → [解析] 设OA=a,OB=b,OC=c,则 a· b=b· c=c· a= ,|a|=|b|=|c|=1, 2 → → 1 ?1c-b? OE· BF= (a+b)· ?2 ? 2 1 1 1 a· c+ b· c-a· b-|b|2? = ? 2 ? 2?2 1 1 1 1 ? 1 + - -1 =- , = ? 2?4 4 2 ? 2 1 - → → 2 OE · BF 2 → → ∴cos〈OE,BF〉= = =- . 3 → → 3 3 |OE|· |BF| × 2 2 2 ∴OE 与 BF 所成角的余弦为 . 3 9.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F 分别是 B1C1,A1A 的中点,求证:A1E∥平 面 B1FC.

1 → → 1→ → → → → → 1 → [解析] 设CA=a, CB=b, CC1=c, 则A1E=A1C1+ C1B1=-a+ b, CF=CA+ AA1= 2 2 2 1 1 → → → → → → a+ c,CB1=CB+BB1=b+c.设存在实数对 x,y,使A1E=xCF+yCB1成立,即-a+ b=x(a 2 2 1 + c)+y(b+c), 2

? ?1=y, ∴?2 1 ? ?0=2x+y,

-1=x,

x=-1, ? ? → → 1→ → → → 即? 1 于是有A1E=-CF+ CB1,即向量A1E,CF,CB1共 2 ?y=2, ?

→ → → 面.又∵A1E不在CF,CB1所确定的平面 B1FC 内,∴A1E∥平面 B1FC.


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